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Full text of "Vorlesungen uber die complexen Zahlen und ihre Functionen von Hermann Hankel Theorie der complexen Zahlensysteme ..."

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VITTORIO EM. III 











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V011LESUN(}EN 



1‘nEH 



DIE COMDLEXEN /AHLEN 



UND 



IHRE FUNCTIONEN 



D« HERMANN HANK EL. 



IN /VVKl TIIEIEEN. 



I. TH EIL 

TirKWUIE DHU COMPI.KXEN ZAllI.ENSYSTKMf:. 



LKIPZKi, 

LEOPOLD VOSS. 
1867. 



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THEORIE 




COMPLEXEN ZAHLENSYSTEME 



INSIJKSONDKUE 



DER GEMEINEN IMGINAREN ZAHLEN 



DER HAMllJON’SCHEN QIIATERNIONEN 



NEBST 1 



IHIIKK GEOMETRISCHEN DARSTELLUNG 



1)“^ HERMANN IIANKEL. 




LEIPZIG, ’ 



LEOTOLI) VOSS. 
18G7. 



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VOKKEDK 



Das Werk, dessen erster I'lieil hier vorlie;;t, ist aus der 
Ahsiclit bervor>;o^uingeM, das, luiulig als „Theorie der Tunctionen 
coniplexer Variabeier“ bezeichnete, neue Gebiet der Mathematik, 
welches von Gai'ss und Cai ciiv zuerst-betreten, tlann von Riema.nn 
in ^biuz voller WeLse bebaut wonlen ist, in seinen wesentlichen 
und fandanicutalen 'riieilen vollständiii und streng wisscnschal't- 
lich darzustcllen. ^ ■ ' 

Es galt, zunächst einen Ausgangspuiikt in dem BegriHe der 
coniylexen Zahl zu gewinnen. Eine L'nisdiau in der Literatur 
überzeugte mich bald, dass einerseits viele Mathematiker die 
Frage in ilirer Bedeutung und Wichtigkeit gänzlich verkennen, 
und sie in der oberflächlichsteu Weise mit einem Raisonnement 
erledigen zu können glauben, welches an Begriffsverwirrung 
seines •Gleicheu sucht (s. unten 8. 14), ujid dass andererseits der 
Gesichtskreis der Schnftsteller, welche die Frage ernstlicher an- 
greifeiÄ. meistens ein zu beschränkter ist, als dass er zur Beant- 
wortung dieser tief liegenden Frage ausreichte. 

Wie überhau[)t die Entwickelung mathematischer Begriffe 
und Vorstellungen historisch zwei entgegeugesetzte Phasen zu 
durchlaufen pflegt, so auch die des Imaginären. Zunächst erschien 
dieser Begriff als paradox, streng genommen unzulässig, unmög- 
lich; indess schlugen die wesentlichen Dienste, welche er der 

* » 



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VJ 



Vorreile. 



Wissenschaft leistete, iiu hÄC (|dg«^it alle Zweifel au seiner 
Legitimität nieder und eftöde^j^sS^Mlitt Ueberzeiigung seiner 
inneren Wahrheit und N(nij4|jj^i^j|^^Bsolcher Entschiedenheit 
aus, dass die SchwierigBÖHitl^jiind^^ö welche man 

anfangs in ihm bemerkte, Iclt wi ^iJa r^cfülilt wurden. In diesem 
/wadten Stadium befindet sich die Frage des Imaginären heut zu 
Tage; — indessen bedauf cs keines Ileweises, dass ilie eigentliche 
Natur von Hcgritfen und Vorstellungen erst dann hinreichend auf- 
geklärt-ist, wenn man un^prscheideii kann, was an ihnen noth- 
wefidig ist, und was arbiträr, d. h. zu einem geAvissen Zwecke in 
sie hineingelegt ist. Nur die Determination von höheren und die 
Vergleichung mit coordinirten Begriffen liefert eine genügende 
Definition Wollte ich daher den Begriff der gemeinen iinagiiiären 
Zahlen von Grund aus feststellen, so war ich gezwungen, auf 
Untersuchungen über comjdexe Zahlen im Allgemeinen (VI. Ah- 
schnitt) einzugehen, und iwben jenen älteren coniplexen Zahlen, 
zum ttvctischeii Beweise der Müglichkeit von Zahlen, deren Ein- 
heiten nicht allen Gesetzen der „arithmetica universalis“ *) folgen, 
wenigstens einige abweichende Zahlensysteme zu behandeln.. Ich 
habe deshalb im VHI. und IX. Abschnitt die Theorie det Quatcr- 
nionen Sir W. B. Ha.milto.n’s, die in England allgemein bekannt 
und gebraucht, in Deutschland aber bisher fast ganz unbekannt 
geblieben sind, dargestellt, und glaubte mich dabei nicht nur auf 
das für den angezogenen Zweck nöthigste beschränken zu müssen, 
sondern mir den Dank vieler Mathematiker zu verdienen, wenn 
ich diese 'riieorie vollständig entwickelte und zugleich an einigen 
Beisj)ielen ihre Eruchtbarkeit und leichte Anwendbarkeit darlegte. 
Auch einem anderem complexen Systeme, welches an Sacligemäss- 
heit und Brauchbarkeit mit dem HA.MiLroN’schen wetteifert, und 

•) Ich nehme dies Wort im Folftenden überall in dem durch Newton’s 
'»leichimmiges Werk bekamiteu Siuue. 



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Vorrede. 



VII 



welches ich das alteniireiide nenne, fjlaubte ich iin VII. Abschnitt 
einen, wenn auch kleineren Raum zugestehen zu sollen. 

Eine gründliche Untersuchung des Wesens der arithmetischen 
Olieratioucu und der Zald in dem g,cgenseitigcn nothweudigen 
Zusammenhänge dieser beiden Begriffe zeigte sich als durchaus 
noth wendig, wenn man den Begriff' der complc.xen Zahlensysteme 
etwas tiefer eifassen wollte. So sind die Abschnitte I bis IV der 
vorliegenden Schrift entstanden. Nachdem im I. Abschnitte die 
Mangelhaftigkeit der vulgären Begi'ündung des Begriffes der 
Zahlen und der vier Species gezeigt und das hodegetische Brin- 
cip der Permanenz der formalen Gesetze aufgestellt ist, wird im 

II. Abschnitte die Natur von Operationen, welche in ihren forma- 
len Bedingungen denen der arithmetica universalis nachgebildet 
sind, ausführlich untersucht. *) i 

t 

Im III. und IV. Abschnitte ist die Natur der ganzen , gebro- 
chenen, rationalen lind irrationalen reellen Zahlen und Grössen, 
zum ersten Male, wie mir scheint, von einem höheren und all- 
gemeineren Gesichtspunkte strenge und systematisch dargestellt. 
Dass cs dabei nothwendig war, zuweilen in Betrachtungen einzu- 
gehen, welche „der Metaphysik dys Calculs“ angehörig, sich in 
ihrer Form von den meisten rein mathematischen Deductionen 
einigermassen unterscheiden , liegt auf der Hand. Für diejenigen 
Leser aber, welche an dergleichen Untersuchungen weniger In- 
teresse nehmen, bemerke ich, dass auch ohne die Leqtürc des 

III. und IV. Abschnittes (und der damit zusammenhängenden 

*) Ich habe in den §§. 4 und" b nur ungeni eine etwas schwerfällige Be- 
zeichnung der Operationen angewandt, und lauge geschwankt, oh ich den 
Schein des Abstrusen, welchen diese für das folgende uuenthehrlichen Unter- 
suchungen annehmen könnten, nicht dadurch vermeiden sollte, dass ich statt 
des Zeichens W(a,6) für eine thctische Verknüpfung mich des übersicht- 
licheren (« -f ö) bediente. Indess hat der Umstand, dass sich*an letzteres 
Zeichen gar zu leicht die gewohnten Vorstcllüiigeu anknüpfen, schliesslich 
den .\ussehlag zu Gunsten der im Texte angewandten Bezeichnung gegeben. 




VIII 

I 



Vorrede. 



Kiitwickelunnen :uif S. ‘2(i — 28) alles folgende ohne Weiteres 
verständlich sein wird. Wie ieli dort gezeigt habe, kann der 
Begriff der Zald rein formal und ohne Rücksicht auf den der 
Grösse gefasst werden; letzterer tritt nur liinzu als anschauliches 
Substrat jener l'onnen. Ich habe daher auch durchgehends • ' 

„coinplexe Zahl“ statt des gebräuchlicheren Ausdrucks „coni- 
plcxe G rosse“ geschrieben, was ich sogleich an diesein Orte an- 
führe, um die Meinung, als. ob es sich in vorliegendem Werke um 
die ganzen conij)lexen Zahlen im Sinne der eigentlichen Zahleu- 
lehre handele, von vornherein zu dcmcntireti. — 

ln der geometrischen Darstellung der gemeinen und höheren 
complcxen Zahlen sowie ihrer Operationen habe ich mich durch- 
aus der allgemeinen Voi-stellungen über de*n Sinn von Strecken, 
Winkeln, Flächenräumen und Körperinhalten bedient, wie sie 
Miiiiirs zuerst cousequent angewandt hat. Diese rrincipien geben 
den Formeln und Sätzen eine von allen speciellen Lagen-Vcrbält- 
nissen durchaus unabhängige und tleshalb höchst elegante Gestalt: 
die man, einmal an sie gewöhnt, nur sehr ungern vermisst. Man 
muss es bedauern , dass dieselben noch .so wenig allgemeine Ver- 
breitung gefunden Imben, wie denn z. B. IIamilton’s Schriften 
über die Quateniionen (s. unten S. lS)n) in der älteren Fcirm ge- 
schrieben sind. Dass in dieser manche TJntersuchuugcn völlig _ 
ungeniessbar werden können, davon dürfte die Darstellung 
IIa.mii,tox’s an nicht wenigen Stellen seiner „Lectures“ (z. B. 

S. 218 u. tf.) ein eindringliches Beispiel sein. Diejenigen Deser, 
welche mit der Mömi:s’schen Form der sphärischen Trigono- 
metrie u. s. .w. nicht völlig vertraut sind, verweise ich auf die 
„Elemente der Matliematik“ von R. Bai.tzek. — 

In dem vorliegenden I. Theile habe ich mich auf die Ent- 
wickelung der GrundeigenscKaften der verschiedenen Zahlen- 
systeme beschränkt, d. h. auf die vier Fundamentaloperationen 
der Addition, Siibtractlon , Multiplication und Division, die zur 






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Vorrede. 



IX 



vollstäudiKen Charakterisirung des Wesens jener Systeme noth- 
wendig und hinreichend sind. ' . 

Der II. Theil dieses Werkes wird die Theorie der Functio- 
nen coniplexer Veränderlicher entlialt^ui und zwar gedenke ich 
auch hier die Grundbegriffe streng und eingehend zu begründen, 
soweit dies bei dem lieutigen Staude der Wissenschaft möglich 
sein wii-d. Ich werde mich fast ausschliesslich auf die Functionen 
gemeiner coniplexer Veränderlicher beschränken und ausser den 
Grundleliren, dem DfKicHLET’schcn Principe, dem TAVLim’schen 
Satze u. 's. w., besonders die Theorie der Integrale mit coniplexen 
Integrations wegen, die hyiiergeometrische Reihe, die elliptischen 
un'd, soweit es der Raum gestattet, die AnEu’schen Functionen 
behandeln. Doch wird auch ilie Theorie der Functionen von 
Quaternionen gebührende Rerücksichtigung tinden. 

Die Darstellung einer fundamentalen Disciplin , wie die' hier 
behandelte, wird jederzeit nicht sowohl grosse Kenntnisse in den 
höchsten 'riieilen der Mathematik, als \ielmehr eine gewisse 
Empfänglichkeit und Vorurtheilslosigkeit, überhaupt einen den- 
kenden Leser voraussetzen müssen. Solche Leser werden vorlie- 
gende Schrift nicht nach aphoristischer Lecturc einzelner Stellen, 
welche aus dem Zusammenhänge gerissen, leicht fremdartig er- 
scheinen oder unverständlich bleiben können, beurtheileft. Gerade 
die Leichtigkeit, mit welcher sich der scheinbar so heterogene Stoff 
den systematischen Ideen fügte, welche als rother" Faden Alles 
durchzielicn und der consequente Zusammenhang aller einzelnen 
'riieile, ist mir die sicherste Garantie für die Richtigkeit und 
Angemessenlieit meines, von dem gewöhnlichen zuweilen wesent- 
lich abweichenden Gedankenganges gewesen. 

In den Naturwissenschaften zeigt sich iir neuester Zeit das 
entschiedene Streben, aus der Welt des empirischen Details zu 
den grossen Principien aufzusteigen, welche alles Einzelne be- 
herrschen und ujiter höheren Gesichtspunkten zu einem Ganzen 



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X 



Vum’de. 



vereiiiigeii: das Streben iiacb einer, nicht von aussen octroyirten, 
sondern aus der Sache selbst fliessenden Philosophie der Natur. ' 
Auch auf dem Gebiete der Mathematik scheint sich ein ver- 
wandtes Iledürfniss, das^in England stets rege gewesen ist, in 
unseren Tagen immer allgemeiner geltend zu machen. Der 
Wunsch, dies liedürfniss zu erwecken und wenigstens in einem 
gewissen Umkreise zu befriedigen, hat auf mich bei Abfassung 
des vorliegenden Werkes einen wesentlichen Einfluss ausgeübt. 

Universität l.eipzig, . , _ ‘ 

n. Mai 1S67. ‘ ’ ‘ ‘ 



Dr. Hermann Hankel.- 




INHALTSVKRZKICHMSS. 



I. Abschnitt. EzpoBi&on. 

§. 1. Die ganzen Zalilen und ilire tlietischen Vcrliindimgen !_; 

§ 2 . Die lytisf heil (tperationen, Erweiterung des Begriffes der Zahlen 1 

§. 3 . l’rineip der Permanenz formaler Gesetze ■ . 10 

Historisches 13 

II. Abschnitt. Allgemeine Formenlehre. 

4. Algorithmus assneiativer Kechniiiigsnperatioiien ohne Commiitation 18 
§. 5. Algorithmus associativer Operationen mit Commiitation; Bildung 

der inversen. Oh, jectenreihe 2b 

§. 0 Die Addition und Subtraction . . 2!1 

S. 7 . Die Multiplication und Division . 30 



111. Abschnitt. Die reellen Zahlen in ihrem formalen Begriffe. 

§. 8 . Begriff’ eines Zahlensysteiiies ^35 

§. 9. Die positiven ganzen Zahlen . . ‘ 3(J 

§. lo. Die negativen ganzen Zahlen 40 

§. II . Die Division und die gebrochenen Zahlen 43 

§. 12 . Die höheren Operationen und die irrationalen Zahlen .... 4f> 



IV. Abschnitt. Die reellen Zahlen in der Grössenlehre. 

§. 13 . Begriff der Grösse uberliaupt . ... 48 • 

§. 14 Die ganzen Zalilen in fler Grössenlehre . . 49 

Bemerkung über die logische Natur der Zahlformeln . .... .bO 

§. 15. Die rationalen Zalilen in der Grössenlehre ' 5(1 

§ Hi. Die irrationalen Zahlen ^ . , , . , . .... 58 

§. 17. Die negativen Zahlen in der allgemeinen Grössenlehre .... 60 

§. 18. Das Operetionssystem der EcKLin'schen Geometrie ...... 63 



V. Abschnitt. Die gemeinen imaginären Zahlen. 

§. 1 9. Formale Theorie der imaginären Zahlen hl 

Historisches ■ 71 

§. 20 . Die geometrische Addition von Strecken in der Ebene und im Raume 23 
§. 21 . Commutative Multiplication von Strecken einer Ebene . . . . 77 

§. 22 , Darstellung der gemeinen coniplexen Zahlen in einer Ebene . . 80 

Historisches ^ ^ ^ 81 

§. 2 3. Anwendung der nnaginhren Zahlen in der Geometrie >. .... ^ 

§. 24 . Die Functionen complexer Zahlen 8ß 

§. 2 5. P>sto Methode zum Beweise des Fundamentalsatzcs der Algebra 87 

26 . Zweite Methodb 95 

jj. 27 . Dritte Methode . 97 



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XII 



I nlial tsvcrznichniss. 



Y[. Alisclinitt Die höheren compVeien Zahlen. ‘ 

§. 28 . Thoorip der coniplpxen Zalilcii iiii Alls;eiWiiicn . tül * 

Difi idealmi Zahlen . ^ . . . . . ...... 103 

Historisclies . . IM 

20 . Begrenztes coinplcxos Syatciii . . 100 

• §. d H Coninlexes System mit zwei Einlieiten 108 

§. ,31. ünlipgreiiztes conimiitatives System . 110 

§ 32. Dio .IddLtion von Strecken 112 

j .3.1 ]»ie Addition von Punkten; de! barjcentrieclie C'alcul , . . . 113 

Vn. Abschnitt Theorie und geometrische Darstellung 

der altemirenden Zahlen. ^ 

§. 34. Heine Tlieorie der alteriiirenden Zablen . UH 

ij. 3 ü. Zerlegung der Deterniinanteii in Prodiicte . . » 121 

§. 36. Die Multi])lication zweier Streeken 124 

jä. 37 Die Multiplication dreier Strecken ! 121 

Die Strecken als Zablen . . . . 129 

§. 38 . Product zweier Punkte 130 

§. 30 . Product von drei Punkten lild 

§. 40 . Product von vier Punkten . . . Idü 

§. 4L Heduction der altern. Operationen an Punkten auf die an Zablen 137 

Historisches ziiih VII. Abschnitt . 110 



V 1 1 1 A 1) s c h n i 1 1. Reine Theorie der Qnaternionen. 

§ 42. Detinitioii der Quaternionen ; ihre Mnltiplication ...... 141 

§. 43. Producte von Vectoren ^ t — 14fi 

§. 44. Division der Qiiaterninucu löü 

45 . Algebra der Quaternionen 103 



IX. .4 b s c h n i 1 1. Qeometrisehe Daratelluiig der Quaternionen. 

ii. 46. Addition der liogen auf der Kugel . . 157 

jj 47. Addition von Ilauptkreisen auf der Kugel . . ■ . . * , . . . 160 

§. 48. .\ddition von Punkten auf der Kugel ^ ■ Uil 

g. 49. Das associative Princip bei der Addition von Versoren .... IM • 

50 . Geomctrisch-phoronomische Sätze . lÜI 

§. 51 . Die Multiplication und Division von Einbeitsvectoreu . . . 174 

§. 52 . Die Quaternionen und ihre Multiplication . 176 

53 . .\ddition der Quaternionen • • . *60 

§. 54, Die distributive Multiplication der Quaternionen ...... 183 

§. 5,5. Die Quaternionen als Zahlen 185 

§ 51 1 Die Fnndamentalformeln dpr«phärischpn Trigonometrie ... 187 

§. 57. Das sphärische Viereck 191 

§. 58 Transfoimation rechtwinkliger Coordinatensystenje 193 

Historische .\nnierknng zu .'Abschnitt VIH und IX 194 



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ERSTER ABSCHNITT. 



Exposition. 



Reine Theorie, auf was für Objecte sie sich auch beziehen mag, 
hat überall die Aufgabe, deductiv aus gegebenen Relationen neue 
Beziehungen abzuleiten, die allerdings in den vorausgesetzten ent- 
halten und mit ihnen gleichzeitig gesetzt sind , deren Erkeuntniss 
aber infolge der Natur des menschlichen Geistes einen wissenschaft- 
lithen Fortschritt begi-ündet. Die rein formalen Wissenschaften, 
Logik mul Mathematik, haben solche Relationen zu behandeln, 
welche unabhängig von dem bestimmten Inhalte, der Substanz der 
Objecte sind oder es wenigstens sein können. Der Mathematik 
fallen in’s Besondere diejenigen Beziehungen der Objecte zu ein- 
ander zu, die den BegrifiF der Grösse, des Maasses, der Zahl invol- 
viren. üeberall, wo diese Begrift'e anwendbar sind, kann und wird 
Mathematik ohne ihren Charakter zu verändern eintreten, da sie 
unabhängig von den verglichenen Objecten und Substanzen selbst, 
rein jene Relationen der Grösse, des Maasses und der Zahl mit ein- 
ander verknüpft. 

§• 1 - 

Die ganzen Zahlen nnd ihre thetischen Verbindungen. 

Was es heisst, ein Object 1 mal, 2 mal, 3 mal . . . denken oder 
setzen, kann bei der principiellen Einfachheit des Begrifl’es der 
Setzung (Position) nicht definirt werden. Eine absolute, ganze Zahl 
1 , 2, 3 . . . sagt aus, es solle ein Object 1,2,3... mal gesetzt wer- 
den, und es bedeutet le, 2e,3e..., das Resultat der wiederholten 
Position von «. Jenes Oliject, welches willkührlich bleibt, kann Ein- 

Hankelt coujplexe Zableu. 1 




2 



I. Exposition. 



heit genannt und an seine Stelle die absolute, numerische Einheit ge- 
setzt werden, die naan mit 1 bezeichnet. Man setzt dann 1.1, 2.1, 
3.1 — einfach gleich 1, 2, 3, . . . und drückt so durch die Zahlzeiclien 
zwei verschiedene, wenn auch nalie verwandte Begrifle aus. In der 
ersten Beziehung sind 1, 2, 3, . . . Cardinalzahlen, indem sie das 
„wie oft“ der Position bezeichnen und eine Forderung enthalten, in 
der zweiten sind sie Ordinalzahlen, welche die Stelle einer gewissen 
Vielheit in der geordneten Zahlenreihe uiid das Besultat der Ver- 
knüpfung von Einheiten bezeichnen. Entsprechend diesen beiden 
Bedeutungen gibt es zwei V^erknüpfungsweisen der Zahlen. 

Addition. Denkt man sich die numerische Einheit a mal, 
dann b mal gesetzt, und fasst die.se Setzungen in eins zusammen, 
so nennt man das Resultat die Summe der einzelnen Setzungen 
(a +7d- Die Addition zweier Zahlen besteht in demselben Pro- 
cesse, der zu ilirer Erzeugung selbst geführt liht und man sieht, 
dass die Summe uml damit auch das zu ilirer Bezeichnung ange- 
wandte Symbol -|- den beiden Hauptgesotzen : 

O -p (Ä + c) = (rt + /() f = o + -f- c 

a + i = Ä + a 

unterliegen, von denen das ei-ste als das der Associativität, 
das zweite als das der Commutativität bezeichnet wird. Die 
Addition ist eine eindeutige Operation, d. h. das Rt>sultat der Addition 
(a -p li) ist ein bestimmtes; sie bat ferner die Eigenschaft, dass 
wenn ein Summand seinen Werth ändert, während der andere con- 
staut bleibt, dann sich jedesmal das Resultat der Operation ändert. 
Die hier angegebenen Eigenschaften der Addition sind ausreichend, 
um aus ihnen alle weiteren Folgerungen über Summenbilduug abzu- 
leiten, ohne dass man sich jemals dabei der x'ealen Bedeutung der 
Addition erinnern müsste. Sie bilden insofern das System der Be- 
dingungen, welche nöthig und ausreichend sind, um die Operation 
formal zu detiniren. 

Multiplication. Die Multiplication besteht in der Verknüpfung . 
einer Ordinalzahl h mit einer Cardinalzahl a und verlangt, dass b 
a mal genommen werden soll. Das Resultat dieser Operation , das 
Product'o.i kann auch als diejenige Zahl angesehen werden, welche 
aus b auf dieselbe Weise hervorgeht, wie a aus der numerischen 



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§. 1. Die ganzen positiven Zaiilen. 



3 



Einheit. Bilden wir jetzt ein Product durch maliges Verviel- 
fachen der Ordinalzahl a, so ist es keineswegs selbstverstän<llich, 
sondern bedarf eines Beweises, dass ' 

a.l> = h.a 

also das cominutative Oesetz gilt. Dieser Beweis kann durch 
eine im (ininde geometrische Constniction in einer Ebene ebenso 
leicht geführt werden * , als im Raume der Beweis für das asso- 
c i a t i V e Gesetz ; 

a.{fi.c) = {a.h).c 

wobei man darauf achten mag, dass bald von dem ordinalen, bald 
von dem cardinalen Begriffe der Zahl Gehrauch gemacht wird. 

Die Mnltiplication hängt ihrem Begriff' nach niit der Addition 
eng zusammen, denn es ist allgemein: 

{!> c) a — Ä a -|- c n, d (Ä •+■ e) = rt Zi -f- ac; 

— eine Eigenschaft, welche man die d i s t r i b n t iv e ** nennt. Fügen 
wir noch hinzu, dass 1 « = « ist und die Multiplication hinsichtlich 
der Eindeutigkeit ebenso bestdiaft’en ist wie die Addition, so hat man 
ihre fundamentalen Eigenschaften cisichöpft, und mit diesen zu- 
gleich ihre formale Definition gegeben. 

Potenzirung. Die Potenzirung ist eine Operation, welche aus 
der Multi plication ebenso hervorgeht, wie diese aus der Addition. 
Unter a'’ versteht mau den Factor a, Amal gesetzt. Wa^ die Gesetze 
dieser Oi)cration betrifft, so findet das cominutative Princip nicht 
statt, denn n' ist von />“ im Allgemeinen vei-schieden; auch das 
associative Gesetz nicht, denn es ist 

> von (a‘'Y 

verschieden. Es ist aber 

= (a‘j' 

(Y — a'' W 

* Vergl. Lejeune-Dikichlet, Vorl. über Zalilentlieorie. 18(W. S 1. 

** Diese Namen sind in England seit 1840 vollkommen -eingebürgert und 
ich habe daher nicht Anstand genommen, sie auch auf dentschen Boden zu 
verpflanzen; ;^distributiv“ und „commutativ“ sipd von Servois eingefüfirt 
worden (Geroonnk’s Anii. Bd. V. 1814, 8 9d), „associativ“ wahrscheinlich 
zuerst von .Sir W. K Hauilion. 



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4 I. Exposition. ' 

und diese Gleichungen repräsentiren das distributive Princip bei 
dieser Operation. 

Die Wiederholung der Potenzimng liefert wieder eine neue ' 
Operation. Nimmt man nämlich zunächst a, welches auch mit 
bezeichnet werden kann, und erhebt es auf die tf,te Potenz, so er- 
hält man a“, welches etwa als «j bezeichnet werden möge. Erhebt 
man dann a auf die Potenz und nennt das Resultat o-j , so dass 

ag = a "» = «(““) 



so erhält man allgemein oj als eine neue Operation, deren- weitere 
Untersuchung sich indess bis jetzt in der Wissenschalt nicht als 
uothwendig erwiesen hat. 

■ ■ 5 ?. 2 . 

Die lytischen Operationen, Erweiterung des Begriffes 
der Zahlen. 

Die vorstehenden Operationen nenne ich thetische im Gegen- 
sätze zu den lytischen, welche durch Umkehnmg aus ihnen her- 
voi-gehen. 

Subtraction. Negative Zahlen. In einer Gleichung a-{- It — c 
war bisher die Summe c aus den beiden als bekannt vorausgesetzten 
Gliedern b abgeleitet. Man kann jetzt fragen, welclien Werth 
muss X haben , damit x + b = c. Nach den oben bemerkten 
Eigenschaften der Summe gibt es niu‘ Einen Werth von x, für wel- 
chen X b = c, und den man mit x — b — c bezeichnet. 

Die Operation, welche x aus x b = c finden lelul;, heisst 
Subtraction, und ist keine andere, wenn ijian b x — c als die 
aufzulösende Gleichung ansieht. 

Man hat hienach die Identität oder die zur Definition des 
Zeichen — dienende Gleichimg t 

(c — ö) -f- i = c 

und kann alle bekannten Rechnung.sregeln, welche sich auf die 
adilitive und subtractiye Verbindung von Zalilen beziehen, mit 
Hülfe dieser Gleichung und der angegebenen Eigenschaften der 
Addition ableiten. 



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§. 2. Negative Zahlen. 



. 5 

Es liegt auf Hand, dass es, wenn /> c ist, keine 
Zahl a- in der Reihe 1, 2, 3, . . . gibt, welche die hetveflende Aufgabe 
löst: die Subtractiou ist dann unmöglich. Nichts hindert uns 
.jedoch, dass war in .diesem Falle die Differenz (c — h) als eit» 
Zeichen ansehen, welches die Aufgabe lö.st und mit welchem genau 
so zu operiren ist, als wenn es eine numerische Zahl aus der Reihe 
1, 2, 3 . . . wäre. 

Die der Variabilität von und c wegen scheinbar doppelte 
Reihe von Zahlen, welche so entsteht, kann leicht auf eine einfache 
zurückgeführt werden; denkt man sich eine Zahl 0, welche dic^ 
Eigenschaft hat, dass a -f- 0 = a sei, was auch a bedeute, so hat 
man a — a = 0, und sclmeibt man nun statt 0 — a einfach a, 
so kann c — b = — a gesetzt werden. 

Indem wir so neue negative Zahlen einführen, w'elche sich 
durch die Vorsetzung des — , von den bisher allein betrachteten, 
durch. Position eines Objectes entstandenen, positiven Zahlen 
unterscheiden, müssen wir offenbar den Begriff der Zahl, wie er 
oben gefasst wurde, erweitern. Es kann dies etwa geschehen, 
indem wir eine Zahl definiren als das Zeichen der Forderung 
einer Operation, welche an einem irgend welchen Objecte vor- 
zunehmen ist und zugleich als das aus der Er fü Mung jener 
Forderung Resultirende, wenn jenes Object durch die nume- 
rische Einheit ersetzt wüd. So bedeutet 3 oder -j- 3 die 3 malige 
Position eines Objectes, ü die absolute Authebung der Position, die 
man etwa sich so hergestellt denken kann, dass man ein Object zu- 
nächst 1 mal setzt und dann diese Setzung tVieder aufliebt, so dass 
0 kein Object dieser Art bezeichnet. Man sieht aber nicht, wie 
unter — 3* eine reale Substanz verstanden werden kann, wenn das 
urspiiinglich gesetzte Object eine solche ist, und würde im Rechte 
sein, wenn man — 3 als eine nicht reelle, imaginäre Zahl als eine 
„falsche“ bezeichnete. „Positive und negative Zahlen können nur 
da eine Anwendung finden, wo das Gezählte ein Entgegengesetztes 
hat, was mit ihm vereinigt gedacht der Vernichtung gleich zu stellen 
ist. Genau besehen, findet diese Voraussetzung nur da Statt, wo 
nicht Substanzen (für sich denkbare Gegenstände) sondern 
Relationen zwischen je zweien Gegenständen das Ge- 
zählte sind. Postulirt wüd dabei, dass diese Gegenstände auf eine 



6 - 



I. Exposition. 



bestimmte Art in eine Reihe georrlnet sind, z. B. A, />, 6',- 
lind dass die Relation des A zu H als der Relation des // zu < ' u. s. w. 
gleich betrachtet werden kann. Hier gehört nun zu dem Bi.'grifl' 
der Entgegensetzung nichts weiter als der Um t a ii s c h der (ilieder 
der Relation, so dass wenn die Relation (oder der Uebergang von 
A zu B) als 1 gilt, die Relation von B zu A als — 1 dargestellt 
werden muss. Insofern also eine solche Reihe auf beiden Seiten 
unbegrenzt ist, repräsentirt jede reelle ganze Zahl die Relation emes 
behebig als Anfang gewählten Gliedas zu einem bestimmten Gliiale 
•der Reihe.“* So sieht man, dass die Operation, als deren Ausdnick 
wir vorlün eine Zahl ansahen, darin besteht, zwei Objecte (Sub- 
stanzen) unter einander in Beziehung zu setzen und obige Erklärung 
der Zahl wird daher jetzt so gefasst werden können: 

Die Zahl ist der begriffliche Ausdruck der gegen- 
seitigen Beziehung zweier Objecte, soweit dieselbe 
quantitativen Messungen zugängl ich ist. 

Die eigentlich quantitativen Resultate solclier Messungen finden 
ihre Dai'stelluug überall in den absoluten ganzen Zahlen; 
weim aber eine Zahl so beschafFen ist, dass sie mehrere solche 
absolute Zahlen als Elemente enthält, so heisst sie eine zu- 
sammengesetzte oder complexe Zahl, die diuadi ihre Zu- 
sammensetzung zugleich angibt , in welcher Weise diese quantita- 
tiven Verhältnisse au den Objecten und ihrer Relation zur Erschei- 
nung kommen. 

Will man die heutig gestellte Frage beantworten, ob eine 
gewisse Zahl möglich oder unmöglich sei, so muss man sich zunächst 
über den eigentlichen Siim dieser Frage klar werden. Ein Ding, 
eine Substanz, die selbstständig ausserhalb des denkenden Subjectes 
und der sie veranlassenden Objecte e.\istirte, ein selbstständiges 
PKneip, wie etwa bei den Pythagoreern, ist die Zahl heute nicht 
mehr. Die Frage von der Existenz kann daher niu' auf da.s denkende 
Subject oder die gedachten Objecte, deren Beziehungen die Zahlen 
darstellen, bezogen werden. Als unmöglich gilt dem Mathematik^- 
streng genommen nur das , was logisch unmöglich ist , d. h. sich 
selbst widerspi-icht. Dass in diesem Sinne unmögliche Zahlen nicht 

* Gacss, Werke, Bd. II, S. 176 in dem Aufsätze von 1831. 



t 



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§. 2. Erweiterung des Zahlenbegriifes. 



7 



zugelassen werden können, bedarf keines Beweises. Sind aber die 
betreffenden Zahlen logisch möglich, ihr Begriff klar und bestimmt 
definirt und also ohne Widerspruch, so kann jene Frage nur darauf 
hinaus kommen, ob es im Gebiete des Realen oder des in der An- 
schauung Wirklichen, des Actuellen' ein Substrat derselben, ob es 
Objecte gebe, an welchen die Zahlen,, also die intcllectuellen Be- 
ziehungen der bestimmten Art zur Erscheinung komineii. In diesem 
Sinne konnte man, wenn hier ein im Folgenden weiter zu erläutern- 
des Beispiel auticipirt wird, die aus f/ — l zusammengesetzten 
Zalilen solange unmögliche nennen , als man keinerlei anschauliche 
Darstellung derselben kannte, und gibt es hoch heute Zahlen dieser 
Art. Nachdep;! aber die Zahlen « -j- // j/ — i eine geometrische 
Darstellung gefunden haben, und ilire Operationen geometrisch ge- 
deutet worden sind, kann man in keiner Weise dieselben aLs 
unmögliche bezeichnen; sie sind ganz von derselben Realität 
als die positiven und negativen Zahlen , wenn auch letztere zahl- 
reichere Substrate in der Anschauung linden, und in vielen Fällen 
im Wirklichen dargcstellt oder möglich gemacht werden können, 
wo die in der Zahl <t + 6 y — j ausgesprochene Beziehung nicht 
realisirt werden kann. ’ 

Um aller Unklarheit der Begriffe, die so leicht aus der Unbe- 
stimmtheit der Benennung hervorgeht, zu entgehen, wird man gut 
thun, solche Zahlen , deren Begriff ein vollkommen bestimmter ist, 
die aber einer irgend welchen Construction in der Anschauung nicht 
fähig sind, transscendente , rein mentale, rein intellectuelle oder 
rein formale zu ueimen im Gegensatz zuden actuellen* Zahlen, 
welche in d«" Lehre von den wirkheheu Grössen und ihrer Ver- 
knüpfung ihre Repifisentation finden. Solche Zahlen , welche zwi- 
schen beiden in der Mitte stehen , von denen man eine vollständige 
Definition geben , aber im Allgemeinen und von vornherein nicht 
wissen kann, ob sie einer anschaulichen Dai'stellung unterzogen 
werden können', mag man potentielle nennen, insofern sie zu actu- 
ellen gemacht wei’den können, oder inteUectuelle, mentale, insofern 
sie zunächst nur gedacht aber nicht angeschaut werden sollen, oder 

*) Die zur Bezeichnung dieser beiden Klassen geeignetsten Namen des 
Idealen und Realen haben leider schon eine bestimmte engere Bedeutung. 




8 



I. Exposition. 



formale schlechthin, insofern in ihnen nur eine gewisse formale.- 
Beziehung zum Ausdrucke kommt. Dass dieser Gegensatz zwischen 
den trausscendenten und actuellen Zahlen in seiner Vermittelung 
durch die formalen Zahlen, keiu stairer, soiulem ein fliessender ist, 
wird sich im Folgenden klar genug heraussteilen. 

Division und gebrochene Zahlen. Die Lysis der multiplica- 
tiven Thesis, die Division schliesst die Reihe der arithmetischen 
Fundamentaloperationen, der 4 Species,' zu der wir die Addition, 
Subtraction, Multiplication, Division zählen, ab. Die Anwendung 
dieser 4 Species auf irgend welche Zahlen nennt man „rechne n.“ 
Die Division besteht in der Aufgabe, aus einei' Gleichung 
x.a — b • 

das X zu bestimmen, wenn a, h ganze Zahlen sind. Es leuchtet 
ein, dass es nicht immer möglich ist, das a;, sowie es bis jetzt zu- 
lässig ist, als ganze, Zalil zu bestimmen. Soll also die Division 
unter jeder Bedingung möglich gemacht werden , so müssen wir 
unser Zahlengebiet erweitern imd in dasselbe neue Zahlen auf- 
nehmen, welche durch: 

h 

* a 

bezeichnet werden, so dass 




ihre Definition enthält. Letztere Verknüpfimg aber, durch welche 
diese Zeichen einer zunächst unausführbaren Operation definirt 
werden, die Multiplication, verliert ganz ihre früher festgesetzte 
Bedeutung der wiederholten Setzung einer gewissen Beihe von Ein- 
heiten, wenn x keine ganze Zahl ist. Was also ist die Bedeutung 
der letzten Gleichung ? 

Diesen gebrochenen Zahlen, welche zunächst als reine 
Zeichen auftreten, kann m vielen Fällen eine actuelle Bedeutung 
beigelegt werden. Denkt man sich nämlich die Einheit 1 als in 

o Theile zerlegbar , deren einer ist , so kann der reale Begrifl' 

der Multiplication, wie er früher für ganze Zahlen, d. h. fiir wirk- 
hche gesetzte Objecte gegeben war, auf diese neuen Objepte auch 
angewandt werden und man kann unter 



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§. 2. Gebrochene Zahlen. 



9 



den /imal gesetzten 'I'heil verstehen. Dadurcli ist die Bedeutung * 

von ^ . b nocli nicht bestimmt, und wird es erst, wenn wir unter einer 

solchen Multiplicatioii von in b die Operation verstehen, durch 

welche b in a Theile zerlegt wird; dann wird in der Anschauung 
der Beweis geliefert werden können, dass • . . 




und daher das commutative Princip gilt. Dabei ist aber zu be- 
meiken, dass eine neue Definition der Multiplication in letzterem 
Falle ausdrücklich gegeben werden musste und so gewählt wurde, 
dass dieselben Gesetze, wie zuvor für ganze Zahlen, auch bei 
dei- Multiplication von Brüchen gelten. Die gebrochenen Zahlen, 
weil ihnen an solchen Substanzen oder Relationen, welche einer 
wirklichen Theilung fähig sind, eben die.se Theile entsprechen, sind 
von Alters her als reale bezeichnet worden, obgleich es unzählig 
viele Dinge (Individuen) gibt, welche eine Theilung ihrem Begriffe 
nach gar nicht zulassen. 

Eben dieser Umstand, der in ganz gleicher Weise den Begriff 
des Negativen gefälirdet, insofern jener umkehrbare Gegensatz nicht 
in allen physischen Grösseugebieten vorhanden ist, weist zur Genüge 
daraufhin, dass der Gesichtsimnkt, aus dem wir bisher die nega- 
tiven und gebrochenen Zahlen betrachtet haben, nicht der einer 
reinen Theorie ist, welche von dem Inhalte der zu verknüpfenden 
Objecte unabhängig ist. Jene eines wirklichen Gegensatzes fähigen 
Relationen, diese wirklichen Theile eines theilbaren Objectes sind 
nur gewissen Verhältnissen entsprechende concrete Bilder, deren 
Existenz auf zufälligen, aus der specitischeu Natur des bestimmten 
Concreten hervorgehenden Bedingungen beruht. Jene allgemeinen 
foimalen Verhältnisse, deren Möglichkeit von der Beschränktheit 
unserer empirischen Anschauungen unabhängig ist, und die man, 
insofern sie die Bedingung der Möglichkeit r^ler Verhältnisse ein 
schliessen, transscendentale oder potentielle nennen kann, werden 
auch nicht an realen Objecten, sondern an intellectuellen oder au 



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10 



I. Exposition. 



Relationen .soldier betraclitet werden müssen, wenn wir uns von der 
/ufHlligkeit des Wirklichen befreien wollen. Die Bedingung zur 
.Aufstellung einer allgemeinen Aritbinetik ist daher eine von aller 
Anschauung losgelöste, rein intellectuelle Mathematik, eine reine 
Formenlehre, in welcher nicht Quanta oder ihre Bilder, die Zidilen 
vei-kniij)ft werden, sondern intellectuelle Objecte, Oed^nkondinge, 
denen actuelle Objecte oder Relationen solcher eutsineclicu kön- 
nen, aber nicht müssen. 

8 . 3 . 

l’rinci[> der Permanenz formaler Besetze. 

Ks seien n, b, v... irgend welche in der Anschauung vorhan- 
dene oder mentale Objecte oder Relationen von Objecten, so kann 
man sich etwa a und b auf irgend eine Weise rein hegritflich und 
fonnal miteinander verknüpft denken und als Resultat der Ver- 
knüpfung ein neues Object oder eine neue Relation c ansehen, welche, 
weil sie in allen weiteren Schlüssen an Stelle der btäden Glieder 
«, b, insofem sie verknüpft sind, treten kann, gleich der Ver- 
knüpfung genamit werden soll. Gescliieht jene Verknüpfung auf 
gesetzmässige Weise, und unterliegt sie gewissen Regeln, so über- 
sieht man von vornherein, dass zwischen den Resultaten'vei-scliie- 
dener Verknüpfungen neue Beziehungen statttinden können, welche 
die Folgen der ursprünglich gesetzten sind, und aus letzteren durch 
logische Schlüsse abgeleitet werden können, die von der Natur der 
verknüpften Objecte gänzlich unabhängig sind. Wie wir die Regeln 
der rein formalen Verknüpfungen, d. h. 'der mit den mentalen 
Objecten vorzunehmenden Operationen definiren, steht in unserer 
Willkühr, nur muss eine Bedingung als we.sentlich festgehalten 
werden: nämlich dass irgend welche logische Widersprüche in den- 
selben nicht implicirt sein dürfen. Um überzeugt sein zu können, 
dass bei keiner irgend welchen Zusammensetzung der Verknüpfungen 
ein solcher Widerspruch auftreten kann, werden wir die Regeln 
selbst so unabhängig von einander halten müssen, dass keine in die 
andere übergreift: wir werden uns auf die absolut zureichenden be- 
schränken müssen. ' 

Es ist klar, dass ein System von solchen mentalen 0|>eratianen 



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§. 3. Princip der Permanenz. 



11 



aufgcstellt werden kann, in welchem die Objecte und die Opera- 
tionen, welclicn sie unterworfen sind, ausreicliend und nicht inclir 
al.s ausreichend detinirt sind, welches aber, da es 'ohne Rücksicht 
auf irgend subordinirte actuelle Beziehungen aufgestellt ist, ohne 
jede Interpretation seiner Resultate, und ohne .\nwendung, ein 
leeres bleibt. . Um ilaher nicht in's Abstruse z.u verfallen, werden 
wir die Operationen mit mentalen Objecten solclien formalen Regeln 
unterwerfen, dass sie tlie actuellen Operationen an anschaulichen 
01)jecten und den deren Verhältnisse ausdiückenden Zahlen als 
untergeordnete in sich enthalten können. Die gemeine Arithmetik, 
die wesentlich mit einfachen gleichartigen Grössen operirt, und sich 
als arithmetica numerosa der concreten Zahlzeichen oder auch al.s 
arithmetica universalis oder speciosa concret allgemeiner Zeichen 
(species nach Vieta) z. B. der Buchstaben bedient, hat uns vor- 
stehends ein System .von Regeln kennen gelehrt, welche in der 
.That den verlangten Charakter der vollkommenen Independenz 
untei' einander haben. Diese werden wir zum Leitfaden nehmen 
und Operationen formal so bestimmen, dass die Residtate in die der 
. gewöhnlichen Arithmetik übergehen, wenn an Stelle der mentalen 
Objecte, an denen operirt wird, solclje in der Anschauung existi- 
rende Objecte getreten sind, deren gegenseitige Relationen durch 
gemeine Zahlen ausgediückt werden. 

Der lüerin enthaltene hodtjgetischo Grundsatz kann als das 
Princip der Permanenz der formalen Gesetze bezeich- 
net werden und besteht dann:^Venn zwei in allgemeinen 'Zeichen 
der arifhmetica univeraalis ausgedrückte Formen einander gleich 
sind, so Süllen sie einander auch gleich bleiben, wenn die Zeichen 
anihören, einfache Grossen zu bezeichnen, und daher auch die 
Operationen einen irgend welchen anderen Inhaft bekommen!^ 

Dies Princip'wifd im Folgenden unsere Schritte leiten; es daif 
aber in seiner .Mlgemeinheit nicht ohne Weiteres und überall ver- 
wandt werden; wir werden es überall nur zur Definition der noth- 
wendigen und hinreichenden Regeln, soweit diese von einander un 
abhängig sind, anwenden dürfen. Jedoch werden wir uns durch 
dasselbe nicht allzusehr beschränken lassen, namentlich die Conimu- 
'tativität unserer Operationen nicht unbedingt voraussetzen, da es 
sich als wissenschaftliche Nothwendigkeit gezeigt hat, Operationen 



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12 



I. Exposition. 



zu betrachten, welche allen Regeln der arithinetLschen Multiplication 
nur mit Ausnaliine jener entsprechen. 

Die rein foriuale Mathematik, deren l’riucij)ieii wir hier dargelegt halten, 
bestellt narb eiten diesen nicht in einer Verallgemeinerung der gewölmlichen 
-Vrithmetik ; sie ist eine durchaus neue Wissenschaft, deren Regeln durdi letz- 
tere nicht bewiesen, sondern nur exem pl ificirt werden, indem die for- 
malen 0|>erationen, auf actuelle Zahlen angewandt, dieselben Resultate gehen, 
als die anschaulichen 0]teratioiien der gemeinen Arithmetik. In letzterer be- 
stimmen die Deiinitionen der Operationen ihre Regeln, in ersterer die Regeln 
den Sinn der Operationen , oder anders zu reden, sie geben die Anweisung ?u 
ihrer Interpretation und ihrem Gebrauch. 

Es hat die Formenlehre nicht allein den engen Zweck, die gewöhnliche 
arithmetica imiversalis mit ihren ganzen, gebrochenen, irrationalen, negatlyen 
und imaginären Grössen zu erläutern und streng zu deduciren, sondern sie err 
weist sich mit ihrem Principe der Permanenz zugleich als eminent fruchtbar 
für den ganzen Organismus der Matliematik. 

Es ist schwierig schon an dieser Stolle die ganze Wichtigkeit jenes Priu- 
cipes nachzuweiseu ; doch mag wenigstens einiges hier angedeutet werden: 

Die reine Theorie der complexen Zahlen beruht auf diesem Princip, das 
uns zur Statuiruug der au sich willkührlichen Verknüpfuugs- Gesetze solcher 
einen Leitfaden liefert. Der Unterschied der complexen Zahlensysteme be- 
ruht auf particulären , neben den allgemeinen Gesetzen zulässigen Bestim- 
mungen, in denen eben der Charakter des Zahleusystcmes ausgesprochen ist. 
Doch können wir auf weitere allgemeine Erörterung dieses Punktes hier um 
so leichter verzichten, als das ganze vorliegende Werk seiner Entwickelung 
gewidmet ist. 

Aber noch mehr: Man kann aucli auf räumliche Objecte (Punkte, Strecken, 
Flächen- und Körperräume) Operationen anwenden, welche denen der ge- 
meinen Arithmetik entsprechen, imd die sich in überraschender Weise den 
natürlichen Gesetzen räumlicher Transformationen und Bewegungen an- 
schliessen. 

Auch die Mechanik ist der reinen Formenlehre untergeordnet, insofern 
ihre Objecte (Kräfte, Kräftepaare. Momente) nicht ailein ihren Operationen 
unterzogen werden können, sondern auch in diesen der natürliche, nothwen- 
dige Ausdruck mechanischer Beziehungen (Zusammensetzung von Kräften, 
Kräftepaaren, in der Ebene und dem Raume) gefunden wird. 

So erweisen sich denn, wie der Verlauf unserer Entwickelungen im Ein- 
zelnen darthun wird , die formalen Gesetze , wie sie die arithmetischen Opera- 
tionen zeigen, als von weitreichender’ Bedeutung; das Princip der Permanenz 
nicht als ein specielles oder nur hodegetisches. sondern als ein metaphysisches, 
das mit unserer ganzen Anschauung auf das engste verknüpit ist; die formale 
Mathematik aber, zu der wir von jenen Elemeutaroperationen durch dieses 
Princip aufsteigen , als eine fundamentale. Disciplin, welcher ebensowohl die 



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§, 3. Princip der Permanenz. 1 3 

Lehre von der Verknüpfung’ der Grössen in abstracto, als derer in der räum- 
lichen Anschauung, als der mechanischen Grössen subordinirt ist. 

Wir haben bisher nur von dem Beharren der arithmetischen Formeln 
gesprochen. Doch müssen wir hier schon aufmerksam machen auf den allge- 
meinen Werth, den das Princip der Permanenz formaler Gesetze als ein metho- 
dologisches für die ganzeMatheinatik hat: Ist ein comple.xes Zahlensystem. z.B, 
das gemeine gegeben, dessen Zahlen «==^1-1- Bi sind, so kann man innerhalb 
desselben gewisse Operationen vornehmen, z. B. aa, aan, aaaa, . , . die man 
mit o'^, o®, o' . . , bezeichnet, wo dann, so lange M, N ganze positive Zahlen 
sind , die Gleichung 

a" o 

statthndet. Dies Gesetz, rein formal betrachtet, hat man nun auf alle mög- 
lichen reellen W'erthe von A/und N auszudehneu versucht,' und gelangte so 

zu der Bedeutung von « ' a ■’ . . . , , a® . . . Der Fortschritt der Wissen- 

schaft verlangte dann aber eine Erweiterung des Begriffes der Potenzirung 
auf coniplexe Exponenten; eine Aufgabe, die seit der Mitte des vorigen Jahr- 
hunderts unendlich oft angegriffen und mit mehr oder minderer Klarheit be- 
handelt wurde, deren endliche, vollkommene Lösung aber erst Abej. gab, in- 
dem er obiges formales Gesetz als Functioualgleichung zur Definition der 
Potenz mit complexen Exponenten erhob. 

In ähnlicher Weise ist man neuerdings von der entsprechenden Gleichung 
aus zur Aufstellung des Begriffes negativer, gebrochener Differentiationen 
gelangt; andere Operationen, welche zunächst auch nur für ganzzahlige Ver- 
änderliche Bedeutung zu haben schienen, z. B. die numerischen Facultäten, 
sind von anderen Gleichungen aus erweitert worden. Immer ist die Permanenz 
formaler Gesetze der leitende Grundsatz; die Ertindung ist überall nur inso- 
fern sdbstständig , als sie diejenigen Gesetze auszuwäblen bat, die man für 
permanent erklärt. 

Solche formale Gesetze, die von den gemeinen arithmetischen immerhin 
ganz verschieden sein mögen, können nun einer besonderen propädeutischen 
Untersuchung unterworfen werden, die gänzlich von der actüellen Bedeutung 
der Operationen abstrahirt, und es wird sich dies besonders dann als zweck- 
mässig erweisen, wenn dieselben Gesetze mit verscliiedenem Inhalte mehrmals 
in verschiedenen Disciplinen wiederkehren. Diese formale Mathematik würde 
dann mit der unter dem Namen des „calculiis of operations“; oder ..Symbols“ 
besonders von den Engländern in letzter Zeit mit specieller Vorliebe ge- 
pflegten Disciplin zusammenfallen. Hierauf und auf den Jlutzen, welchen 
dieser Calcul der Theorie der Functionen leistet, nähen einzugehen, liegt nicht 
in dem Zwecke des vorliegenden Werkes. 

I ■) ■ 

Historisches. Dass an Stelle des absoluten Grösseubegriftes, mit dem 
die Arithmetik ausschliesslich operirt, ein allgemeinerer treten müsse, ist 
schon so lange als Notliwendigkeit anerkannt und mit grösserer oder geringerer 
Entschiedenheit ausgesprochen worden, als sich die imaginären Grössen in 



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14 



, I. Exposition. 



<ler Algebra und Analysis eine gesicherte Stelle •errungen haben. Aber auf 
welch’ wunderliche Weise man das Bedilrfniss befriedigen ;^u können glaubte, 
mag unter zahllosen Beispielen, die sich hier beibringen liessen, nur an der 
von CAUcny (Analyse algebrique, S. 173 11.) aufgestelltmi und sehr allge- 
nu'in v(;rbreitetcn Theorie des Imaginären dargetban werden: 

„En analyse, on appelle expression symbolique ou Symbole tonte 
combinaison de signes algebriques qui ne signifie rien par eile - meme , ou ä 
laqnelle on attribne une valeur differente de celle qu’elle doit uaturellement 
’ avoir. On nomme de meine equations symbolkjues toutes celles qui, prises 
ä la lettre et iiiterprdtiies d’apris les con<eutions generalement «ttablies. sont in- 
e.xactes ou n’ont pas de sens, niais desquelles on peut deduire des resultats 
cxacts, en modiiiant et alterant selon des rkgles fixes ou ces equations elles- 
memes , ou les symlmles qu’eUes renferment .... Parmi les expressions ou ‘ 
equations symbolique.s dont la consideration est de quelque importance. en ana- 
lyse, on doit sur tout distinguer celles que Ton a nommees imagiuaires.“ 

Sollte man eine Kritik dieses Kaisonnements geben, man wüsste in der 
That nii ht, wo anfangen. Da soll etwas „was nichts liezeichnet“, oder „was 
etwas anderes bezeichnet, als es naturgemäss bezeichnen sollte'^ etwas „Un- 
sinniges” oder t.Ungenaues“, mit anderem derselben Art gepaart. Reelles er- 
zeugen. Da sollen „algebraische Zeichen“ — sind dies Zeichen für Grössen 
oder wofür? denn etwas muss doch ein Zeichen bezeichnen — mit einander 
combinirt werden auf eine Weise, die „nichts bezeichnet.“ Ich glaube nicht zu 
viel zu sagen, wenn ich dies ein unerhörtes Spiel mit M'orten nenne, das der 
Mathematik, die auf die Klarheit und Evidenz ihrer Begriffe stolz ist und stolz 
sein soll, schlecht ansteht. Wenn nun auch, vermöge der eigentliümlichen 
Natur der mathematischen Methode, die in ihrer Entwickelung selbst das 
Uorrectiv für die in den allgemeinen Begriff en begangenen Fehler und Unklar- 
heiten tragt, die weitere Exposition Cauchy’s in ihren Resultaten richtig ist, 
so muss (loch jenes Gaukelspiel , welches durch die Phrase „synjiolisch“ nur 
iiothdürftig verdeckt wird, fort und fort störend eingreifon. wie er denn (S. IT.*!) 
wiederum ausdrücklich erklärt; „L’fiquation 

cos(o + fj) + y — 1 sin (o -(- Ä) = (eos a + y — 1 sin a) (cosi ■ — 1 sin 4) 

elle-meme, prise ä la lettre, se trouve inexacte nt n’a pas de sens“ u. s. w. 

Die Begründung der Rcchnnngso]3eratioiien wird von ihm folgendermassen 
gegeben : „Supposons que l’on multiplie l’une par l’autre les deux e.xj)ressions 
(cos a y — 1 sin n), (cos 4 -p (/ — 1 sin 4). en opfu'ant d’aprös les rf'gles 
conuues de la multiplication algObrique, comme si — 1 etait une quantifo 
reelle dont le carre füt dgal ä — 1.“ (S. 174) „Les expressions imagiuaires 
peuvent etre soumises, aussi bien que les quantites r(^elles aux diverses operations 
de l’algebre“ (S. 177l u. s. w. üb dies aber willkührlich, oder nothweudig, 
und ob es erlaubt ist, darüber erfährt mau nichts. Eben so oberflächlich als 
hier das Imaginäre behandelt Cauchv das Negative in der ersten Note der 
Analyse algiibrique. 



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§. 3 Historisches. 



15 



Man begreift', dass es hier, wo nicht eine Ucschichte der Metaphysik der 
mathematischen Grundbegriffe gesclirieben werden soll, nicht möglich ist, auf 
die zahllosen Darstellungen einzugehen, welche sich von den Begriffen der 
Zahl, des Negativen, Imaginären und ihrer Hechnungsoperationen in den l^ehr- 
büchem linden. Fast jeder einigermassen selbstständige Autor hat diese 
Schwierigkeiten, welche eine gründliche Darstellung jener Begriffe in den Ele- 
menten hat, gefühlt und sie auf unendlich mannigfaltige AVeise zu überwindeu 
gesucht. 

Nachdem ich den Weg, den ich in diesem AVerke eingcschlagen habe, als 
den einzigen wissenschaftlich genügenden erkannt hatte, habe ich es mir an- 
gelegen sein lassen, zu ermitteln, wie weit derselbe schon von anderen ange- 
zeigt worden sei. Meine Ausbeute ist nicht gross gewesen : 

In England, wo man Untersuchungen über die (Trundprincipien der Mathe- 
matik stets mit Vorliebe gepflegt hat, und wo selbst die bedeutendsten Mathe- 
matiker es nicht verschmäht haben, in gelehrten Abhandlungen sich mit ihnen 
zu beschäftigen, ist als derjenige, welcher die Nothweiidigkeil einer formalen 
Mathematik zuerst mit Entschiedenheit erkannt hat, der von seinen Lands- 
leuten sehr geschätzte Cambridger Gelehrte Gkorgk Peaoock zu nennen. In 
seinem interessanten Report on Ceftain Brauches of Analysis (in dem 111. Re- 
port of the British Assoc. f. tlie Advanc, of Science^ London 1834, S. 185), ist 
das Princip der Permanenz freilich einerseits zu eng, andererseits ohne die 
nöthige Begründung aufgestellt. Die AVerke, in denen er dasselbe weiter aus- 
geführt hat, die Arithmetical Algebra (Cambridge 1842) und die Symbolical 
Algebra (ebenda 1845) kenne ich ebensowenig wie die einschlagenden Abhand- 
lungen von Acoustus uk Mohuan „Uu the Foundation uf Algebra“ (Cam- 
bridge Phil. Transact. T. VII, pt. II, 1841 und 111, 1842; VIII, pt. II, 1844 und 
III, 1847). Ueberhaupt ist mir von der zahlreichen Literatur, welche eine von 
Peacock ausgehende Cambridger Schule über die von ihnen sogenannte „sym- 
bolische Algebra“ hervorgebracht bat, nur noch eine kurze Abhandlung vou 
D. F. Gi(eooky „On the Real Nature of Symbolical Algebra“ (Trans. Roy. Soc. 
Edinburgh. A’ol. XIV,. 1840, S. 208) zugänglich gewesen. . 

ln Deutschland hat eine rein formale Darstellung der arithmetischen 
Operationen M. Oum in der ersten Autlage seines „Versuchs eiucs vollkommen 
couseq\ienten Systems der Mathematik“ 1822 gegeben, die er dann in der 
zweiten AuHage von 1828, ohne seine Meinung darüber zu ändern , „däss nur 
dieser AA'eg logisch strenge und also allein der vollkommene Ueberzeugung ge- 
währende ist“, zu Guusten einer grösseren Poinilarität, so umgestaltet hat, 
dass er von dem gewöhnlichen Zablenbegriff' ausgeht und denselben überall 
vermischt mit dem iler formalen Opeiationen anwendet. Dadurch aber hat. 
ganz abgesehen von der bekannten Pedanterie und Weitläufigkeit in deü 
Schriften Ohm’s, die ganze Darstellung eine höchst unerquickliche Zwitter- 
gestalt angenommen. 

In ähnlicher nur noch minder strenger Darstellung taucht der Gedanke 
Oum's in deutscheu Lehrbüchern hie und da auf, aber ohne dass er meines 



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16 



I. Exposition. 



Wissens irgendwo so consequent durchgeführt ist, als dies bei den Engländern 
mutlmiassiich geschehen ist. Man hat sieh eben nie entschliessen können, die 
Formenlehre ohne den ZahlbejJriff zu behandeln, sondern überall ihre Sätze 
aus der gemeinen Arithmetik bewiesen. Bei einer streng wissenschaftlichen 
Behandlung geht aber dies nicht an, vergl. §. 10 und 11. 

Der Gedanke, eine reine Formenlehre der Grössenlehre vorangehen zu 
lassen und letztere aus dem Gesichtspunkte der ersten zu betrachten, so 
wichtig er auch für die Begründung und die structive Gliederung des Gebäudes 
der Mathematik sein mochte , war so lange für den weiteren Aufl)au derselben 
ohne wesentlichen Werth, als man sich nur darauf beschränkte, ihn aus- 
schliesslich zum Beweise von Sätzen zu verwenden, die nicht allein schon 
längst bekannt, sondern auch sattsam, wenn auch so zu sagen nur empirisch, 
begründet waren. First H. Grassmann hat diesen Gedanken mit wahrhaft 
philosophischem Geiste ergriffen und von einem umfassenden Gesichtspunkte 
aus betrachtet. In seiner „Linealen Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der 
Mathematik“ 1844 hat er auf ihn eine Wissenschaft gegründet, welche sich 
ganz allgemein mit abstracten, extensiven, stetigen Grössen, als deren concrete 
Bilder die räumlichen F'iguren (Strecken, F'lächen, Körijerräume) erscheinen, 
und mit deren Verknüpfung, beschäftigt. .Die rein formalen Verknüpfungs- 
gesetze , die man nach dem hergebrachten Ausdrucke arithmetische Opera- 
tionen nennt, linden hier ihr reales, aber abstractes Substrat, und, wenn man 
sie geometrisch veranschaulicht, ihre concrete reale Bedeutung, Die schönen 
in diesem Werke niedergelcgten Ideen haben eine weitere Ausbildung und 
Verwendung erhalten in Grassmann’s Leipziger Preisschrift ,.Geometrische 
Analyse, geknüpft an die von Lkibniz erfundene geometrische Charakteristik“ 
1847 und in seiner „Ausdehnungslehre“ von 1862. In letzterem Werke ist 
die Darstellung eine andere geworden, indem er hier die räumlichen Gebilde 
durch complexe Zahlen darstellt, deren Einheiten die den geometrischen 
Operationen entsprechenden Verknüpfungsgesetze zeigen. Mochte die Dar- 
stellung in dem ersten Werke durch ihr allerdings durchaus sachgemässcs 
philosophisches Gewand und die ungewohnte F’örm der Operation mit Grössen, 
welche den Charakter der einfachen in der Arithmetik gebräuchlichen Grössen 
nicht haben, einigermasseli abschrecken, so ist im letzten Werke die dem 
Mathematiker gewohnte F'orm eingehalten. Wenn trotzdem die Unter- 
suchungen des geistreichen Forschers die Anerkennung nicht gefunden haben, 
die sie verdienen und die jeder, der sie kennt, ihnen zollen muss, so ist 
dies, meines Erachtens, hauptsächlich dem Umstande zuzuschreiben, dass ihr 
Verfasser allen SäUen sogleich die allgemeinste Form (in Bezug auf n Dimen- 
sionen) gegeben^ 'dadurch aber die Uebersichtlichkeit und das Verständ- 
niss ungemein erschwert hat. Wo wir im F’olgendcn GrAssmann’s complexe 
Zahlen und ihre Operationen darzustelleu haben, werden wir den Sätzen eine 
anschauliche, geometrische Gestalt geben, die in der That die wesentliche All- 
gemeinheit nicht beeinträchtigt. 

Die Anwendung der Principien der allgemeinen Formenlehre auf einfache. 




§. 3. Ilistorisclios. 



17 



durch Setzung eines und desselben Objectes entstandene Grossen zeigt Gbass' 
MANN in seinem ,, Lehrbuch der Arithmetik für liöhere Lehranstalten“ (Ber- 
lin 1861). 

Auch Sir William Rowan Hamilton hat sich (Theory of conjugate 
Functions or Algebraic couples; with a Proliminary and'Elementary Essay on 
Algebra as the Science of Pure Time, Trans, of the Royal Irish Acad. Vol. 
XVII. Part II. S. 2R;5. Dublin 1835, sowie in der Vorrede zu seinen Lectures 
on Quateruions, Dublin 18.53) sehr eingehend mit der Begründung der Algebra 
beschäftigt. Er betrachtet die Algebra „as heing no merc Art, nor Language, 
nor primarily a Science of Quantity, hut rather as the Science of Order in 
Progression.“ Als Bild eines solchen Fortschrittes erscheint ihm die ideale, 
von allen Beziehungen von Ursache und Wirkung ahstrahirte Zeit, da sie die 
reine Anschauungsform des innereuSinues nach Kant (Kritik der reinen Ver- 
nunft, in der Ausg. v. Rosknkkanz und ScncuERT, II. Bd., S. 40) sei, hesser.ge- 
cignet als der Raum, die Anschauuugsform des äusseren Sinnes, insofern der 
Begriff des Vergangenen, Gegenwärtigen und Zukünftigen früher in dem Geiste 
entstehe, als der des Vorwärts und Rückwärts im Raume; die Algebra ist ihm 
die Wissenschaft von der reinen Zeit. 

Gelangt er so zu deuBegriffen der reellen Zahlen und ihrer Verknüpfungen, 
so geht er daun zu Paaren, Ternionen, Quaternionen u. s. w. solcher Zahlen 
über und hat deren formale Verknüpfu'ugen und die verschiedenen dabei vor- 
handenen Möglichkeiten ausführlich untersucht (s. Vorrede zu den Lectures 
S. 8 — 30). Die Auffindung von entsprechenden Verknüpfungen räumlicher 
Gelrilde hat ihn aufseine Quaternionen geführt..— 

Wenn nun hienach der Gedanke, die allgemeine Arithmetik und Algebra 
unter dem höheren Gesichtspunkte einer formalen Mathematik, zu der das 
Prineij) der j’ennaneuz ihrer formalen Gesetze führt, anzusehen, nicht absolut 
neu ist, so’darf doch die ganze Art und Weise, in der ich denselben für die 
elementarsten und .ältesten Thcilc der Mathematik ebensowohl wie ihre 
schwierigsten und neuesten Theorieen fruchtbar gemacht und systematisch 
durchgeführt habe, als neu und selbstständig Imzeichnet werden. 



Hankelt romplexe Zablon. 






2 



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/.WEITER ABSCHNITT. 
Allgemeine Formenlehre. 

§. 4. . 

^ Algorithmus associativer Recliniingsoperationen ohne 
,Commntation. 

Es sei eine Anzalil von Objecten a, />, c, d . . . gegeben, w(4che 
gewissen Verknüj)iungen, dei’en formale Eigenscliaftcn im h^olgen- 
(len der Ilcilie nach festgesetzt werden, in gleicher Weise unter- 
worfen werden sollen. • ’ 

Es bedeute A («, />) eine Verknüpfung von n und ä; und etwa 
e das Object, welches aus der vollzogenen Verknüpfung resultirt, 
so dass A («, /.) == c gesetzt werden kann. Diese N'erbiiidimg A (u, />) 
soll so beschatfen sein , dass, wenn man auf geeignete Weise das 
sieb als Resultat ergebende Object c mit tlietisch verknüpft, da- 
durcdi d,as andere Glied der Verbindung n mit Notbwendigkeit 
wieder erhalten wird. Bezeichnet man diese letztere Vcrknü])fung 
mit (•), so spricht 0 (c, l>) = a oder 

0 {A («, Ai)> « • (') 

diese Annahme in Zeichen aus und enthält zugleich eine Definition 
dieser thetischen Operation 0 aus jener A, die wüi- als die 
lytische hczcichnen. 

Ich bemerke sogleich, dass wir in diesem §. überall die 13 -tische 
und thetische Operation, auf welche Objecte sie auch angewandt 
seien, als möglich und eindeutig voraussetzen wollen, d. h. wenn 
a, h gegeben sind, so soll 0 (a, h) ebenso wie A (a, A) nur eine 



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§. 4. Algnrithimis der Operationen. 



19 



einzige Bedeutung liabon, so dass alle Objecte, welche etwa für 
das Resultat dieser Verbindungen gesetzt werden dürfen, unter sich 
vollkommen gleich sind, sich also, der Definition des Gleichen zu- 
folge, überall vertreten können. 

Man kann hieraus sogleich Folgerungen ziehen: Wäre näm- 
lich X («, h) — }. (fl', h), ohne dass « = so wäre auch: 

H jü (fl, h\ = Ö p. (a', h), ö\ 

d:i aber © {A (a, Ai), f>\ = o, © (a', h), Aj == d , go ist dies un- 

möglich. 

Aendert sich also a in l («, f>) bei constautem /f,'so ändert sich 
notliwendig auch das Result:it der Verknüpfung. 

Die (lleichung A (a*, f>) = o- hat hieiiach nur, Fine Auflösung, 
die man findet, wenn man beide Seiten mit A thetisch verknüpft: 

© JA (x, A), h\ = © {a, b) * 

also X = OJ (a, A), wodiu’ch man die Identität: 

A I© (a, A), Aj a (2) 

erhält. Hieraus geht weiter hen’or, dass wenn 
© (fl, A) = © (fl', A) 

auch notliwendig a = d sein muss. Denn wäre dies nicht der 
’ Fall, so hätte man aus der Gleichung 

A {© (fl, A), Aj = A {© (fl', A), A} 
das widersinnige Resultat a = «'. 

Aus obiger Voraussetzung, der Fändeutigkeit der lytischen und 
thetischen Operation folgt also, dass wenn sich in A («, A) und 
(fl, A) das erste Glied ändert, wälirend das zweite constunt 
bleibt, sich auch gleichzeitig das Ergebniss der Verknüpfung än- 
• dert, also aus jeder der Oleichungcn : 

^ ("-» ^0 T= Ä (fl', A), © (fl, A) = © (fl', A) 
stets fl = fl,' geschlossen werden kann. 

Nimmt man statt der obigen Voraussetzungen an, dass die 
Operation © (a, A) eindeutig ist und die Eigenschaft hat, dass sich 
ihr Resultat jedesmal ändert, wenn sich ihr erstes Glied ändert„so 
kann man hieraus, <lie heiden EigenschafR'n der entsprechenden 
l 3 ’tischen A, eindeutig zu sein und sich zu verändern, wenn sich ihr 
" erstes Glied ändert, ebenso leicht ableiten : 



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20 



II. Allgpmoinn Fürmfinlfiliri'. 



Angoiiorainen niinilicli, es wäre A (a, b) vieldeutig, d. li. es gäbe 
mehrere unter einander vei-sdiiethuie Objecte, welche A («, h) in den 
Formeln vertreten könnten, so seien c, c zwei solche; dann wäre: 

0 jA (a, b), b\ — (•) (e, b) = 0 (c, b) ~ a. 

Nach der Annahme, dass 0 (c, h) — 0) {c , b) nur sein kann, wenn 
e == c', folgt die Eindeutigkeit der A Operation und daraus weiter 
das Gesetz, da^s sich A (n, b) jedesmal mit a ändert. 



Zar Krläutcning dieser IJemerkungen nehmen wir die gemeinen reellen 
Zahlen und ihre ßeclmungsregeln hier als bekannt an. Dann kann man z. Bi 
Ö («, b) ^ a + b setzen, wo beide eben angenommene Kigenschaften erfüllt 
sind. Dann ist / (a, A) «= « — A; denn es ist H (/ (a, A|, b)= H{a — A. A) — 
(n — b) + b = a wie verlangt, und in der That ist l eindeutig Setzen 

wir ferner (■) (a, b) = u b so ist H («, A) = Da erstere Operation, wenn 

a, b gemeine Zahlen sind, eindeutig ist und sich im Allgemeinen das l’roduet 

ändert, wenn sieh ein Factor ändert, so hat auch dieselben Eigenschaften. 

A 

Da aber das Product diese Eigenschaft nicht hat. wenn A =0. indem «.0 = 0. 
ffl'.O = 0, so ist auch die umgekehrte Operation nämlich ^ nicht eindeutig. 



Ist etwa ferner H («, A) = (« A)*, so- ist i («, A) = l' “ da W (/ («, A), AV= 

A 

fei (^,A)=- o; es ist aber k («, A) zweideutig, weil sich in dom eindeutigen 
A 

Resultate fei (a, A), das a ändern , nämlich in das entgegengesetzte ühergcheii 
kann, ohne dass sich das Resultat ändert. 



Ist fei <«, A) == «*, so ist H (c, A) = c* = « wenn c — X («., A); aus 
• L®* ^ 

«i' =e'''»s' = o folgt aber c = i (a, A) = e * eine bekanntlich unendlich 
vieldeutige Zahl; dies steht damit im Zusammenhänge, dass «'■ sich nicht 
jedesmal ändert , wenn a einen anderen Werth annimmt, sondern unverändert 

hleiht, wenn es den Factor e * erhält. 



Fis mag hier sogleich bemerkt werden, dass es, allgemein zu reden, zu 
jeder thetischeu Operation fei (a, A) jedesmal zwei lytische gibt; die eine 
löst die Aufgabe fei (j;, b) = a, die andere w (A, a) = «; die eine ist wenn 



ioK a 

fe) (rt, A) =«*' gesetzt wird x = e , die andere x 
nur Zusammenfällen, wenn H (</, A) = fe^ (A, «). 



lüg et 

i . Beide können 
lüg A 



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§. 1 Algorithmus der Operationen. 



21 



Unter Vuriiussetzuug der Eindeutigkeit beider ü[)erationen 
hat man neben 

0{A (a.Ä), />} = « (1) 

wie schon gezeigt, die andere Gleichung: 

l {© (a, h\ Äj = « (2) 

Wir setzen fenier die associati vc Eigenschaft voraus, d. h. dass: 
0 [«, 0 {b, c)] = <5 [0 («, />), c] (3) 

sei, wo man dann, ohne Zweideutigkeit hiefdr: 

= 0 (ff, h, c) 

schreiben darf. Dann ist: 

0 [«, 0 (/>, c, «()] = 0 [ff, 0 [0 {b, c), </[] 

= 0 [0 jff, 0 (6, C)l, </] = 0 [ff, 0 (A, c), rf] 

= 0 [ff, 0 [6, 0 (c, rf)|] = 0 [0 (ff, h), 0 (c, rf)] 
so dass man hielur wiederum : 

= 0 (ff, Ä, c, d) 

schreiben darf, womit man ausdrückt, dass man immer, und in 
ganz beliebiger Weise zwei aufeinanderfolgende Objecte paarweise 
thetisch zu verbinden hat; dann wieder zwei solche n. s. f Gilt 
also das associative Princip bei 3 Gliedern, so gilt es auch bei 4 
und überhaupt allgemein. 

Als Beispiele dmehaus eindeutiger Thesen, welche associati.v sind, können 
di(^ .tddition und Mnltiplieation dienen Als Beispiele solcher, welche es nicht 

sind, z. B. (4 (a,b) — ; denn daun ist 0 (0 (a, b), c) = 0 

— ;«(«,« ( A . 0 ) -=0 10 , — 1 • 

Aus den gemachten Voraussetzungen lassen sieh nun eine Reihe 
von wichtigen Transformationen heiieiten : 

Setzt man 

X ^ 0 [ff, }. (A, c)] 

so hat man nach (3) 

0 (x, c) = 0 [0 [ff, ). (Jt, c)], fj = 0 [ff, 0 [A (/>, (•), c]| 

und daher nach (1) ' ' 

0 (j-, c) == 0 (ff, b) 



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22 • 11. Allgemeine Korineuleliri!. 

also 

A [Ö (J-, (■), cj == A (rt, />), r] 
oder nach (2) x = 

(‘J\n, ?.{/>, <•)]--=--. A >>(-/,/>), rj 

Setzen wir t'eruer: 

- j; = A [A (a, A), <•] 

so hat man nach (1) . 

0 (,r, c) = 0 {A [A (<t, A), <•], rj = A ((t, A) 
also wieder nach (I ) 

(•J [0 c), AJ == a 

oder nach (3) 



( 4 ) 



0 [x, (■) (c, A)J = u 
und somit nacli (2): x = 

A [(», 0 (c, A)] = A [A (rt, A), c] (ö) 

Man hat ferner, wenn 



gesetzt wird, nach (1) 
imtl nach (2) 



X = A [0 («, c), AJ 
0 (x, A) = 0 (u, <;) 



A [0 (x, A), c] = o /■ 

dalier nach (4) • A 

A [0 (x, A), cJ = 0 [x, A (A, c)l = (t 
und somit erhält man nach (2), x = . ' ' ' , . 

A [«, A (A, 6-)] = A [AA («, c), Aj (ti) 

eine (,Jleichung, welche mit (4) zu: ■ - 

A [& ((t, <;), A] = A [fi, A (A, c)j = 0 [a, A (c, A)j, (4, 1!) 
vereinigt werden kann und wo, wie in (f>), die Vertauschung der 
Ordnujig von c und A im mittelsten üliede wohl zu bciichten ist. — '' 
Wir haben es oben als eine nothwendige Folge der voraus- 
gesetzten Eindeutigkeit der lytischen und thetischen Verknüpfung 
kennen lernen, dass sich 0 («, A), A (w, A) ändern muss, wenn sich 
das Vorderglied u ändert, während das llinterglied A coustaiit 
bleibt. Wir nehmen jetzt weiter au — und nennen diese ganze 
Voraussetzung dib der vollkommenen Eindeutigkeit — , dass 
auch, wenn in 0 (a, A) sich das zweite Glied ändert, während das 



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23 



§.4. AlRorithmuS'der Openitiofien. 

ei-stc uiiveriiiidert l)leibt, sich das Ergcbniss der Verknüpfung 
iiinlert'; dass inan also ans f) {/it, //) = ("i ( fi, />) immer auf b = // 
scliliesseii dürfe. 

Kino notliweiidige Eolge hievon ist, dass, wenn l {a, l>) 

K («, //) = also 

(•t jA (rt, />), /'l = «, Ö jA (ff, 'V\ h'\ = ff 
oder 0 (/<, h) = © (/<, //), 

aucli nothwendig h = // sein muss, sieb also aucli das Re.sultat der 
lytischen Verbindung ändert, wenn das zweite (ilied ein anderes 
ist, während das erstere constant bleibt. 

Wir nehmen nun an, dasses ein Object «, den Modulus der 
Operation gibt, welches mit jedem Object a tlietisch verknüpft, 
dasscllie wieder als Resultat ergibt, so dass: 

0 (ff, n) = a (7) 

Dann hat man nach dem associativen Princip 

0 {ff, 0 (/(, c)J = 0 {0 (ff, ii), cj = 0 (ff, <•) 
und nach der vorausgesetzten Eindeutigkeit 

0 («, c) =. c . (8) 

so dass die Ordnung, in der mau den Modul mit dem Objecte ver- 
bindet, für das Resultat gleichgültig ist. 

Fei'uer findet mau : ^ 

A (ff, /<) = ff (U) 

denn es ist nach (1) 

0 {A (tt, «), «I = ff 

und nach (7) 

A (ff, «) = 0 |A (ff, w), ff) — a 
Aus (2) erhält man ferner für a = n 
' A [0 (ff, b), li\ = n 

und da 0 (w, h) — h 

A (/>, f>) = n (10) 

so dass der Modul durch die lytische Verknüjifung irgend eines 
Objectes mit sidi selb.st, erhalten wird. 

Während sich 0 (A, «), 0(«, /), 'hU>, n) einfach auf l> redu- 
cirteu, ist dies mit A (w, h) nicht der Fall. Wir schreiben: 



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24 



- II. Allgemeine Formenlehre. 



}.{n,b) = 0, (11) 

und nennen das zu h inverse Object, h aber das directe. Dann 
lässt sicli zeigen, dass das zu inverse Object wiederum h ist, also 
h, und h in dem contrüren Gegensätze des directen und inversen 
stehen (vergl. §. 17). Man hat nämlich aus (6) für a — n, b = >i: 
?. [«, (n, c)] = ). [0 (n, c), »j] 

also da nach (8) und (9) l (0 (n, c), «] == A (c, w) = c und nach 
(1 1) A [«, A («, c')] = A [n, c.] = (c.)__ ist: 

M„ = c ( 12 ) 

Durch Einführung dieses Zeichens lässt sich ausserdem jede 
lytische Verknüpfung in eine thetische und umgekehrt verwandeln. 
Demi man hat für b = n, aus (4) : 

0 [«, ^ («, c)] == A [0 («, >0. c] 

oder A (o, c) = 0 (a, c,) (13) 

und aus (6) für b — n-, 

A [ff, A (n, c)] = A [0 (ff, c), «1 

oder ' 0 (ff, c) = A («, c.) ' , (14) 

Aus der Gleichung (4, 6) 

• A [<*, A. (b, c)] = 0 [ff, A (c, A)| 
ergibt sich noch für n = n, dass 

[A (A, c)]„ = A (c, A) . (15) 

und aus (5) für a = n: 

[0 {h, c)]„ = 0 (c„, b„) (Dl) 

• Mit Hilfe dieses Begritfes des Inversen lassen sich jetzt die Gleichungen 
4, 5, 6 so schreiben : Es ist 

(9 [«, i (h, c)] = «[«,« (6, c»)] 

1 [ft (ff, b), c] = ft [ft (ff, b), c„] 

also gibt (4): 

ft [ff, ft (b, c,)| = ft [ft (ff, b), c„] 

Ebenso gibt (5) 

ft [ff, ft {b„, (•„)] = ft [ft («, b„), c„] 

und (G) 

ft [ff, ft (c, i,)] ^ ft [ft (ff, c), i„] 

und sie sind somit nur Darstellung^ des assoriativen Princips bei der Ver- 
knüpfung directer und inverser Ubjecte. 



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§. 5. Die inverse Reihe. 



25 



§.5. . - 

Algorithmus assoriativcr 0|ioratioiien mit Conmintatioii; 

Bildung der inversen Objectenreihe. 

Ist bisher das Resultat der Operation (•) (<?, />) von ö {h, «) 
als verschieden angesehen worden, so steht doch dein niclits ent- 
gegen, dass wir ncheu den Festsetzungen des vorigen noch die 
machen, dass jederzeit 

(a, b) = B (/>, a). 

Die anderen Fomeir, welche man dadurch den Gleichungen des 
vorigen §. geben kann, indem man z. B. statt (1) und (2) 

e{b,?.(a,b)\^a ■ (1*) 

l {0 (b, a), b} = a (2*) 

schreibt, fuhren wir der Leichtigkeit wegen, mit der sie sich er- 
gehen, hier nicht weiter an. Nur eine wesentlich neue Gleichung 
mag hier erwähnt werden: 

Setzt man nämlich 

b ja, b {b, c)} = X • 

so hat man nach (5) 

b (x, c) = b [b ja, b {b, c)j, c] = A [a, 0 Je, b {h, cj|] 

Aus der durch Commutation erhaltenen Gleichung (1*) hat man 
0 je, b {b, c)i = b 

also b (or, c) = b (a, b) und daher x ’= 

b ja, b (b, c)j =0 JA (a, b), ej (6*) 

eine Gleichung, welche neben (6) gesetzt werden kann, aber eine 
ausdrückliche Folge der Commutativität ist — welch letztere Vor- 
aus-setzung in den weiteren Untersuchungen dieses g. immer fest- 
gehalten werden soll. 

Wir haben im Voreteheuden überall die unbeschiänkte Aus- 
fülu'barkeit aller Operationen vorausgesetzt, d.. h. angenommen, 
dass es in dem betrachteten Gebiete von Objecten jedesmal ein Ob- 
ject gibt, welches als Resultat der Operation angesehen werden 
kann, und insofern mit den in die Operation eingehenden Objecten 
gleichartig ist, als es mit letzteren oder auch mit anderen aus ähn- 



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26 



II. Allgemeine Formenlehre. 



liehen Operationen liervorgchenden Objecten nach denselhcn, cin- 
nu'iJ fe.stgesetzten Regeln verknüpft werden kann. 

Nicht überall aber ist das Ochiet von Anfang an so ausge- 
dehnt; vielmehr werden wir Fälle kennen lernen, in welchen die 
auf eine Reihe von (Rjjecten angewandte thetische Operation aller- 
dings jederzeit ein Object derselben dirccten Reihe liefert, während 
tlie Lysis nur in gewissen Fällen zu einem solchen führt, in anderen 
aber nicht, somit in gewissem Sinne unausführbiu' ist, und eirt 
ausführbar wird, wenn man sich zu der gegebenen Reihe von Ob- 
jecten eine invei’se hinzudenkt, die entweder, transscendental oder 
in der Ansclnuumg construirbar ist. — 

Wenn rr, h Objecte der urspriinglich gegebenen Reihe bezeich- 
nen, so wird ). (a, //) ein Object dieser neuen Reihe oder auch unter 
bestimmten Redingungen eines der ursprünglichen Reihe darstellen. 
Im letzteren Falle weiss jnau nach vorstehenden Regeln mit A (a, />) 
zu operiren, es lässt sich dies 1 (a, l>) mit anderen Zeichen l (e, tf) . . . , 
welche der ursprünglichen Reihe angehören , associativ verknüpfen. 
Gehört aber A (ti, Ü) diei^er alten Reihe nicht an, so ist es zu- 
nächst unbestinimt, wie dasselbe überhauj)! mit anderen ( Ibjectcm 
A (c, <f) . . . , welche ebenfalls in der alten Reihe nicht vorhanden 
sind, oder auch mit denen der alten verknüpft werden solle. Hier 
tritt nun das Princip der Permauonz der Formen ein, indem- es uns 
aufl'ordert, die neuen Verknüpfungen so zu detiniren, dass sie den- 
selben formalen Bedingungen genügen, als die der ui'sprünglich 
gegebenen Objecte. 

Aus (4) des vorigen §. findet man, wenn alle vorkommenden 
lytischen Verknüpfungen Objecte der alten Reihe sind: 

0 [A (a, A>), A (c, cf)] — A [© (A («, fc), c), d] 

Vermöge der Commutativität und nach (4) hat -man: 

0 (A (a, />), v) = 0 (c, A (a, ä)) = A (0 (c, «), h) 
und daher: 

0 [A (a, i), A (c, c/)] = A [A (0 (c, a), ö), d] 

Nach (5) aber ist: 's 

A [A (0 (c, a); f>), cf] = A [0 (c, a), 0 {d, A)] % 
also schhesslich , 

0 [A (a, Ä), A (c, cf)] = A [0 (a, c), 0 (6, cf)] (1) 



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S. ö Die inverse Reihe. 



27 



Di(!st! (illüchuiig min wolloii wir auch iin Falle, dass die Ver- 
kniij)fuiigeii }. (a, ä), ?. (r, //) nicht beide Objecte der alten Reihe 
simj, als Definiti on ihrer theti.schen Ojieration ansoheu. 

Aus derselben folgt sofort die Coiunmtativität, denn es ist 

© \X (e, d), X (n, /0]'= 1^ (e, «)> f>)] 

ferner auch die Associativität : denn es ist 

0 (© fA (a, />), X (c, (7)], X (r, f)) ^ r-J (X [0 (d, c), 0 (X, </)], X (e, /’)) 
= A (0 [0 (d, c), 4 0 (0 (/>, d), /■]) 

= A {0 (a, c, c), 0 (/', </,/)} 

und 

0 (A (d, />), 0 [A (c, fA),'A (e,/')]) == ^ 0- ("» e), 0 (</, /')]) 
' = A (0 [«, © (c, e)J, 0 [//, © (.lA, /■)]) 

==’A {0 (a, c, e); 0 (Ä, </,/)} 

Dass die Thesis zweier Objecte der zweiten Art A (a, 6), X (e, d) 
immer wieder ein Object derselben Art, welches nämlich in der 
Form X {c, f) dargestellt werden kaim, wo e f mit n h r. d gleich- 
artig sind, geht unmittelhar aus deren Definition hervor. 

Es fragt sich aber weiter, oh bei der jener Thesis entsprechen- 
den Lysis zweier Objecte der zweiten Art, nicht wiederum neue ent^ 
stehen; es .wird hierüber entschieden durch folgende Bemerkungen: 

Wenn der fnihere Modul der Operation jetzt die Eigenschaft 
hat, mit einem Objecte der neuen sowohl wie der alten 
Reilie thetisch verbunden , das Object selbst wieder zu erzeugen, so 
ist nach (1) 

X [0 («, x), 0 (X, x)] = 0 [A (a, Al), A (x, x)j = A (a, X) (2) 
und daher z. B. 

A (0 (", c, d), 0 (X, c, r/)J — A (a, X). ' (3) 

Die Gleichung (2) gibt uns darüber Aufschlnss, in welchem 
Falle zwei lytische Verbindungen A (r, f) imd A (a, X) als gleich 
anzusehen sind. 

Nach dieser Vorbereitung gehen wir zur Beantwortung der 
aufgewoiTencii Frage, die dahin lautet, ob immer ein Object x von 
der ersten oder der zweiten Art gefunden werden^konne, so dass 
X = A [A (a, X), X (cs d)\ 



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I 



/ 



2^ II. Allgemeine Formenlehre. 

gesetzt werden kann, also zufolge der Definition dw Lysis 
^ I (a, b) == Ö {;r, l (r, </)} 

ist. Soll X ein solches Object sein, so muss x = A (vy, s) gesetzt 
werden können, wo y, z Objecte der alten Art sind, also 
/. {(,, b) = 0 jA {y, z), l (e, rf)j = / {0 ( _?/, c), 0 
Setzt man nun nach (3): 

}. (a, b) = A {0 [0 (a, d), c], 0 [0 (ä, c), </]j 
= {0 (y, c), 0 («, </)] 

so genügen 

y = 0 («, d), z = G {h, c) 
dieser Gleichung und es ist : 

b [A (rt, b), A (c, fA)] = A [0 (rt, <A), 0 (b, c)] 

also da 0 (a, rfj, 0 (A, c) Objecte der ersten Art sind, die lytische 
Verbindung von A («, b) und A (c, d) ein Object ei-stcr oder 
zweiter Alt. 

Haben wir nun so erkannt, dass aus unserer Festsetzung über 
die Bedeutung einer Thesis von Objecten erster und Weiter Art 
mit einander, oder letzterer untereinander, nothwendig folgt, dass 
diese Thesis und ihre Lysis wieder auf Objecte dieser beiden Arten 
führen, und überhaupt fiir die der zweiten Art dieselben Gesetze 
der thetischen und lytischen Operationen gelten, als fiir die der 
ersten Art, so leuchtet ein, dass jetzt säpimtliche Sätze des vori- 
gen §. ohne Weiteres für Objecte erster und zweiter Art in ihrer 
gegenseitigen Verknüpfung in Anspruch genommen werden können, 
und noch überdem die Fonnein 4, 5, 6 jetzt, wo jede Lysis aus- 
führbar ist, ganz allgemein und ohne jede Determination gelten 
werden. 

Die Objecte zweiter Art bilden zunächst eine Reihe von der 
zweifachen Ausdehnung der Reihe, welche die der ersten einnehmen. 
Indessen kann man • sie sämmtlich aus einer Reihe von Objecten, 
welche eine nicht grössere Ausdehnung als die ui-sprüugliche hat, 
durch thetische Verbindung erhalten Führt mau nämlich nach 
dem vorigen tj. den Begriff des Inversen 

A (a, b) = b, 

ein , so ist # ‘ 

A (a, 6) = 0 (n, b^ 



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§. 6. Addition und Subtrartion. 



29 



und diese inversen Objecte bilden eine der Reihe der (dirccten) 01)- 
jecte erster Art entsprechende Reihe, so dass jedem (Riede der 
einen Reihe eins der^anderen in bestimmter Ordnung entspricht. 

§-'ö- 

Die Addition niid Siibtraction. 

Bezeichnen wir jetzt eine thetische, vollkommen eindeutige, 
associative Operation © (o, li) durch (a + h) und die entsprechende 
ebenfalls vollkommen eindeutige lytische Function /. («, h) mit 
(« — h), wo diese ihrem Begriffe nach in der Beziehung 

(a — Ä) -{- Ä = a (1) 

stehen, nennen erstere Addition, letztere Suhtraction , so wird die 
associative Eigensch.aft in der Gleichung 

rt + (4 -f- c) = (u -|- /)) + c = rt + /) -f- c (3) 

enthalten sein, aus der dann auch hei mehr .als .3 (Riedern auf die 
gänzliche Gleichgültigkeit der Setzung der Krammeni geschlossen • 
werden kann. 

Aus der Definition folgt; 

(a — h = a (2) 

nebst den Gleichungen 

a + (Zi — <■) = (a -f /,) — c (4) 

{(i — h) — c — a — (<; -j- /)) (5) 

o — (A — <•) = (ffl -|- c) — A (6) 

nach den ebenso bezifferten Gleichungen des §. 4. 

Ist 0 der Modul der Oper.ation, so dass 

rt + 0 = « (7) 

so folgt ebenfalls nach 4 

0 -f- c = c (8), a — 0 == rt (9) A — A = ü (10) 
Stehen zwei Objecte a tind A in der Beziehung, dass 

0 — « = A 

so schreibt man: 

— a^d , (11) 



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30 



II. AllffcmoiiiP Formenlchrr. 



und nennt l> das zu a negative; dann gelten die Regeln: 

-(-e)=r (12) 

u — <• = a + (— f\ (13); fl + c a — (— <•). (l-l) 

_ (/, — r) = r — /,, (15); — (/j + r) = (— c) -f (^ />), (10) 

Gilt ausser der AsKwiativität auch die Coinmutativitat, sn hat 
inan nach tj. 5 unter anderen die. Gleichungen 

/* + (.» — /<)=-«' (1*) 

{/> + fl) — /i =’« (2*) 

a — (A — c) = (fl — A) + f (0*) 

hinzu zu fiigen, wo wir die übrigen, da sie sich durch- Vertau- 
schnng der Glieder selu- leicht ergeben, hier nicht weiter anrühreii. 



§■ <• 

Die Mnltiplicatioii niu! Division. 

Wird eine neue associative, ini Allgemeinen vollkonmien ein- 
deutige Operation', die Miiltiplication und ihn> L)'sis, die DivisioA 

durch die Zeichen «.A uiul dargestellt, so hat man nach S. 4 




. n h 



( 1 ) 

(2) 



fl (A f) (fl A) c = fl A c 



(;j) 



Ferner 




a a r. 

(I)“‘ • 

Nennt man nun 1 den Modul dieser Operation, so dass 

fl . 1 = fl' 



( 4 )’ 




( 0 ) 

(') 



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§ 7. MultipHcation und Division. 



31 



so folgt • ' , ■ 

, l.c = .‘,(8); ■ “ =«.(9); |=],(lü). 

V Für die reciproken Zahlen i gelten dann die Regtlu: 




Wir nennen die jetzige Operation nur dann eine Multiplication, 
und die des vorigen eine Addition, wenn beide mit einander 
durch das distributive Princij) in seinen beiden Tbeilen 

{a h) c = (I c h c (17) 

CT (c -f- <7) = a c + a (18) 

verbunden sind und ausserdem der Modul der Addition die Eigen- 
schaft hat, dass 

a.0 = 0, ().«== ü (19) 

worin unmittelbar ausgesprochen ist, dass, wenn der eine Factor 
eines Productes NulJ ist, der andere sich ändern kann, ohne 
dass der Werth des Productes aufhöii. Null zu bleiben. Die Division 
mit Null ist daher gänzlich unbestimmt. 

Ist schon hiedurch die Voraussetzung einer vollkommenen Kindeutigkeit 
der Multiplication und Division durchbrochen, so wollen wir überhaupt bei 
der Division die unbedingte Kindeutigkeit nicht als zu ihrem Degrifle noth- ^ 
wendige Eigenschaft ansehen. In der That werden wir in später zu behan- ( 
delnden Systemen, von 0 verschiedene Zahlen antrellcn, welche insofern 
den Charakter des Modul 0 an sich tragen, als eine Veränderung des anderen 
Factors in einem Ih-wlncte, deren einen' Factor sie abgeben, nicht. nothwendig 
dessen Werth ändert, so dass dann auch die Divjsion durch dieselben gänzlich 
unbestimmt wird (vergl. den VIII. Abschnitt). 

An Stelle der beiden Theile des distributiven Princiiies kann 
man eine einzige iFormel setzen. Entwickelt man nämlich zu- 
nächst nach (17) 

(a + Ä) (c d) = CT (c + <Z) -|- h (e -|- d) 
so hat man nach (18) 

(ct -1- 6) (c -f- (f) =.fl G-\- ad -\-he-\-bd (20) 

Wendet man dagegen zunächst (18) an: 

(« + J) (c -|- <Z) = (ff -p Ä) c -p (rt -p /<) d 



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32 



II. Allgemeine Fotmenlehre. 



und dann (17), so findet inan; 

(a {c d) = a c. h c a d h d 
Vergleiclit man dies mit (20), so firtdet man; dass beide in der 
Aufeinailderfolge der Glieder verschieden sind, mul daher: 
a d c = h c a d 
öder wenn mau c = \, d = 1 setzt 

a + h'= h -j- a 

sein muss, woraus wir den wichtigen Satz ahlciten, dass, wenn zwei 
Operationen dnreli das volle distnhutive Princip mit einander ver- 
Imnden .sind, dann die erste notliwendig die commntative Eigen- 
schaft hesitzt. Nennen wir nun in der Regel zwei in dieser 
Weise von einander abhängige Operationen, Addition und Mnlti- 
plication, so folgt aus rein formalen Gründen: die Addition ist 
stets commutativ. Die Multiplication aber werden wir im All- 
gemeinen nicht commutativ aunehmen. 

Aus den vorstehenden Beziehungen der Addition und Multi- 
plication zu einander^ lassen sicli noch mehrere wiclitige Folge- 



rungen ableiten. 

Aus (17) folgt für t) = — a, da a ( — o) = 0 also: 

(a ( — rt)) c = 0 ist, n c ( — a) c = 0 also 

( — a) c. = — a c (21) 

Aus (18) für d— — c 

a ( — c) = — ac (22) 

Setzt man in (21), — c statt c, so wird ( — a) (— c) — — « ( — c) 
nach (22) = — ( — a c)— -f- »c also 

(*- a) ( — c) = ac (23) 



Können so die bekannten Regeln der Multiplication negativer 
Zahlen aus dem distributiven Princip abgeleitet werden, so wird die 
entsprechende Aufgabe, die Regeln der Addition reciproker Zahlen 
oder von Quotienten ohne Commuhition zu geben, nicht in der g<v 
wölmlichen Weise gelöst werden können. Denn man hat 






ff d ff d = a d c ^ ff d 



also 



1 



a d + c hd 
, c d 

d ~ bd 



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§. 7. Mnltiplication und Division. 



33 



ein Ausdruck, welcher im Allgemeinen nicht weiter reducirt werden 
kann; nur wenn h = d ist, hat man: 






also 



a ^ e 



a + c 



b ^ b ~ b 
Ist aber die Mhltiplication commutativ, so findet man; 

a , c a d cb 

b ' d b d ■ 

Ohne Commutation kann man Ausdrücke, wie : 



(24) 

(25) 



a c 
b d 



" b d 



a b a ■ 



nicht weiter, etwa auf ^ reducii-eu, und b ^ ist von o im All- 
gemeinen verschieden. ^ . 

Unter Voraussetzung der Commutativität de.s Productes aber 
hat man 






( 4 ) . 



c 



m*) 



Die in den beiden letzten Paragraphen statuirten formalen Gesetze der 
Addition und Multiplication sind den bekannten und in §. 1,2 angefülirtcn 
Gesetzen der actuelleu Addition und Mnltiplication in der Grössenlehre, 
mit einiger Freiheit (in Bezug auf die Commutativität) nachgcbildet. Diese 
Gesetze sind es nun, die wir auf die Gebiete der Anschauung, in’s Beson- 
dere des Raumes im Folgenden übertragen werden; nnd dies ist die eine Seite 
des Principcs der Permanenz der formalen Gesetze. 

Wir werden dabei im Allgemeinen so verfahren : Wenn ein Gebiet von 
Objecten gegeben ist, so wird man zunächst fragen, ob es eine auf sic anwend- 
bare Operation gebe, welcher die Eigenschaften der Addition zukommen 
Eine stricte Methode zur Beantwortung dieser frage gibt es allerdings 
nicht, vielmehr wird die productive Flrtindung sig lösen müssen; das Princip 
der Permanenz leistet ^dabei gute Dienste. Ist aber eine Oparation gefunden, 
welche die Eigenschaften der Addition hat, so wird man weiter fragen, ob cs 
eine entsprechende Mnltiplication gebe; um dies zu beantworten, wird man 
die Principien der Multiplication wiederum in mehr oder minder speciellen 
Fällen benutzen, und so dazu gelangen die Multiplication actucll zu definiren. 
Ist dies geschehen, so bleibt es daun noch übrig, in synthetischem Gange nach- 

H an k€ 1 , oomploxe Zftblen. 3 



34 






Allgemeine Formentehre.' 



'Zuweisen, dass in der That alle fundamentalen Principien der Operation, wie 
sie in diesem §. gelelirt sind, erfüllt sind, und erst dann wird man die Opera- 
tion streng genommen als Multiplication bezeichnen können. Das Princip der 
Permanenz ist hiebei überall nur ein ira methodologischen Sinne dieses Wortes, 
analytisches; es müssen stets eine Heihe von arbithiren Annahmen gemacht 
F werden, welche es nicht beweist, sondern nur leitet. Dass jene Annahmen 
arbiträr sind, geht genügend daraus hervor, dass verschiedene actuelle 
Operationen gegeben werden können , welche sämmtlich den «llgemeinen for- 
malen, ^geln genügen. '■ * 

,3«. Ebenso wie man die vorhergehenden Festsetzungen und daraus abgelei- 
teten Folgerungen auf die Geometrie übertragen kann, so kommen sie auch in 
^der Theorie der complexen Zatilen in Anwendung. Einmal enthalten sie die 
• Regeln ihrer Addition und Multiplication und dienen, wie im folgenden Ab- 
schnitt nachgewiesen werden wird, zur Definition ihres Charakters. 

Andererseits aber kann man auch fragen, ob es in einem gegebenen 
Zahlensysteme noch andere Operationen ©, l,'... gebe, welche diesen Regeln 
genügen. Die Beantwortung dieser Frage gehört in die Theorie der Func- 
tionen und hat tiefere Bedeutung nur für den „calculus of öperations“ ; doch 
wollen wir eine hieher gehörige Untersuchung , welche sich auf das gemeine 
complexc Zahlensystem bezieht, wenigstens in ihren Resultaten mittheileu: 
Eine associative und commutative Function G (x, y) mit dem Modul 7/1 
wird stets von der Form: 

Ö (X, y) = <f i (X) + y. (y) — V' (77i)] 
sein, wo zwei inverse Functionen sind, so dass tf, (<^. (x)) = x. Soll 

eine andere associative und commutative Function n mit dem Modul n, 

^ (a y) = »hl CV' W + V» (y) — d» («)] 

mit © durch das distributive Princip 

TT [0 (x, y), 2] = 0 [71 (x,2), 77 (y, z)] 
verbunden sein, so ergibt sich als allgemeine Form derselben: . 

d> (■») = -^ log [ff (*) — (f (771)] 

wo o eine beliebige Constante ist. Setzt man (f> (x) = x so erhält man hieraus 
die Addition und MultipUcation ; die Form 

iix + b 

^ c X + d 

gibt unter gewissen Voraussetzungen über die Stetigkeit der Functionen über- 
haupt, die einzigen eindeutigen Operationen 0, n. 



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DRITTER ABSCHNITT. 






Die reellen Zahlen in ihrem formalen Begriffe. 



§. 8 . 

Begriff eines Zahlensystems. 

Bisher sind Objecte verbunden worden, die Resultate ihrer 
Verbindung mit neuen Zeichen versehen u. s. f., aber ohne dass 
in der Bezeichnung ein bestimmter Plan verfolgt worden wäi-e. 
Es leuchtet ein, dass dabei eine eigentliche Ausführung der Rech- 
nungsoperationen , d. h. eine Darstellung des Resultates durch 
neue, zusammenfassende Zeichen nicht möglich ist. Eine solche 
wird ei-st dann möglich werden , wenn man auf eine consequente 
Weise sich ein Zeichensystem verschafft, so dass man das Resul- 
tat einer jeden Operation nothwendig durch eines derselben dar- 
stellen muss. Ein solches System kann nur geschaffen werden, 
indem man von ge>vissen Elementen, den Einheiten ausgeht, diese auf 
alle mögliche Weise durch gewisse Operationen verbindet und die 
Resultate dieser Operationen mit neuen Zeichen signirt. Diese 
neuen Zeichen werden dann nach vorstehenden Regeln wiederum 
zu verknüpfen sein und zu neuen Zeichen Veranlassung geben u. s. f. 
Fährt man so fort, bis mau zu neuen Zeichen nicht- mehr gelangt, 
also die Resultate der neuen Operationen durch die schon vorhan- 
denen jedesmal ausgedrückt werden können, so nennt man die ge- 
bildete Zeichenreihe ein abgeschlossenes System oder Gebiet, dessen 
Ordnung ich nach der Zahl von Einheiten benenne, welche bei 
seiner Bildung verwandt worden sind. Verschiedene solche Gebiete 
erhält mau , indem mau von verschiedenen Einheiten ausgeht odar 

3 * 



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36 



III. Die reellen Zahlen in ihrem formalen Begriffe. 



den Operationen ausser den zuvor bemerkten allgemeinen Eigen- 
schaften noch andere beilegt, welche mit ihnen nicht nothwendig 
gegeben sind, aber auch nicht im Widerspruch stehen dürfen. Eine 
Forderung bei der Ausbildmig eines solchen Systemes wird die 
möglichste Sparsamkeit in der Anwendung von iieichen sein; denn 
nur sie wird die Uebersichthchkeit in demselben ermöglichen. 

Die Zeichen eines solchen Systemes nemic ich Zahlen und 
setze also deren Begriff in einen noth wendigen Zusammenhang mit 
den Operationen, durch welche sie gebildet werden und in einander 
übergehen. Jede Veränderung der Operationsregclu bringt eine 
Verändenmg der Zahlen mit sich. 

Eine andere Definition des Begiifles der fonnalen Zahlen kann 
nicht gegeben werden; jede andere muss aus der Anschauung oder 
Erfahrung Vorstellungen zu Hilfe nelunen, welche zu dem Begriffe 
in einer nur zufälligen Beziehung sächen , und deren Beschränktheit 
einer allgemeinen Untei’suchung der Ilechnungsoperationen unüber- 
steighche Hindernisse in den Weg legt. Die Definition der for- 
malen Zahl kann hienach dahin gegeben werden: , 

Eine Zahl ist der Ausdruck gewisser formaler Be- 
ziehungen beliebiger Objeöte zu einander; ein Zahlen- 
system stellt eine systematisch geordnete Reihe solcher 
Beziehungen oder Verknüpfungen dar, deren Wesen den 
Character des Zahlensystems ausmacht. 

Dass wir mit dieser Definition nicht in Widerspruch mit der 
S. 6 gegebenen treten, bedarf nach dem Vorangegangenen keines 
Beweises. Dort handelte es sich um die actuellen Zahlen, hier, 
um formale; unter diese können jene subsumirt werden, welche 
in’s Besondere die aus dem Grössenbegriffe henorgehenden Be- 
ziehungen der Objecte zu "einander und entweder deren Stellung in 
einer Reihe geordneter Objecte (Ordinalzahlen) oder das eigenthche 
Grössenverhältniss (Cardinalzahlen) ausdrücken. , 

§. 9 . . 

Die positiven ganzen Zahlen. 

Soll ein Zahlensystem aus einem einzigen' Elemente gebildet 
\ferden, so wird man dazu den Modul der Addition nicht gebrauchen 



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J 



§. 9. Die positiven ganzen Zahlen. 37 

können, wohl aber den Modul 1 der Mnlti[)licatioii, indem man 
1 + 1 = 2, 2+1 = 3, 3 + 1=4,... 
setzt. Die so erhaltenen Zahlen nennt man die absoluten oder 
numerischen Zahlen und 1 die numerische Einheit. Was ihre Ver- 
knüpfung miteinander betrifit, so kann sie an und für sich nach 
beliebigen Regeln stattfinden. Indess werden uns hier die in §. ü 
und 7 gelehrten als Richtschnur dienen, dürfen jedoch ohne Beweis 
ihrer Verträglichkeit imtereinander jetzt, wo eine Zahl an sich selbst 
die Spur ihrer Entstehung trägt, nicht sofort in ihrem ganzen 
• Umfange angewandt werden. 

Addition. So wählen wir zur Definition der Summe {A + B) 
zweier Zahlen nicht das associative Princip in seiner Allgemeinheit, 
da dieses mehr als die nothwendigen Bestimmungsstücke in sich 
enthält, sondern einen Fall desselben: 

.^ + (B + 1) = U + B) + 1. (1) 

Diese Gleichung bestimmt jede Summe. Denn setzt man zunächst 
B = 1, so findet man ^ + (1 + 1) = (^ + 1) + 1, also da 
1 + 1 = 2 ist, ^ 2 = {A + 1) + 1 , wo + 1) + 1 eine 

Zahl unserer Reihe, ihi-er Definition nach ist. Dann ist, B = 2 ge- 
setzt ^ + (2 + 1) = (^ + 2) + 1 oder ^ + 3 = (^ + 2) + 1, 

wo {A + 2) und daher auch (^ + 2) + 1 also {A + 3) eine Zahl 

unserer Reihe ist. 

Auf diesem Wege findet man durch ein recurrirendes Verfahren , welches 
ohne alle Anschauung, rein mechanisch vor sich geht, unzweideutig jede Summe 
zweier Zahlen. Um z. B. (7 + 5) zu finden, haben wir 

, 7 --f 5 = 7 + (4 + 1) = (7 + 4) + 1 

Es ist aber 

7 + 4 = 7 + (3 + 1) = (7 + 3) + 1 
7 + 3 = 7 + (2 + 1) = (7 + 2) + 1 
7 + 2 =. 7+ (1 + 1) = (7 + 1) + 1 
7 + 1—8 

also7 + 2 = 8-fl = 9, 7 + 3 — 9 + 1 — 10, 7 + 4==10 + l = ll,mid 
endlich 7 + 5 = 11 + 1 — 12. 

Die Summe ist also stets eindeutig und ändert sich, wenn «ich 
^ einer der Summanden ändert _ - 

Dass die Addition associativ ist, lässt sich folgendermassen er- 
weisen. Vorausgesetzt, dass die Gleichung: 



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38 



III. Die reellen Zahlen in ihrem formalen Begriffe. 



+ r) = {A + B)-{-r ■ (2) 

ei’flillt ist, hat man, indem man (1) zweimal anweudet: 

^ + !B + (/•+ 1)} = ^ + {{B+n + 1\^{A + {B + /■)! + 1 

Nach (2) aber ist dies = {{A + ß) + i’) + 1 , also nach (1) 
= \A B\ + {r + 1), also 

A + {B + (r+ 1)! = {A + B} + (/’ + 1) 

Gilt also das a.ssociative Princip in (2), so gilt es aucli, wenn /’ durch 
(r + 1) ersetzt wird. Da (2) für /'= 1 nach (1) jedenfalls erfüllt 
ist, so gilt (2) nach einer bekannten Schlussweise allgemein. 

Was das Commutative Princip betrifft, so kann dasselbe aus 
dem associativen leicht abgeleitet werden. Es sei 

1 + ^ ^ + 1 (3) 

so ist nach (1), (3) 

H-M+l) = (l + ^) + l=(^+l) + l 
Da nun (3) für ^ = 1 erfüllt ist und aus ihm die entsprechende 
Gleichung, in der {A -\- \) die Stelle von A vertritt, abgeleitet wer- 
den kann, so gilt (3) allgemein. 

Ferner sei A + B = B + A (4) 

so ist 

(B + l) = (^ + ß)+l— (ß + ^+ l=ß + M+l) 
= ß + (H-^) 
nach (1), (4), (IX (3), also nach (2) 

A + (B + 1) = {B + 1)+ A 
womit denn auch (4) allgemein erwiesen ist, • 

Multiplication ist eine Operation, für welche 

A. l =A (5) 

denn hierin hegt die Bedeutung der zur Bildung des Zahlensj'stems 
verwendeten Einheit. Die Multiplication im Allgemeinen kann durch 
die Gleichung 

A(B + 1) = AB + A, (6) 

welche einen speciellen Fall des distributiven Gesetzes darstellt, 
recurrirend definirt werjden. Denn hienach ist 1 -hA 

also A. 2 == A + A, und es ist .2 bestimmt, da die Addition 
eine bestimmt ausführbare Operation ist. Ferner ist A(2 -f- 1) = 



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§. 9. Die positiven ganzen Zahlen. 



39 



AM A also A.Z = A. 2 A, und ebenfalls bestimmt u. s. f. 
Das Product ist eindeutig 'und ändert seinen Werth, wenn ihn der 
eine Factor ändert, während der andere constant bleibt. 

Hienach würde sich der Beweis des als Typus eines apodictischen 
Urtheils gebräuchlichen Satzes 2.2 = 4, so gestalten: 2.2 = 2 (1 + 1)= 
2.1 + 2 = 2 + 2, und2 + 2 = 2 + (1 + 1) = (2 + 1) + 1 = 3 + 1 = 4. 

• Um nun das distributive Princip in seiner Allgemeinheit dar- 
zuthun, nehmen wir an, es gelte : 

A{B + I^ = AB + Ar (7) 

dann ist 

A{B+{r+l)]=A{iB + n+\] = A{B + r) + ^ • 

=AB +AT+A 

wenn man successive (1), (6), (7) anwendet; nach (6) aber hat 
man schliesslich ' . 

^ {ß + (r + 1)} = ^ (r + 1) 

womit denn die Allgemeinheit von (7) erwiesen ist. 

Was die andere Hälfte des distributiven Principes 

{A + B)r=Ar+Br (8) 

betrifft, so sei (8) erfüllt; dann ist nach (6), (8), (4), (6) 

{A + B) (r+ 1) = {A + B) r+ (A + B)=AF + BI +A + B 
= Ar + A + Br + B='A{r+ i) + ß(r+ 1). 

Da (8) für /’ = 1' gilt, so gilt sie daher allgemein , und damit das 
volle distributive Princip. 

Es sei ferner 

A(Br) = {A B) r (9) 

so ist successive nach (6), (7), (9), (6) 

A\B{r+ 1)}=^ {Br + B]=A {BD + AB={AB) F+AB 
= AB{F+l) ■ 

womit (9), da (ß.l) = (^ß).l ist, das associative Princip be- 
wiesen ist. 

Es sei l.A = A (10) 

so ist nach (6), (10), (6) 

l.(^ + l) = l-^ + -^='-^-l + l = (-^+ 1)-1 

und da 1.1 = l, so gilt (10) allgemein. Wenn ferner 



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40 



• III. Die reellen Zahlen in ihrem formalen Begriffe. 



= ( 11 ) 

80 ist nach (8), (11), (G) 

{A + l)B = ^B + B = Byi + B^B{A+l) 
und cs gilt die Gleichung (11) allgemein, da sie für v/ — 1 gilt, wo- 
mit das commutative Priiicip iii seiner Allgemeinheit erwiesen ist. 

Führt man schliesslich noch den Modul 0 der Addition dui’ch 
^ + 0 = ^ 

ein, dessen Multiplication durch 

^.0 = 0 

. bestimmt wird, so hat man in den Zeichen 0, 1, 2, 3, 4... ein Zahlen- 
system, innerhalb dessen solche Operationen, denen die charakte- 
ristischen Eigenscliatlen der Addition und commutativen Multi- 
plication zukommen, seiner Bildungs weise nach stets ausgefülrrt ' 
werden können, ohne dass mau aus dieser Zahlem'ei^e jemals her- 
auszutreten hätte. 

Den Gedanken, die Additions - und Multiplicationsregeln , sowie es hier 
geschehen ist, abzulciteu, verdankt man im Wesentlichen Geassmakn (Lchrb. 
d. Arithmetik). 

§. 10 . ' • 

Die negativen ganzen Zahlen. 

Bezeichnet man mit {B — ^) eine Zahl, welche der Gleichung 

{B—^) + .4^B ( 1 ) 

genügt, so ist dieselbe zufolge der Additionseigenschaften eindeutig 
bestimmt und es ändert sich das Resultat der Subtraction (B — 
wenn sich eines der Glieder ändert, während das andere con- 
stant bleibt. 

Es gibt jedoch solche Zahlen, welche man (B -- gleich 
setzen kann, in unserer bisherigen Reihe der absoluten ganzen 
Zahlen nur dann, wenn B in der Reihe auf ^ folgt. Geht B da- 
gegen ^ vorher, so ist die Subtraction in diesem Gebiete unmög- 
lich; soll daher ein Zahlengebiet geschaffen werden, in welchem 
jede Subtraction absoluter ganzer Zahlen möglich wird, so müssen 
wir (B — Ji) in letzterem Falle als ein neues Zeichen ausehen, 
dessen Bedeutung in der Art und Weise erkannt wird, in der 



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§. 10. Die negativen ganzen Zahlen. 



41 



es mit anderen seiner Art oder mit den ganzen Zahlen des §. 9 ver- 
knüpft wird. Wir definiren die Addition dieser neuen Zeichen unter 
sich und mit denen des §. 9 durch die Gleichung (1) des §. 5 

U- B) + {r—J) = {A + D — J) (2) 

Dann gelten, wie in §. 5 gezeigt ist, alle zum Begriffe der Addition 
geliörigen Rechnungaregeln, und wenn man 

U — ß) = - (B - ^ (3) 

setzt, so wird das Gebiet der bisherigen positiven Zahlen + l,+2, 

+ 3, . . . erweitert, indem zu ihnen die negativen Zahlen — 1, — 2, 

— 3, hinzutreten (vgl. §.6). 

• Was man unter dem Producte einer negativen und einer posi- 
tiven, oder zweier negativen Zahlen zu verstehen habe, werden wir 
nach dem Princip der Permanenz bestimmen, indem wir ent- 
sprechend den Gleichungen 21 bis 23 in §. 7 

= (4) 

A{-r) = -Ar (5) 

{-A){- r) = AF ( 6 ) 

setzen. 

•Es kann gegenüber einer sehr allgemein verbreiteten Ansicht nicht scharf , 
genug hervorgehoben werden , dass diese Gleichungen in der formalen Mathe- 
matik nimmermehr bewiesen werden können; es sind arbiträre Conven- 
tionen zu Gunsten der ErhaJtung des Formalismus im Calcul. (Betrachtet 
man dagegen die Zahlen als Repräsentanten der Punkte einer Geraden, oder, 
wie man auch abstracter gesagt hat, des Fortschrittes, so kann man freilich, 
wie bekannt, die Gleichungen erweisen.) Sind aber diese Conventionen ein- 
mal geschlossen , so folgen daraus alle anderen Gesetze der Multiplication mit 
Nothwendigkeit. 

Zunächst geht aus diesen Definitionsgleichungen des Productes 
seine Commutativität hervor. Das distributive Princip wird man 
ableiten können, wenn man folgende Fälle unterscheidet: 

1) Ist A > B, so ist zufolge des für positive Zahlen geltenden 
distributiven Gesetzes: 

AV= {{A — B) + B\ r = {A — B) r + B I\ 
also {A^B)r=Ar—Br 

und somit nach (4): ■ 

{A B)\ A r + B) r. 



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42 



III. Die reellen Zahlen in ihrem formalen Begriffe 



2) Ist ^ B, so ist zuvörderst nach (3): 

U - ß) = - (B - v/) 

also nach ‘(4): 

(A — B)r = — {B — A) r 

und da, wie im analogen Falle eben gezeigt 

(B — A)r=Br—Ar 

seist {A — B) r= — (Br - A r) = A r— Br 
oder {^ + (— B)} /• = ^7’+ (— B) r. 

3) Man hat nach .16 in §. 6 

{(_ + (_ B)] = -(A+B) 

■ also {(— A) + (— B)1 /' = — (A + B) / =— (A r + B T) 

=— A r — B r = i— A) r + (-B) r. 

Somit ist das Gesetz : 

(a + b)r=ar+br 

wenn a, b positive oder negative Zahlen sind, allgemein erwiesen. 
Daraus folgt weiter: 

(a + 6) (_ r) = - [(a + b)r] = ~[ar + br] 

= — ar—br = a(—r) + b(—r) 

womit denn, <ia die Grundgleichungen die Existenz der commuta- 
tiven Eigenschaft sofort lehren, das distributive Princip in seinem 
ganzen Umfange dargethan worden ist Das associative Pöncip 
ist in den verschiedenen Fällen ebenso leicht zu erweisen: Man hat 

A [B i— r}] = A [— B r] =— A [B /•] 

A~ Br‘=[A B]i— r) 

ferner: 

A[(—B) i—r]]^A[Br] = ABr=[—AB] (~n 

. : =[^(-B)](-D 

schliesslich 

(-A) [(- B) (- n] = (-^ [BI^=-ABr • 

= + [AB] (- r) = [(- A) (- B)] (- /■) 

Dies sind mit Rücksicht auf die Commutativität alle mißlichen 
FäUe. 



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§. 1 1. Die Division und die gebrochenen Zahlen. 



43 



§. 11 . 

Die Division und die gebrochenen Zahlen. 

Die Auflösung der Gleichung 

X B — A, 

in der A, B positive oder negative Zahlen sind, bezeichnen wir mit 



X ■■ 



A 

B' 



mag sie- eine in unserer Rflihe der positiven oder negativen Zahlen 
vorhandene ganze Zahl sein oder nicht. Im letzteren Falle ist 
jener Bruch ein Zeichen für ein zu der bisherigen Reihe hinzuzu- 
fügendes neues Object, eine gebrochene Zahl, deren Operations- 
regeln in der §. 5 auseinandergesetzten Weise gewonnen werden, 
indem man nach (1) in §. 5 

= ' . ( 1 ) 

B J BJ 

setzt. 

Auch hier ist ausdrücklich zu bemerken , dass diese Gleichung eine con- 
ventioneile ist und im Gebiete des rein Formalen nicht bewiesen werden kann. 
Definirt man den Bruch durch die Forderung einer actuellen Theilung, so kann 
dani^die Gleichung, wie sich von selbst versteht, dcmonstrirt werden. 

Dass das associative Princip, ebenso wie das commutative er- 
füllt ist, wurde schon in §. 5 nachgewiesen. Auch genügt die Reihe 
der eingefiihrten Zeichen, um jede Multiplication und Division von 
Brüchen möglich zu machen. Denn man hat, nach S. 28» 

A 1 



izi, 

( 5 ) 



AA 

' B r 



Was die Addition von Brüchen betrifit , so bestimmen wir sie 
dem distributiven Princip gemäss aus: 






= AJ l ’B, 



einer Gleichung, die wenn — ganze Zahlen sind, ohne Zweifel 
gilt, und aus der die andere: 

AA+FB ’ 



B ^ A 



BA 



( 2 ). 



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44 



III. Die reellen Zahlen in ihrem formalen Begriffe. 



folgt* Es fragt sich dabei, ob die Addition zweier Brüche ein un- 
zweideutiges Resultat ergibt. Setzt man nämlich für ^ einen da- 

mit gleichen Bruch , dessen Zähler und Nenner aber von u4, B ver- 
schieden ist, so muss gezeigt werden, dass jetzt die Summe dennoch 
dieselbe ist. In der That, es ist 

A M 

B N 

mm, wenn M = RA, N = R Bist-, dälin aber ist nach {'!) 

Ra , r _RAA-^Rnr 
RB~^ A ~ Rba 

und nach dem distributiven Principe i 

R J + Br) = RAj + RBr 

also ^ ^ 4- = AA + BT 

Rb '' a ba' 

Dass die Addition associativ ist, kann leicht gezeigt werden-, 
denn es ist 

^ , i r ^ E\ A . rz+ EA 

B ^ \A z) B AZ 

A A Z+ B rz + BAE 

. BAZ 

/ J , r\ , E _ A A + Br , E ■ ' 

\b a) Z BA Z 

AAZ+BTZ+BAE 

BAZ 

Dass ferner allgemein das distributive Princip 

/^,r\E_£ E ä. 

\B a) z B ' z A ' z 

gilt, ersieht man aus 

/A . r\ E AA + BF E 
\B A) Z B A ' Z 

^ AA E JfBrE _^AAE . B FE AE , FE 

BAZ BAZ’' BAZ BZ'^ AZ 

Die ganze doppelte Reihe der Objecte, welche die gebrochenen 
Zalden bezeichnen, kann aus einer einfachen Reihe, der der reci- 
proken durch multiplicative Verbindung mit den durch die ganzen 



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§. 12. Die höheren Operationen und die irrationalen Zahlen. 45 

Zahlen dargestellten, abgeleitet werden, da aus 13 in §. 7 hervor- 
geht, dass , 




gesetzt werden kann. 

• Wir haben somit auf eine gesetzmässige Weise eine Reihe von Zeichen, 
die rationalen positiven und negativen Zahlen aus der numerischen 
Kinheit durch Addition, Subtraction, Multiplication imd Division ent- 
wickelt, so dass für jede durch diese Operationen geschehende Verknüpfung 
zweier Zeichen wieder ein zusammenfassendes Zeichen vorhanden ist, welches 
, überall an Stelle der Zeichenverknüpfung selbst gesetzt werden kann. Die 
ganze Aufgabe des Zahlensystems besteht eben in dieser Zusammenfassung 
oder, wenn man wül, symbolischen Darstellung. Wenn eine Reihe von Ob- 
jecten gegeben ist, auf welche gewisse Operationen angewandt werden können, 
die den zuvor auseinandergesetzten Regeln genügen und welche in bestimmter 
Weise den Zahlen entsprechen, so dass zwei Objecte immer aber auch nur 
dann gleich sind, wenn in vorstehender Weise die als Zeichen derselben die- 
nenden Zahlen einander gleich sind, so können die Zahlen, so lange es sich 
eben nur um die Verknüpfung jener Objecte — seien diese Substanzen oder 
Relationen — handelt, als Repräsentanten der Objecte selbst angesehen wer- 
den und es kann au Stelle der in stetem VorsteUen,der Objecte selbst vor- 
schreitenden Operation, ein Operiren mit Zahlen gesetzt werden , welches man 
Rechnen nennt. i 

• §. 12 . ' . 

Die höheren Operationen und die irrationalen Zahlen. 

Es fragt sich, ob das Zahlensystem, das wir geschaffen haben, 
vollständig ist oder nicht. Gewiss ist es insofern 'vollständig, als es 
keine Aufgaben aus den 4 Species gibt, welche nicht durch ein Zei- 
chen desselben gelöst werden können. Andererseits aber gibt es 
Aufgaben, welche ihre Lösung in ihm nicht finden, z. B. wenn die 
Zahl X gesucht wird, so dass xx = 2, so wii-d keine passende Zahl 
gefunden werden können, ebensowenig, wenn xx = — 1 sein soll. 

Dass eine diesen Gleichungen genügende Zahl überhaujit un- 
möglich sei, kann (vgl. S. G) nicht behauptet werden. Zahlen sind 
.Zeichen, denen etwas Reales entsprechen kann; 6b es aber ein sol- 
ches gibt, das mit sich selbst multiplicirt, -|- 2 oder — 1 gibt, kaam 
nur durch die Betrachtung des Realen selbst entschieden werden. 
Unsere Aufgabe kann es hier nur sein, neue Zeichen zu schaffen 
für jene möglichen oder unmöglichen Realen. Wir bezeichnen die 



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46 III- Ule repllen Zahlen in ihrem formalen Begriffe. 

liösung der Gleichung xx=Am\i und nennen sie eine ' 

irrationale Zahl. Es ist dann fraglich, was die Multiplication be- 
deute, d. h. welchen formalen Gesetzen sie genüge. Da eben nur 
in dem Falle ^ a — A die Bedeutung des Productos bestimmt 
ist, so steht es in unserer Willkühr, welche Gesetze wir z. B. der 
Verknüpfung B unterlegen wollen, für welche in unserer bis- 
herigen Reihe ein Zeichen im Allgemeinen nicht vorhanden ist. Das 
Princip der Permanenz formaler Gesetze würde uns bei der Fest- 
setzung der Bedeutung des Productes zu leiten haben, und es 
zugleich möglich machen, jenes Zeichen auch dann beizube-* 
halten, wenn^ eine Quadratzahl, also eine Zahl unserer obigei} 
Reihe ist. 

Hätten wir nun auch so die 4 Grundoperationen solcher Grössen 

untersucht, so wäre damit in der That noch nicht ^del ge- 
schehen; denn sogleich entstehen wieder neue Fragen nach den 
Zahlen, welche Gleichungen wie xx — genügen, und fiir welche 
wiederum neue Zeichen gegeben werden müssen, feiner nach den * 
Gesetzen der Verbindung aller dieser neuen Zeichen von Irrationali- 
täten untereinander, welche möglicherweise Zahlen aus der oben 
gebildeten Reihe der 2 >ositiven und negativen ganzen und gebroche- 
nen Zahlen ergeben können u. s. w. 'Es ist klar: Man wird ver- 
zichten müssen, alle Aufgaben, welche die Einführung neuer Zeichen 
erfordeiTi würden, vollständig und erschöpfend zu betrachten; man 
würde sich in ein ungeheures Labyrinth verirren, wenn man den 
bisherigen Gesichtspunkt der rein formalen Zahlenbildung aus- 
schliesslich festhalten wollte. Es stellt sich vielmehr das Bedürf- 
niss ein, den elementaren formalen Verknüpfungen der Zahlen eine 
actuelle Bedeutung unterzulegen, um zu sehen, ob es irgend etwas 
Reales gebe, welches der Auflösung der Gleichungen xx=Am.b. f. 
entsprechen könne. 

Das Irrationale, was uns- hier entgegengetreten ist, in der rein formalen 
Mathematik durch den Grenzbegriff dem Rationalen zu interpoliren , scheint 
mir der Natur der Sache deshalb ganz unangemessen, weil eben ein solcher . 
Grenzbegriff auf der Vorstellung des if leinen und- Grossen, welcher unserer 
Entwickelung durchaus fremd ist, und der Anordnung unserer Zahlen in eine 
stetige Reihe beruht, welche schon den Begriff der extensiven Grösse in- 
volvirt. 

Jeder Versuch, die irrationalen Zahlen formal, und ohne den Begriff' der 



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§. 12. Die höheren Operationen und die irrationalen Zahlen. 47 

Grösse zu behandeln, muss auf höchst abstruse und beschwerliche Künsteleien 
führen, die, selbst wenn sie sich in vollkommener Strenge durchführen Hessen, 
wie wir gerechten Grund haben zu bezweifeln, einen höheren wissenschaft- 
lichen Werth nicht haben. Denn überall ist es Sache der systematischen 
Wissenschaft, sich der wahren Grundlagen der natürlichen Kntwickelung der 
Ideen klar und bewusst zu werden, nicht aber den Organismus mit seiner 
immer frischen Productionskraft durch einen, wenn auch scharfsinnig con- 
struirten, doch todten und unproductiven Mechanismus ersetzen zu wollen. 

Ich denke, dass ich mich im Vorstehenden, trotz der Abweichung von dem 
GewöhnHchen, nicht dieses Fehlers schuldig gemacht habe.- Mein Ent- 
wickehmgsgang ist der Natur der Sache durchaus angemessen. Nachdem die 
Schwierigkeiten und Paradoxieen, welche die gewöhnliche Ansicht von dem 
Wesen der Zahlen als Grössen nothwendig mit sich führt, klar und bestimmt 
fixirt waren, habe ich dem Zwecke gemäss, der zur Einführung des Negativen, 
Imaginären und allgemein Complexen veranlasste, das Princip der Perma- 
nenz der arithmetischen Gesetze aufgestellt, den natürlichen Ausdruck des 
im Laufe der Zeit erweiterten Begriffes von Zahlen und Formeln. Mittels 
dieses Principes war es möglich, an Stelle des zunächst liegenden Begriffs 
einer Zahl, als des Ausdrucks der actuellen Relationen von Objecten und deren 
Operationen, den allgemeineren Begriff formaler, bloss im Gebiete des logischen 
Denkens sich bewegender Operationen nnd aus der mentalen Verknüpfung von 
Objecten hervorgehender Zahlen zu sfetzeii, welche zunächst inhaltsleer, rein 
die abstracten Formen des zuammenfassenden Denkens des Un- 
stetigen sind. 

Jetzt aber hat uns der dialectische Process wieder auf unseren Aus- 
gangspunct zurückgeführt. Das Irrationale verlangt zu seiner systematischen 
Fassung den Grössenbegriff. 




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VIERTER ABSCHNITT. 



Die reellen Zahlen in der Grössenlehre. 

§ 13 - 

Begriff der Orösiie überhaupt. 

Der Eelationsbegriff „Grösse“ ist in der reinen Anschauung 
unmittelbar gegeben. Er bedarf daher nicht einer metaphysischen, 
sein Wesen vollkommen erfassenden Definition, sondern nur einer 
Exposition. 

Mathematische Definitionen haben, soweit sie nicht Fixirung des Sprach- 
gebrauches betreffen, nur diejenigen wesentlichen Eigenschaften des zu Er- 
klärenden anzugeben, welche zur weiteren Entwickelung und zur Verknüpfung 
seines Begriffes mit anderen nothwendig erscheinen und sind daher trotz 
ihrer, häufig den logischen Gesetzen einer guten Erklärung zuwiderlaufenden 
Form (s. in Euki.id’s Eiern, besonders die Definitionen I, 1, 2, 5; V, 4, 5), zu- 
lässig, auch wenn sie die Kategorie, zu welcher der Begriff des zu Erklären- 
den gehört, nicht genauer bezeichnen. 

Was den Begriff Grösse betrifft, so werden wir hienach den Begriff der 
Quantität nicht zu definiren haben, wohl aber des Quantum — beide sind in 
dem Wort „Grösse“ mit einander vereinigt. Nicht was Grösse sei, sondern 
vielmehr was „gross“ sei, bedarf für uns einer Festsetzung. Eine Analyse des 
Gebrauches, den Euklid , der unübertreffliche Altmeister strenger mathemati- 
scher Methode, von dem Begriffe des Grossen macht, gibt folgende Definition : 

Grösse heisst ein Object, wenn es grösser, kleiner 
als ein anderes, oder ihm gleich ist, und in letzterem 
Falle ihm überall substituirt werden kann; wenn es 
ausserdem durch wiederholte P osition vervielfacht 
(und getheilt) werden kann. 



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§. 14. Die ganzen Zahlen in der (irössenlehre. 



49 



Gleicliartig heissen Grössen, wenn die eine vervielfältigt, die 
andere übertreffen kann. 



§. 14. 

Die ganzen Zahlen in der Grössenlehre. 

Unter der Summe zweier Grössen n und h versteht man eine 
neue Grösse., welehc aus ihrer Synthesis als Resultat hen'orgeht 
und jene beiden in sich enthält. Wir bezeichnen sie mit {a + /<), 
wo jetzt das + Zeichen eine actuelle Opin-ation ausdrückt und mit 
dem früheren fm-malen -f- zunächst nicht verwechselt werden darf 
Die Summe hat (vergl. S. 54) die Kigenschaften 

« + (/' + c) — (ö + + c (1) 

a b = b a. (2) 

Denkt man sich ein Object e, eine Görsse, einmal gesetzt und 
bezeichnet dies durch 1 c; dann dasselbe noch einmal gesetzt und 
mit dem ersten vereinigt, so nennt man das residtirende Object 2e, 
vereinigt man damit e. noch einmal und nennt dies öe u. s. f , so 
erhält man die Reihe 

le-j- l ß = 2 e, 2 e+le = 3e, 3e~j-'\p. — 4e • 
allgemein + 1« = (^+ l)e. 

Dass man sich hier der früher angewandten Zeichen 1 , 2, 3 . . . 
und des + Zeichens in + 1) wieder bedienen kann, folgt da- 
raus, dass nichts weiter als eine den formalen Gesetzen des §. 9 
unterworfene Verknüpfung in diesen Zeichen ausgesprochen ist. 
Dass aber jetzt jene Gesetze in der That für diese Coefficienten 
gelten, folgt leicht aus den Eigenschaften ( 1 ), (2) <ler realen Addition. 
Denn da durch die Additiun von yie und ße.ein gewisses Vielfaches 
von e entsteht, welches man mit + B) e bezeichnen kann : 

{^ + B) + Bfi (3) 

und nach der Eigenschaft (1): 

-+• (Re + I ß) = {^e -|- Be) -f- I’e 
so ist ^ e + (B + I') e = {yl B) e + /'« 

oder -t- (R + /’)] « — [{^ + R) + U] e 

so dass aus der associativen Eigenschaft der realen Addition von 

H *n k el , c«mplex« Zahlen. 4 



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f)0 



IV. Die reellen Zahlen in der Grössenlehre, 



Grössen die entsprechende dei- formalen Addition von Zeichen folgt. 
Ebenso ergibt sieh das conmiidative Gesetz: 

{yt + H) e^{B + A) p- aus Ae + Be = Be -f- Ae. 

Elic wir jedoch die 0]>eration (A + B) mit Recht als eine 
Addition bezeichnen können, muss eine entsprechende Multiplicatioir 
gefumlcTi werden. 

Remerkt man, dass dem Zeichen jetzt die actuelle Ope- 
ration, die man als mehrmalige Setzung oder Vervielfachung be- 
zeichnet, zu Grunde liegt, so ward man unter A (Be) ein Vielfaches 
von e zu verstehen haben, welches man mitAJJ bezeichnet, so dass , 
A(Be) = AB.e, 

eine Bezeichnung, die deshalb erlaubt ist, weil aus der Natur der 
Siiche hervorgeht, dass das associative Princip: 

AB.{re) = A{Br.e) = ABI'.e ' 

erfüllt ist; weil feiner aus (A + B) c — A c Bc der eine Tiieil 
des distributiven Brincipes 

{A + B) re = Al'e + Bl'e 
und aus dom Grundsätze (vergl. S. 5ö): . 

* ' A{h c) == Ah + A c (4) 

der andere Theil des distributiven Principes • 

A {Be Fe) = ABe A I'e 

oder A (B r) e — (A B + Ar) e 

folgt. 

Somit wären denn die gewöhnlichen Additions- und Multipli- 
cationsregeln, die sich auf Zahlen beziehen, insofern sie Grössen 
bedeuten, auf die foinialen des §. 9 zurückgefühii,’ und somit die 
erste Anwendung der formalen Zahlen auf actuelle Objecte ge- 
macht. 

Bemerkung über die logische Natur der Zahlformeln. Die im 
§. unter 1, 2, 3, 4 ausgesprochenen Satze bedürfen noch einer weiteren Er- 
läuterung, die ich nicht geben kann, ohne das Grenzgebiet der Mathematik 
und Philosophie zu betreten. Um kurz zu sein, werde ich mich nur auf zwei 
llauptvertreter letzterer Wissenschaft beziehen, auf Kant (Kritik der reinen 
Vernunft, Ausg. von Rosenkranz und Schubert, Bd. II) und auf John Stuart 
Mill (A System of Logic ratiocinative and inductive, 6. Ausg., die in dcut- 
scher-Uebersetzung, 2. Auflage, 1862 von J. Schiel, vorliegt), da des letz- 



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51 



§. 14. Logisclic Natur der Zahlforiuclii. 

toron logische l’rincipien besonders bei den Männern cxactcr Forschung 
ungemeinen Hcifall gefunden haben. 

_Kant hat sich vielfach mit der Frage nach dem Wesen und dem Grunde 
der mathematischen Methode und mit der Natur ihrer Urtheile beschäftigt. 
Entsprechend seiner Ansicht von der Mathematik als „der Vernunfterkennt- 
niss aus der Construction der Begriffe“ hält er alle mathematischen Urtheile 
insgesammt für synthetisch (S. 702), indem er sie dahei gegenüherstellt 
den analytischen Urtheilen, welch letztere bekanntlich von einem Subjecte 
ein in seinem Begriffe offen oder versteckt liegendes, oder zu ihm gehöriges 
IVadicat aussagen, während die synthetischen ein Suhject mit einem l’rädicate 
verknüpfen, welches in jenem gar nicht gedacht war nnd durch keine Zer- 
gliederung aus ilfm herausgezogen werden kann. Wenn nun die'matliemati- 
schen Urtheile synthetische sind, so kann es den Matliematiker als solchen 
nicht intcressiren, o1> sie wie Kant will, aprioristisch sind, weil sie Noth- 
wendigkeit mit sich führen, welche au» Erfahrung nicht gewonnen werden 
kann, und zwar abgeleitet aus der reinen Ansebaunng a priori, die vor aller 
Wahrnehmung in uns angetroffen wird als die Beschaffenheit des Gemüthes, 
von Objecten afficirt zu werden — oder ob sie, wie STnAW Mill meint, „phy- 
sikalische Thatsachen. Resultate der Erfahrung und Beobachtung sind, welchP 
auf einer Induction per ennmerationem simplicem, auf der 'J'hatsache herüben, 
das sie immerwährend wahr und kein cinzigesmal falsch befunden worden 
sind.“ (S. a. a. 0. hauptsächlich das IV., V., VI , XXIV. Capitel.) 

• Um unserer Seits uns eine klare Ansicht von dem Wesen der Grundsätze ' 
zu verschaffen — denn über die Möglichkeit, aus diesen analytisch oder de- 
ductiv die weiteren mathematischen Lehrsätze abzuleitcn, ist überall kein 
Zweifel — müssen wir auf einen wesentlichen Unterschied -zwischen solchen 
aufmerksam machen. 

Wir wenden uns in dieser Beziehung an Euklid, der in der Edition von 
GrkgoRy (Euclidis quae supersunt oinnia. Oxford 1703j, die fast allen späteren 
Ausgaben zu Grunde liegt, folgende 12 Grundsätze aufstellt; 

1) Was Einem und demselben gleich ist, ist unter einander gleiob 

2) Gleiches Gleichem zugesetzt, gibt Gleiches. 

3) Von Gleichem Gleiches weggeuommen,'gibt Gleiches. . 

4) Gleiches Ungleichem zugesetzt, gibt Ungleiches. 

5) Von Ungleichem Gleiches weggenommen, gibt Ungleiches. 

, 6) ^Reiches verdoppelt, gibt Gleiches. 

7) Gleiches halbirt, gibt Gleiches. 

8) Was einander deckt, ist einander gleich. 

9) Das Ganze ist grösser als sein Theil. • 

10 ) Alle rechten Winkel sind einander gleich. 

11) Zwei gerade Linien, die von einer dritten so gesdinitten werden, dass die 
beiden inneren au einerlei Seite liegenden Winkel zusammen kleiner als 

4 * 



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52 



IV. Die reellen Zahlen in der firössonlohre. 



zwei Rechte sind, trefien genügend verlängert an derselben Seile zu- 
sammen. 

12) Zwei gerade Linien sehliessen keinen Raum ein. 

Jlan sollte meinen , dass seihst die oherflächliehste Betrachtung hier zwei 
wesentlich verscliiedene Klassen von Grundsätzen unterscheiden lässt, deren 
eine (1 — 9) sich auf Verhältnisse bezieht, die mit ilem Begriff der Grösse 
wesentlich verknüpft sind , während die andere (10 — 12) geometrische Wahr- 
heiten enthält. Und doch ist dieser Unterschied von den meisten Mathema- 
tikern ganz üherseheu worden, wie fichon genugsam der Umstand beweist, 
dass man beide unter dem einen Namen der Axiome zusammengeworfeu hat. den 
Euki.id gar nicht kennt, denn er hat diesen Unterschied auf das schärfste er- 
kannt: ln allen Maniiscrijiten, welche F. I’eyrakd zum Zwecke seiner 
vortrefl'lichen Ausgabe des Eukud (Lcs oeuvres d’Kuci.iDE , trad. en latin et 
eu framais. 1. Bd. 1814, s. Varianten S. 454) verglichen'hat, befindet sich 
der berühmte 11. Grundsatz der Paral leien th eorie mit den 
Sätzen vom Gleichen und Ungleichen nicht in einer Kategorie 
der xotrnl h'roini, sondern tigurirt als 5tes Postulat (ixhij/nt). Der 
lü. Grundsatz nimmt ebenfalls in allen die Stelle des 4ten Postulates ein. wäh- 
i«nd die ilandschriftcn in Bezug auf den 12. Satz schwanken, so dass nitCn 
deptlich sieht, wie ein Missverständniss nach und nach diese drei Postulate 
au eine falsche Stelle gebracht hat, au der sie unbegreiflicher Weise noch 
heute stehen. 

Von den Grundsätzen, die aus der geometrischen Anschauung eptspringeji, 
kann es nicht in Zweifel gezogen werden, dass es synthetische in der Aus- 
druckswei.se K.vnt’s oder inductive sind, wie sie Stuart Mii.l nennt: eine 
weitere Discussion der Natur diesgr uijiiunia ist hier für uusern Zweck ohne 
directe Bedeutujig. 

Nälier liegt uns die andere Klasse der Grundsätze, die der xvncu fnomi 
(notiones commuiies), deren Unterschied von jenen Kant wohl bemerkt hat. 
„Einige wenige Grundsätze, welche die Geometer voraussetzen, sind zwar 
wirklich analytisch und beruhen auf dem Satze des 'Widerspruchs ; sie dienen 
aber auch lyir, wie identische Sätze, zur Kette der Methode und nicht als Prin- 
cipien, ■/.. B. der 9. Grundsatz. Und doch auch diese selbst, ob sie gleich 
nach blossen Begritteu gelten, werden in der Mathematik nur darum zuge- 
lasseii, weil sie in der Anschauung können dafgestellt werden“ (S. 704, vergl. 
.auch S. 149); und in voller Uebereinstimmung soweit sie in der Ausdrucks- 
weise zwischen Idealisten und Empiriker stattlinden kann sagt Stuart Jln-t-,: 
„Einige Axiome EtTKUin’s könnten ohne Zweifel in die Form von Definitionen 
gebracht, oder aus ähidichcii Sätzen abgeleitet werden, wie wenn man statt 
des 8. Axioms die Definition luihmen könnte; Gleiche Grössen sind solche, 
welche so aufeinandergelegt werden können, da^ sie sich decken und die 
.\xiome 1 , 2, ,3 können darnach'durch ein eingebildetes Aufeinanderlegen be- 
wiesen werden ... Es ;}ibt indessen auf der Liste der Axiome zwei (xier drei 
fundamentale Wahrheiten, welche nicht demonstrirt werden können; hieher 



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§. 14. Logische Xatur der Zahlformcin. 



58 



gehört der Satz 10, U . . (a. a. U. V, §. 3). „Wie andere sogeiiaimte Deti- 
nitioueu, so sind dieselben aus zwei Dingen- zusammengesetzt, aus der Erklä- 
rung des Namens und aus der Behauptung einer Thatsaehe, wovon die U>tzte 
allein ein erstes l’rincip otler eine Prämisse einer Wissenschaft bilden kqnn“ 
(XXIV, § 5). 

^ Mit diesen Erläuterungen deg Wesens der notiones communes wird man 
sieh im Wesentlichen einverstanden erklären können Ein solcher Uruudsatz 
spricht ein ahstract allgemeines und nothwendiges (iesetz aus, welches in 
allen ürösseugehieten stattfiudet, und ohne seinen wesentlichen Charakter auf- 
zugehen, in eine Definition verwandelt werden kann, welches ferner einen sol- 
chen (jrad von Evidenz besitzt, dass es durch seine l)l«sse Exposition als 
unzweifelhaft wahr erltannt wird. Dies mag hier, wo nicht die Logik der • 
mathematischen Metliode überhaupt entwickelt werden sf)ll, genügen. Hecht 
eigentlich aber intercssitt uns hier die Frage, wie es mit den Urtheilen von der 
Form 2.2 = 4 Imschaffen sei. 

Kant gibt uns hierauf folgende Antwort; „diiss 7 + 5 = 12 sei, ist kein ' 
analytischer Satz, denn ich denke weder in der Vorstellung von 7, noch von 5, 
noch in der Vorstellung von der Zusammensetzung beider die Zahl 12 ... . Oh 
er.aher gleich synthetisch ist, so ist er doch nur ein einzelner Satz .... Der- 
gleichen Sätze muss man also nicht Axiome (denn sonst gäbe es deren luicnd- 

. lieh viele), sondern Zahlformcin nennen“ la. a. O. 144). Er belehrt uns dann 
weitcT, „dass man über die Begriffe von ö und 7 hinausgehen müsse, indem 
man die Anschaiuuig zu Hilfe nimmt, etwa seine 5- Finger und so nach und 
nach die Einheiten der in der Anschauung gegebenen 5 zu dem Begriffe der 7 
hinzuthun .... Der arithmetische Satz ist also jederzeit synthetisch ^ welches 
mau desto deutlicher iunc wird, wenn man ptwas grössere Zahlen nimmt, da 
es dann klar eiuleuditet. dass, wir möchten unsere Begriffe drehen und wen- 
den, wie wir wollen, wir ohne die Anschauung zu Hilfe zu nehmen, vermittels 
der blossen Zergliederung unserer Begriffe die Summe niemals finden könn- 
ten“ (S. 703-). 

Die Ansicht, nach welcher das Eius-uml-eins sowie das Ein-mal-eins eine 
unhegränzte Reihe von Axiomen, wenn auch Kant vor diesem Namen , 
zurückschreckt — aufweist ist so unangemessen und }>aradox, dass man kaum 
begreift, wie man sich bei ihr beruhigen könne. Freilich war Kant’s Ansicht 
nicht allein der Ausdruck der von ihm wohlgekannten Mathematik seiner Zeit, 
wo Kaestner als grosser Mann galt; sie' ist auch noch der Ausdruck der 
meisten neueren, in anderer Beziehung vortrefflichen Lehrbücher der Arith- 
metik, in denen von einer Begründung der Zahlformelu auf anderem 
Wege, als an den fünf Fingern nicht die Bode ist. Und wenn man auf diese 
Weise Aiuch den Satz 2.2 = 4 begründen kann, so wird man, obgleich Kant 
gerade letzteres vorschlägt, wohl darauf verzichten müssen, den Satz, dass 
1000. 10(10 = UXWOtX) auf diese -\rt zu erweisen. Man rühmt es.dcr M.^the- 
matik nach und die apodictischc Gewissheit ihrer Sätze beruht darauf, dass 
sie auf einer äusserst kleinen Zahl von iatleiMtudcnteu Grundwahrheiten de- 



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54 



IV. Die reellen Zahlen in der Grössenlehre. 



ductiv ein unendliches Gebäude errichtet; und hier soll ^'ar eine tniendliehe An- 
zahl von unter sich unendlich mannigfach verbuudeneu Pfeilern das Gebäude 
tragen, obgleich nur ein einziges Bindeglied zu wanken braucht, um den ganzen 
stolzen Bau zum Umsturz zu bringen! 

Auch bei STUAnrMii.n (a. a. ü. XXIV, 5) „ist die in der Delinition 
einer Zahl behauptete Thatsacbe,, eine physikalische Tliatsache . . . . Wenn 
wir sagen, dass 12® = so behaupten wir, dass, w'enn wir im Besitz einer 
hinreichenden Anzahl von Kieseln oder von anderen Gegenständen sind, mul 
sie zu der Ixisonderen Art von Haufen oder Aggregaten zusanimenfügen, die 
mau 12 nennt und diese 12 wieder in ähnlicbe Haufen zusaminenbringen und 
endlich 12 von diesen grösseren l’arthien vereinigen: das so gebildete Aggregat 
• eüi solches sein wird, welches wir 1728 nennen, das nämlich welches entsteht, 
wenn wir das 1000 Kiesel genannte Aggregat, das 700, das 20 und das 8 Kiesel 
genannte znsammenfügen.“ Dies alles muss zugestaiuleu werden, cs ist nur 
die Fr.ige, wie dies zu beweisen ist, da man es schwciiicli auf die Probe mit 
den Kieseln ankomnien lassen wird. Hierauf hat Stuart Mini, die richtige 
.\ntwort: „Ks gibt unendlich viele Entstehungsweisen einer jeden Zahl, aber 
wenn wir Eine Erzeuguugsweise einer jeden kennen, so kann der ganze liest 
deductiv bestimmt werden .... AVenn wir eine Kette' von inductiveu Wahr- 
heiten, welche alle Zahlen der Reihe miteinander verknüpft, gebildet haben, 
so können wir die Bildung irgend einer dieser Zaiilen aus einer anderen ein- 
fach dadurch bestimmen, dass wir von der einen zur anderen die Kette entlang 
gehen .... Was die Arithmetik zum Typus einer deductiven Wissenschaft 
macht, ist die glückliche Anwendbarkeit von einem so umfassenden Gesetze, 
wie: die Summen von Gleichen sind gleich, oder: was ausTlieilen zusanimen- 
gesetzt ist, ist aus Thcilen dieser Theile zusammengesetzt. Diese Wahr- 
heit.. . muss als eine inductive Wahrheit, oder als ein Naturgesetz von der 
höchsten Ordnung betrachtet werden .... Es ist hei allen llecbnuugcu unsere 
Gewähr. Dass 5 -P 2 = 7 glauben wir auf den Beweis dieses inductiveu, mit 
den Definitionen der Zahlen verbundenen Gesetzes bin. AA'!!' gelangen zu 
diesem Schluss (wie Alle wissen, die sich erinnern, wie sie ihn zuerst lernten), 
indem nur die blosse Einheit auf einmal addirt wird, 5-p 1 -= <i, daher 
*5-P 1 -P l = t)-pl = 7 und dal -p 1=2, soist5-p 1 -p l=5-p2 = 7.“ 

Diese in der That wissenschaftlich einzig und allciu zulässige Idee ist 
dieselbe, welche in vorstehender Entwickelung nicht ein blosses Apercu ge- 
blieben, sondern ein 'systematischef Gedanke geworden ist. 

Als Grundsatz Imi der Addition ist-angenommen worden 

1) rt -p (6 -p c) = (a -P At -p c, d. h.! AA'enn «, b, c drei Grössen sind, so 
erhält man dasselbe Resultitt, ob mau zu a die durch A'ercinigitng von b und c 
hervorgehende Grösse (i -p c) addirt, oder zu a erst b und dann zu dieser ver- 
einigten Grösse (a -p b) die Gtösse c. 

2) a -P. A = 6 + ct, d. h.: Man erhält dasselbe Resultat, mag man A zu a 
oder a zu A binznfügen. 

Um die Summen von raehrmale-gcsetöten Grössen, also ihre A’ielfacheu zu 



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«j. 14. Logische Natur der Zahlformcln. 



00 



hezeiciincii, haben wir eia früher durch furmaJc Verknüi)iüagsgesetze gebil- 
detes Zeiclieiisystein angewandt. Es musste dabei weiter der Satz angewandt 
werden,' 

3) dass, weiiii a = Ae, b = lie, auch (a -f- b) ein bestininites von der 
Natur von c unabhängiges Vielfaches von e ist, welches wir als das {A -1- /»')- ■ * • 
fache bezeichnen tonnten, indem wir unter dieser Verbindung (A Jl) eben 
vermöge der beiden Grundsätze 1) und 2) die in §. U formal defiiürte Addition der 
Grössen verstehen konnten. Diesen .Satz kann man in einer deutlicheren 
Si»rache so ausdrücken: Ist a =»= A e, b = He und a —Ae', b' — H so 
ist (a + b) von e dasselbe Vielfache als (a -b b‘) von e' und in dieser Form 
wird der Satz von Euki.ii} V, 2, expoiürt. 

Diese 3 hier angeführteu Grundsätze haben durchaus den Charakter der 
notiones communes. Sie werden durch eine Explication vollkommen evident, 
gelten für alle Grössengebiete nach der reinen .Vusehauung der Grösse, und 
können, ohne ihren Charakter einzubüssen, in Detinitionen verwandelt werden, 
iniiem man sagt: Unter der Addition von Grössen versteht man eine Operation, 
welche diesen 3 Sätzen genügt. 

Was nun die hlultiplication von Zahlen in der Grösseulchrc und insofern 
sie ein Vervielfachen bezeichnen, angeht, so erfordert sic den Satz: A (H e) 

(./ /i) e ; d. h.' wenn b = Js e, a = Ab und b' = H e , a = A b', so ist a 
dasselbe Vielfache vom e als d von Dies beweist Euklii> V, 3, indem er 
dabei den Satz benutzt: 

• 4) Ab Ac — A {b c), der in den Elementen V, 1 explicirt ist. 

Sieht man die Beweise der Lehrsätze V, 1 und 2 bei Euklio genauer 
an, so wird man sic von wesentlich anderem Charakter linden,, als er allen 
übrigen Beweisen seiner Elemente zukommt. Es sind gar keine Beweise, 
denn- es fehlt ihnen der logische Vordersatz; Folgerungen werden gezogen, die 
auf keinen Grundsatz zurückgeführt werden; es sind keine Deductiouen, son- 
dern Expositionen oder inductionen in der Sprachweise der Empiriker. 
Versucht man aber die fehlenden oberen Prämissen zu ergänzen, so bildet man 
keine anderen, als die von mir unter 1), 2) angeführten associativon und com- 
mutativen Priucipien, die man iu versteckter Weise wohl in dem 2. Grundsätze 
des Euklid enthalten, ausehen kann. Ich meine aber, dass eine iiii Sinne der 
Alten vollkojnmen strenge und wissenschaftliche Behandlung der Grössenlelire 
überhaupt i das associative und commutative Priucip bei der Addition, sei 
es nun als Debnition dieser oderials eigentlichen Grundsatz, nicht entbehren 
kann. Beide werden übrigens bei der Behandlung discreter Grössen sfteng 
genommen in das einzige Axiom 

^ « -F (yj •+■ D e = (.,4 -F ft) e -F 1 e 
zusaramengefasst werden können (vergl. §. 9). 

Durch die Annahme dic.scr beiden Grundsätze würde übrigens die Zahl 
derselben nicht vermehrt werdeti, da man mit ihrer Hilfe die EuKLiD’schen 
Axiome 1 — 9 theilweise aufeinander reduciren kann, was ohne sie aber nicht. 



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1 



56 IV. Die reellen Zahlen in der Grössenlchre. 

wie man zuweilen gemeint hat (s. z. D. Mill, a a. 0. XXIV, §. 5), mög- 
lich ist.' 

Duell muss ich heim-rken, dass ich die Untersuchung Uber die Zahl und 
die Form derA-xiome, welche der Grössenlehre noch hinzuzufiigen sind, mit 
vorsteliendeu kurzen Bemerkungen nicht ei'ledigt haben will. Es würde die 
erschöpfende Lösung der Frage uns von unserem Ziele allzuw'eit cutfernen, da 
in diesem Werke cUe Lehre von den Grössen nur insoweit von Interesse ist, 
als .sie in Beziehung mit der rein formalen Mathematik tritt. Letztere kennt 
weder tthi’iuina, noch xonni tvvuiui ; ihre Ujierationen sind an sich willkühr- 
lich und die Kiclitigkeit ihrer Schlüsse hangt von der Möglichkeit und Wirk- 
lichkeit jener Operationen überall nicht ab. 

§. 15 . 

Die r.atioualeu Zahlen in der Grössenlehre. 

Sind a, b zwei ä'leiclnirtige Grössen, d. h. also solche, w'elche 
vervieltaltigt einander iiberlreÜ’eu köiuien, so fragt cs sich, ob niau 
die eine derselben b so vervielfältigen könne, dass ihr Vielfaches 

X b = a ' ( 1 ) 

wird. Haben «, b ein genieinscbaftliebes Maass, von dem 
sie Vielfache sind, d. b. ist u — d/c, b = X e und ist die Gleichung 

A'.V=.1/ . 

in ganzen Zahlen .Y auflösbar, so ist auch die Auflösung jener 
Gleichung (1) oder 

A’ N e — M e 

gefuntlen. Kann aber che Gleichung A' N = d/ nicht in ganzen 
Ztihlen aufgelöst werden, sondern nur durch eine gebrochene Zahl 




iin Sinne des §. 11, so fragt es sich, was man unter Jieser Opera- 
tion i-f 6 zu verstehen habe. 

N 

*l)azu denken wir uns die Einheit c beliebig, z. B. in A'Theile 
zerlegbar und bezeichnen einen derselben mit ^ e, so dass 

A' = e oder auch ^ A^e = e und überhaupt A"= 1 ge- 

setzt werden darf. Unter d/ / e j hat man dann überbinstiramend 



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§ 15. Die rationalen Zahlen in der Grössenlehre. 



57 



mit unseren Bezeichnungen in §. 14 diese Grös.se ^ e, dfmal ge- 
setzt zu verstehen. Dass 

folgt unmittelbar aus der Natur der actuellen Theilung und Ver- 
vielfachung, und wenn wir . ' ' 

(v ®) ~ ® ^ iv * 

setzen, so ist, um die Uehereinstimmung dieses Zeichens ^ mit dem 

in §. 1 1 cingefühitcn nachzuweisen, nichts weiter erforderlich' als 
dass die allgemeinen (Jesetze, welchen diese gehrochenen formalen 
Zahlen unterliegen, jetzt als nothwendige Folgen des Theilungs- 
hegriffes dargidh.-in werden. 

Man vcrglficliP in Hinsicht dieses Beweises iu’s Besondere Kcklid VII 
und VIII. Buch, sowie Grassmann’s I.flirliHch der Aritlinietik Art 
130 u. If. Ich beschnlnkc midi auf diese Ilinwei.snnir, da hier in der That 
keine irgend welche neuen l’pinci|iien eintreten , denen höheres wissenschaft- 
liches Interesse zukiinie, und ich üherhau]it darauf verzichtet habe, die An- 
wcndiiug der Zahle» iii der Grössenlehre ganz s)’steniatisch und der tieferen 
Natur des Gegenstandes entsprechend, ausführlich zu behandeln. — 

Man pflegt die Verbindung einer formalen Zahl mit einer Grösse e,Ae 
als eine Multiplication änzusehen , was dadurch gerechtfertigt ist , dass das 
distributive Princip zum Theil in den Gleichungen 

{A B) e ^ A e + n e , A (h c) =: 4 h ^ A c 

enthalten ist. Ebenso sieht man die l^fisung A' = — der Gleicliung X a — b 

als einen Quotienten an. Wenn gleich dieser Ausdrueksweise nichts wider- 
spricht, so ist sie dodi von geringem Werthe, da jener Multiplicatiou keine 
.\ddition einer formalen Zahl f uiTd einer Grösse a entspricht; denn _■/ -t- « 
hat keine Bedeutung^ zu jener Division zweier Grössen aber gibt cs im Allgc- 
inoincu keine entsprechende Multiplication a.b. 

Man nennt Ae eine benannte Zahl, ein Ausdruck, den wir jedoch um 
allen Verwechselungen zu entgehen, nicht weiter auwenden werden; in unserer 
Sprachweise würde Ae eine actuelle Zahl heissen, wälirend die Zahl , die 
man in der Arithmetik gemeiniglich als absolute bezeichnet, in gewissem 
Sinne mit unserer formalen zusammenfallt. 

Man sieht, wenn man da.s bisher erläuterte zusammenfasst: 
Wenn A irgend eine ganze oder gebrochene rationale formale Zahl 



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58 



IV. Die reellen Zahlen in der Grösse nleli re. 



bezeicbiiet, so wird durch j1 e eine actuello mit e vürzimchnieiide. 
Ojicration aiigcdcutct, weldiu, wenn die Grosse c eine willkülirlieh 
tlieilbare ist, immer ausgerdbrt werden kann, und auf eine be- 
stimmte neue Grösse führt. Die Operation der realen Addition 
zweier Grössen A e, B e, sowie das Vervielfachen und Theilen der 
Grösse A n, können ei^setzt werden durch die formale Addition, 
Multiplieation und Division formaler Zahlen, der Coellicienten A, B. 

§. 16 . 

Die irrationalen Zahlen. 

Im Vorstehenden haben wir die Gleichung 
Xb = a 

unter der Voraussetzung, dass /« und « commensurabel sind, auf- 
gelöst. Sind aber diese gleichartigen Grössen n, 0 in<;ominen- 
siirabel, 'so gibt es in unserem Sy.steme überhaupt keine Zahl, 
welche die Aufgabe löst. .Man kann dann rationale Zahlen Mi X 
so bestimmen, dass- 




kleiner als irgend eine gegebene kleine Grösse ist. Die Ojjeration, 
welche durch A’ dargestellt wird, kommt also der Theilung und 

Vervielfachung, welche in ^ ausgedrückt ist, im Resultat so nahe 
als maii will, ohne jedoch je mit ihr zusammenzufallen. Da A' b 
als eine, mit b verwandte Operation erscheint, so nennt mau A^ 

ebenfalls eine Zahl, eine irrationale, für welche in unserem 
Systeme kenn Zeichen vorhanden ist^ und welche eben nm’ dm-i;h 

X = ^ bezeichnet werden kann. 

.\usser dieser Aufgabe, der Division incommensurabler Grössen, 
gibt es noch eine unbegrenzte Anzahl anderer, z. B. Wurzelaus- 
ziehungen, Gi-enzweiihe von. unendlichen Summen, Producten, 
Kettenbmchen u. ^>. w. , welche in unserem Systeme der rationalen 
Zahlen einer Lösung nicht fähig sind. Wenn es aber rationale 
Zahlen gibt, welche der gestellten Fordei-ung beliebig genau ge- 
nügen, so wird mau die Aufgabe als dui'ch eme irrationale Zahl 



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•§. 16-. Die irrationalen Zahlen. 



59 



lösb.-if aiisehen, der au der zu (iniiide gelegten Einheit eine Opera- 
tion cntspiieht, welche 'riioilungen und Vervielfiiltigungen weuig- 
bteus verwandt ist. 

Da.s l’rincip der Pcnnanenz wird uns hier sofort die Bedeutung 
iler Smnnie, des Productes von irrationalen Zahlen mit um so 
grösserer Leichtigkeit geben, als diis Kesultiit der Verknüpfung von 
iiTa-tionalcn Zahlen unter«eiuander oder mit rationalen, ilem Resul- 
tate der entsprechenden Verknüpfung beliebig naher rationaler 
Zahlen auch immer beliebig nahe kommen muss. Eine einfache 
E.xlmustionsmethode , bei deren Ausführung wir hier nicht zu ver- 
weilen brauchen, gibt dann den Satz, dass für irrationale Zah- 
len genau dieselben Op erationsregeln als für rationale 
gelten. Somit ist mit einem Schlage die in §. 12 gelassene Lücke 
ergänzt. 

Die rationalen Zahlen im Verein mit den zwischen sie inter- 
polirten und ihre Reihe zu einer stetigen vervollständigenden irratio- 
uäleii nennt man die reellen Zahlen. 

Die von einer irrationalen Zahl ffeforderte Operation kann als niöfilich 
gedacht werden, wenn das System der gleichartigen (irösscu, mit dem wir 
o[H;nren, ein stetiges ist. Dann wird es eine Reihe von Zahlenoporationen 
geben, welche, -so lange sie noch nicht in’s unendliche fortgesetzt ist, immer 
noch von der verlangten abwcicht, alter ihr immer und unbegrenzt naher 
kommt. Die verlangte Oi>eratiou kann dann durch die ideale Vollendung einer 
unbiMlIichen Reihe von Zahlenoperationen ausgefülirt gesetzt werden. Inso- 
fern nun eine solche unendliche Fortsetzung eheu in ihrer Vollendung unfass- 
bar ist, mul jederzeit auf emen Widerspruch führt ,• müs.sen wir behaupten, 
düss die irrationalen Zahlen unmöglich sind, so lange nicht ein Mittel gefunden 
ist, solche auf andere Weise als durch Theilung und Vervielfachung und über- 
haupt durch Zahlenoperationcn darzustellcn. Kin solches Mittel bietet 
nun die (ieometrie in ihren von jedem ZahlhegrifF unahhängigeu Grössen- 
operationen dar, aber nur indem sie den Begriff des Stetigen, in dem eben 
jener Widerspruch versteckt ist, als einen gegebetien ansieht Das reine, von 
jeder Anschauung losgelöste Denken kann das Unendliche nicht erfassen, die 
formale Zahlenlehrc nicht das Irrationale. Die Anschauung aber bedarf des 
Stetigen ; Die Geometrie beweist die Existenz des Irrationalen. 

Wahrend wir die rationalen Zahlen auf eine gesetzmässige Weise aus 
einer Einheit durch Vervielfachen und Theilen bilden, sic dem ents|)rechend 
principmässig bezeichnen und aus einer geringen Anzahl von Zeichen (im 
dekadischen Zahlensysteme von 10) zusammensetzen konnten, sö können die 
irrationalen Zahlen durch ein solches Verfahren nicht, sondern nur durch ein 



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/ 



60 reellen Zahlen in der Grössenlehre. 

stetiges Operiren an der Einheit gew nnen werden und entziehen sich daher, 
weil sie nicht discret zum llewusstseiu kummen, einer sulchen systemati- 
schen Uezcichnung mit Noth Wendigkeit. Nur gewisse Klassen von 
irrationalen Zahlen, z 15. ^'2, yä, y' '2 + ^2,... welche in einfachen ISe- 
ziehungeu zu rationaleu stehen, können wieder nach einem hestimmt<“ii l’rinciii 
bezeichnet werden. Im Allgemeinen wird man sich irgend welcher Zeichen 
für irrationale Zalden hedieucu müssen; für gewisse Irrationalen hat mau in 
n, c, u. s. w. recipirte Zeichen, die erst ihre Be^putung erhalten, indem man 
z. B. c durch die unendliche lleihe: 

, 11 1.1 

1 + y + 2-.+ ^ + 23-4 + ... 

delinirt. Der Begriff der unendlichen Reihe, überhaupt der Grenze, ist, 
nachdem wir den Begriff' der Grösse eingeführt haben, welche schon eine 
vollendete an sich ist, und nicht erst durch diesen Summatiousprocess erzeugt 
werden soll, nicht mehr unzulässig. 

Die Alten haben die Schwienigkeit, welche es hat, von discreteu Grössen 
und deren begrifflichem .\usdrnck, den Zahlen als ,, einer aus Einheiten be- 
stehenden Mengi'“- (deren Eigenschaften im VII. — IX. Buche von Euki.io's Ele- 
menten behandelt .sind) zu den stetigen Grössen, welche in einer dem ti'ans- 
scoidentalen Schema des E.xtensiven vollkommen adäiiuatoi geometrischen 
Form und mit hesonderei' Rücksicht auf geometrische Grössen, im V. 
und X. Buche der Elemente behandelt sind, üherzugeheu, für so gross ge- 
halten, dass sie das Irrationale dem Zahlbegriff gar nicht unterordneteu, viel- • 
mehr ausdrücklich behaupteten: „Incommcusurahlc Grösseu verhalten sich 
nicht wie Zahlen zu einander“ (Eukliü’s Eiern. X, 7, vergl. S. tö). Die Auf- 
hebung dieser Beschränkung des Zahlbegriffes, die den Alten unmöglich 
schien, seit dem lU. Jalirhundert aber mit grosser, .ja tnan kann wohl sagen, 
allzugrosser Leichtigkeit und ohne allen Widerstand durchgeführt wurde, hat 
die Fuiictioneidehre und damit die ganze neuere Jlathematik möglich gemacht 
und deren Charakter bestimmt. Wenn es walu: ist, dass, wie Wukwki.l meint, 
das Wesen der Triumphe der Wissenschaft und ihres Fortschrittes dariu be- 
steht, dass wir veranlasst werden, -Ansichten, welche unsere Vorfahren für 
unbegreiflicF hielten und unfähig waren zu begreifen , für evident und nolh- 
weudig zu halten, so war die Erweiterung des Zahlenbegriffes auf das Irratio- 
nale, und wollen wir sogleich hiuzufügen, das Imaginäre, der grösste Fort- 
schritt, den die reine Mathemajtik jemals gemacht hat. 

§. 17. 

Die negativen Zahlen in der allgemeinen Grössenlelire. 

Haben wir nun im Vorstehenden die Division vorgenonimen, 
und wurden wk durch die Absicht, sie allgemein auszultihren, auf 



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§. 17. Die negativen Zahlen in der Grössenlehre. 



61 



die gebrochenen Zahlen geführt , so gehen wir jetzt über auf die 
Lysis der Addition von gleichartigen Grössen, welche durch A e, 
Be .. . 'dargestellt werden können, wo A, B positive Zahlen sind. 

Die Gleichung 

X + B e = A e 

wird stets auflösbar sein, wenn Be<iA e und gibt x = ( A — ß) e, 
wo nun diese Differenz ganz den fiüheren, fonnal entwickelten 
Regeln genügt, und 

X = {A — B) e — A e — Be 

gesetzt werden kann. Die Differenz (A e. — B e) wird durch die 
actuellc Operation des Wegnehmens der B Einheiten von den A 
reali.sirt. • • • 

Enthält aber Be mehr Einheiten als^e, so ist ein solches 
Wognehmen im eigentlichen Sinne nicht mehr zulässig, wenigstens 
dann nicht,* wenn man unter e eine eigentliche Substanz versteht. 
Bedeutet aber e, dessen Inhalt bis jetzt keinen Bestimmungen 
unterlegen hat, eine Relation (zwischen Objecten), deren posi- 
tive Setzung ein conträres Gegen theil in der negativen Setzung 
hat, so dass eine .^malige positive Setzung sich mit der .^maligen 
negativen im Resultate gänzlich aufheht, d. h. eine Relation eines 
Objectes zu sich selbst gibt, so kann die Subtraction allgemein aus- 
geführt werden (vergl. S. 5). 

Bezeichnet man die zu e entgegengesetzte Relation mit (— e) 
und deren B malige Wiederholung mit B ( — e) , während die 
ui’sprüngliche Relation mit -j- c bezeichnet werden kann , so wird 
die (jilcichung 

X + B e = A e 

durch X = A e + B ( — e) in dem 'Falle, dass Be~^ A e iat ge- 
löst. Bezeichnet man aber die Lösung der Gleichung ganz allge- 
mein mit Ae — Be, so hat mau B ( — «) = — Be oder == ( — B) e 
zu setzen, wo man im letzteren Falle das negative auf das B über- 
tragen hat. Hienach daif denn x = {A — B) e als allgemeine 
Lösung jener Gleichung angesehen werden, wenn die Differenz 
(A — ß) ganz die in §. 10 formaliter dargestellten Eigensclj^aften 
besitzt, und^zwar auch die auf die Multi plication bezüglichen. Denn 
mag A eine positive oder, negative Zahl sein , die Sätze über die 



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62 



IV. Die reellen Zalilen in der Grössenlehre. 



wiorterliolte Setzung, das associative und distributive Princip wie 
sie in ij. 14 für die absolute Setzung angenoiniuen werden mussten, 
gelten jetzt unverändert. 

Wenn auch der DeeriH' des Negativen aut' vielerlei Arten von Grössen an- 
gewandt werden kann (vcrgl. hierüher den intercssalitcn .\ulsatz von Kant: 
Versueli den Bcgrifl' der negativen Grössen in die Weltweisheit einzufiihren. 
Sänimtliche Werke von lloeRSKRANZ und SeiifHK«T ltd I, S. 1 13), so sind doeh 
vor allen Dingen die räumlichen und die zt'itliehen Vorstellnngen geeignet, 
ihn zur klaren Anschauung zu hringen. Namentlich hietet er sich in dem Be- 
gritVe der Zeit am natürlichsten dar. Wenn jedoch Hamilton (vcrgl. olien 
S. 17) meint, man ini'isse deshalb die ganze Lehre von den Zahlen auf die 
riioronomie hasiren, so scjieint mir doch, wenn man einmal das abstracto 
Fundament aufgehcu will, die Geometrie viel geeigneter, dies zu liefern; denn 
schon das Irrgtionale, noch viel mehr aber das Imaginäre, ist in der Zeit etwas 
durchaus nicht Anschauliches, von den vielen anderen Vorzügen der räum- 
lichen Anschauung hier ganz abzusehen. 

Anmerkung zu den §§. 14 — 17.- Ks ist von grosser Wichtigkeit zu 
bemerken, dass die erwähnten §§. keine Eigenschaft enthalten und enthalten 
können, welche ein, algebraisch gesprochen, additives Setzen von einem multi- 
plic.ativen unterschieden; oder ahstracter, das Zeichen Je bedeutet nichts 
weiter als eine gewisse an « vorzunehmende Opi'ration , welche gewissen .Ge- 
setzen genügt. Es hat daher nichts Widersprmdiendes, wenn wir statt J e 
das Zeichen gebi'alichen , d. h. wenn wir unter c'*, A Factoren e verstehen; 
denn wenn man die Zahlen I, 2, 3, ... durch die Beihc: 

• c* . e’ = e“, «* c' = e^, . . . 

bildet, so darf man 

+ il _ gA gß 

setzen , wo unter (A -1- li) die Summe in dem Sinne des §. 9 zu verstehen ist. 
Bringt man die Operation H an e'* an, so ist 

(ßA)A= g<A/l) 

zu setzen. Denn die distributive Eigenschaft ist in den F'ormeln 

(gAJ («4 /■) =, gA A gA r 

[ß(A + /!)] T gBT ■' • ■ 

erfüllt. Es ist hienach klar, wie die Gleichung 

(e*)-v = ßS 

aufgelöst werden .kann, und wie auch negative Exponenten zulässig sind, um 
gA -M jedem Falle ausführbar zn machen. 

Man sieht hieraus, dass es in der That nicht genau war (s. S. .’')7l, A r. als 
Product anznsehen. Denn wenn die Bezeichnung e* dafür angewandt, und 
was leicht geschehen kann, eine diesem Zeichen in seiner algebraischen Be- 



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§. 18. nas üporationssystem der EuKLiD’schen Geometrie. 



G3 



deiitiing entsproehende reale Operation niitergejegt wird, so würde jene Ver- 
knüj)fung ganz anderer Natur sein, obgleich sie genau denselben Gesetzen 
unterliegt. 

Es liegt hierin zugleich ein Beispiel vor, wie die formalen Zahlen zur lie-' 
zeichming von höheren OpesatioTien in einem gewissen Zalilengehiet dienen 
können, welchen Gesichtspunkt der üperationscalcul weiter zu verfolgen hat 
(vergf. S. 13). 



• • • §■ 18. 

Das Operationssystem der Enklid’sehen Geometrie. 

Der Begriir der stetigen (irösse, mit dem wir bisher operirt 
hitl)eii, findet sein nnseliauliclistes Substrat in geometriseben (le- 
bilden, der Strecke, dem FHicbenraum, dem körperlicb(m Inlialt. 
Ein System von Oi)erationen, welches dem der gemeinen aritlmieti-'' 
selten 4 S]>ecies genau entspricht, und uns überdem in den Stand 
setzt, auch die Multiplication, die im Allgemeinen in anderen 
(irössengebieten nicht ausführbar ist, an jenen geometriseben 
Grös.sen mit gewissen Beschränkungen zu vollziehen, liefiwt uns die 
(lepmetric des EttKUD: 

Unter einer Summe zweier Strecken a, h versteht man die 
Strecke c, welche durch deren Aneinanderlegen in gerader Linie 
und so, dass eine Strecke ganz ausserhalb der anderen liegt, ent- 
steht. Es leuchtet ein, dass dann : 

a h == b a, a -f- (Ä -j- c) = (« li) + c. 

Unter a — b versteht man die Strecke, welche übrig bleibt, 
wenn man b von einem Endpunkte 'des a an so abträgt, dass b 
innerhalb a liegt; diese Operation ist nur möglich, wenn ä 

Wie man die Addition und Siditraction auszuführen habe, lehrt Eüki.id 
(Elemente I, 2 und 3». Es scheint mir, die Commutativität und Associativität 
der Addition der Strecken hätten in strenger Entwickelung als Lehrsätze 
aufgeführt werden sollen. 

Ehe man aber vorstehende Operationen definitiv mit jenen 
Namen bezeiclnien* darf, muss eine der Multiplication entsprechende 
Opwation definirt werden können. * 

Unter dem Producte a . b verstehen wir das Rechteck , welches 
die Strecken a, h zu Seiten hat, und zwar seiner Fläche nach. 




G4 IV. Ili(> rpellon Zahlen in der Grössenlehre. 

Die distributive iMgensdiaft 

a (/> + r) = rt Ä -|- rt c 

beweist Eitkij« II, 1 und du man in diesem Sinne ohne weiteres 

a h = h a 

setzt, also die Fläche nur insofern berücksichtigt , als sie von den 
Strecken selbst, nicht von ihrer Reihenfolge abhängig ist, so hat 
man auch 

(rt -f- Zi) c = a c -f- Ä c 

und es sind somit die Multiplicationsgesetze enviesen, wenn noch 
a (l> c) = (a 4) c. 

Es folgt aber diese associative Eigenschaft sofort aus der Fest- 
setzung, dass a {/> r) — (« li) c — a h c ein rechtwinkliges Parallel- 
epipedum mit den Seitenlangen a, h, c seinem Inhalte nach be- 
zeichnet. Dass dann auch hoi 3 Factoren das commutative Princip 
erfüllt ist und dass ebenso das distinhutivc Princip gilt, ist ohne 
Weiteres khar, wenn man sich noch erinnert, dass man (Euklid I, 
42, 4.3, 44) ein Rechteck stets in ein anderes von gegebener Gnind- 
linio verwandeln und daher eine Summe von Rechtecken stets wieder . 
als ein solches darstellen kann. Ein Product von 4 Strecken hat 
. keine geometrische Bedeutung. 

Der Quotient zweieP Strecken muss der Gleichung 




genügen, kann daher nichts anderes bedeuten, als eine gewisse 
Verkleinerung oder Vergrösserung der Strecke b, so dass eben a 
aus ihr hervorgeht, und ist also keine Grösse. — 

Stellt man durch Vervielfachen und Theilen aus einer Strecke e 
alle anderen dar, so wird man jede solche 

a—^e 

setzen können, wo ^ eine rationale Zahl ist; zwischen den so erhal- 
tenen Strecken liegen noch andere, die mit e incommensurabel 
sind und durch ^ e mit irrationalem ^ dargestellt werden. 

Ist nun eine solche -Darstellung der StrecTcen durch Zahlen 
möglich, so fragt es sich doch, oh das, was wir Summe und Product* 
zweier Strecken genannt haben* sich auch durch' Addition und 
Multiplication jener Zahlen ausdrücken lässt. 



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§. 18. Das Opcrationssystem der EüKLiu’schen Geometrie. 05 

” _ Dass dies bei der Addition der Fall ist, bedarf keiner Er- 
örterung. 

So lange B rational sind, kann man leicht zeigen, dass das 
Product der Strecken im obigen Sinne: 

a b — A e . B e — {A n) e e 

ist, und man schlicsst daraus auch auf Gültigkeit dieser Gleichung 
für Strecken, die gegen e incommensurabel sind. Ebenso i^ immer: 
abc—ABF.eee 

und obige Jlefinition des (Quotienten liefert den Satz, dass 

a 4 e A 

T jTe Ji‘ 

Die den allgemeinen formalen Bedingungen der Addition und Multi 
l)lication genügenden EiTKLin’scbeu geqmet^scben Operationen 
köimeiv .somit, wenn die Strecken durch A e dargestellt werden, wo 
A, eine positive Zahl betleutet, durch die gewöhnlichen arithme- 
tischen entsprechenden Operationen ersetzt werden : In einem Pro- 
duete von 2 oder 3 Grössen sind die Factoren e mit ihren Zahlen 
coefticienten jederzeit vertauschbar. Das System der'reellcn positiven 
Zahlen mit seinen Operationen kann das ganze System von Strecken 
mit seinen Operationen vollkommen vertreten. 

Ich habe mich lüer der heute gewöhnlichen Darstellung, welche die irra- 
tionalen Zahlen als Grenzfällc der rationalen behandelt, anschlicssen zu sollen 
geglaubt und zwar einzig aus dem Grunde, um nicht ein Kapitel ein- 
schalten zu iniissen, welches, den Elementen der Geometrie entlehnt, aller- 
dings in einem vollkommen strengen Systeme der Mathematik nicht fehlen 
darf, welches aber in diesem Werke nicht von wesentlicher Bedeutung wäre. 
D<jch können wir die Bemerkung nicht untenlrücken , dass die heut zu Tage 
übliche Behandlung der irrationalen Grössen in der Geometrie eine der Sache 
nicht adäqua’te ist, insofeni sie in der unnatürlichsten Weise das Zusammen- 
gehörige trennt und das Stetige, als welches ein geometrisches Gebilde seinem 
Wesen uach erscheint, in die Fessel des Disereten zwingt, welche es dennoch 
jeden Augenblick wieder zerreisst. Es gibt nur einen wissenschaftlichen 
Weg,, die Lehre von der Aehnlichkeit, die heute auf die Darstellung der 
Strecken in der Form a = Ae und auf die Rechnungsregeln der Zahlen ge- 
gründet zii werden pflegt, zu behandeln und dieser ist der von Euklid im 
5. und ß. Buche seiner Elemente eingeschlagene — ein Weg , der seit lange 
nicht anerkannt, ja sogar meistens vollständig missverstanden worden ist, der 
aber an Strenge, Eleganz und Sachgemässheit nicht übertrofleu werden kann 
Auf diesem erscheint das Irrationale als dem Rationalen vollkommen gleich- 

Hauke I, couiplexe Z^ablou. 5 



1 



66 IV. Die reellen Zahlen in der ürössenlehre. 

artig; die Aelmlichkeitslebrc beruht auf einer Definition der Proportion, welche 
von jenem Unterschiede gänzlich abstrahirt und abstrabiren muss, weil sie die 
Grössen bereits als fertige und nicht durch einen unstetigen Process zer- 
stüclcte aiiBiebt. Erst aus der Aelmlichkeitslebrc ergibt sich der wahre Begriff 
der Zald welche in der Verbindung eineStreckung derEinheit e 
in einem gegebenen Verhältnisse ausdrückt. 

Zufolge der Lehre von der Aehnlichkeit muss jede Relation zwischen 
Strecken a,h, . . . ihren Producten und Quotienten unabhängig von der Ein- 
heits-Str^ke e sein, durche welche alle Strecken a ^ Ae, h^Be,... aus- 
gedrückt werden, muss also zwischen den Zahlen A, B, . . . selbst stattfinden. 
Hierauf beruht die Möglichkeit der Berechnung geometrisch zu- 
sammenhängender Gebilde auseinander und daher die Möglichkeit der An- 
wendung arithmetischer und algebraischer Sätze auf die Geo- 
metrie. Wenn Legendke (Elements de Geom. II. Note) umgekehrt aus der 
vorausgesetzten Anwendbarkeit der Algeltra auf die Geometrie die Aehnlich- 
keitslchre ahleiten will, so ist dies ein yoityor Trpörfpor, vor welchem das Stu- 
dium des Ecklid die Missenschaft hätte bewahren können (ygl. Mönius baryc. 
Caloul S. IbO und Brewster Uebersetzung der fllements Leoendhr’s Note II). 

Verliert die Aehnlichkeitslehre ihre lüchtigkeit, so ist die Grössen- 
beziehung von gesetzmässig auseinander constmirten Strecken nicht mehr 
unabhängig von der zu Grunde gelegten Einheit, rcducirt sich also nicht auf 
eine Zahlenheziehung. 

Dieser Fall mit allen seinen paradoxen Forderungen tritt aber ein, wenn 
das EuKMD’sche Postulat der Parallclentheorie nicht mehr gilt, in der Irans - • 
scendentalen Geometrie, wie sie von Gauss (bereits im Jahre 1792, s. Brief- 
wechsel mit SoiiüMACitBR, Bd. II, S. 2G9 und S. 431, Bd. V, S. 47), von Joiiakn 

Bolyai (Tcntamen juventutem stud, in elementa math introduceiidi, Maros 

Vasarhelyini 1832, Bd. I. Appendix) und Lobatschewsky (Geom. Unters, z 
Theorie der Parallollinicn , Berlin 1840) entwickelt worden ist. „In dieser 
Geometrie gibt es gar keine ähnliche Figuren ohne Gleicldieit, z. B. die 
Winkel eines gleichseitigen Dreiecks sind nicht blos von % R, sondern auch 
nach Massgabe der Grösse der Seiten unter sich verschieden und können, 
wenn die .Seite über alle Grenzen wächst, so klein werden, wie mau will. 
Hierin ist aber nichts Widersprechendes, wenn der endliche Mensch sich nicht 
vermisst, etwas Unendliches als etwas Gegebenes und von ihm mit scinAr 
gewohnten Anschauung zu Umspannendes botraefiten zu wollen. — Sie sehen, 
dass hier in der That der Fragepunkt unmittelbar an die Metajihysik streift “ 
(Gacss, Brief von 1831, a. a. 0., Bd. 11, S. 2G9). 



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FÜNFTER ABSCHNITT. 

Die gemeinen imaginären Zahlen. 

t?. 10. 

Formale Theorie der imaginären Zahlen. 

Wurden wir von »len positiven ganzen Zahlen aus, durch Auf- 
lösung lineais'r Gleichungen auf die negativen Zahlen geführt, so 
gelangen wir durch die Absicht, auch die (luadratischen Gleichungen 
in jedem Falle auflösbar zu machen, nicht allein zu den vorstcheuds 
betrachteten irrationalen Zahlen, welche sich intc.rpolirend in die 
Reihe der rationalen einfügen, sondeim noch zu einer neuen Klasse 
qualitativ verschiedener Zeichen: 

Wir bezeichnen nämlich eine Lösung der Gleichung 
X x = — 1 

mit a; = i, so dass 

i { = — 1. 

Dieses i ist jedenfalls gänzlich verechieden von allen reellen Zahlen; 
es ist weiter nichts als ein Zeichen für ein eingebildetes, mentales 
Object, welches man die imaginäre Einheit nennt, dessen eigent- 
liches Wesen .aber in der reinen Theorie ganz unbestimmt bleibt 
und bleiben muss , da wir uns in dieser nur mit seinen formalen 
Verknüpfungen zu beschäftigen haben, deren Gesetze wir uach dem 
Pi-incip der Pennanenz bestimmen werden. Dazu nehmen wir an, 
dass das Product reeller Zahlen und imaginärer Einheiten asso- 
ciativ und commuhitiv sei und das distributive Princip in der Fonu 
{A -P R) i^Ai-^ Bt erfüllt werde^ so dass der Verknüpfung A > 
mit Recht der Name „Product“ zugeschrieben werden kann. Wir 



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68 V. Die gcmeiiicii iuiaginäi-eii Zahlen. 

nehmen weiter an, dass ^ Bi = Bi -\r und definiren die 
Summe durch: 

(^ + /i 0 + {/■ + V t) = (^ + D + (B + J) i 

Dann ist, wie man sehr leicht übersieht, das commutative und 
associative Princip bei der Addition eidullt; denn es ist: 

{{A+B i) + {! ’+..y öH-(/' +Zi) = {U+r) + {B+ J) + (£•+ Zi) 

= [(^ + / •) + E] + [(/{ + J) +_Z] i 

= M 4- r + £) + (/< + -y+ z) I. 

Definirt man das Product durch : 

{A + ß 0 (/’+ Ji) = A r + A Ji + B /'«■+ BAU 
so ist dasselbe ersichtlicher Weise commutativ •, ferner .bat man : 

[{A + ß 0 + + ß' 0] [(/’+-/ i) + (P' + ./ 0] ^ 

[{A -\--A') + (ß + ß') i] [(/• +./•') + U + ./) =“ 

= {A +A') (r+ n + {A +A') (J+J')i+iB + B')il'+r')i-h . 

+ {B + B:){J + J)ii 

= {Ar+AJi+Bri+BJu)+{Ar+AJ'i+BI'’i-\-BAir) 

-\-{A'r+ A'Ji+ ßl'i+ß Ali) 

+ {A' r'-\-A'A'{ + B'l 'i-k-ßJ ii) . 

= {A +B i) (r + Ji) + u + ß i) (r’ +_ J'i) , 

+ {A' + B' i) (r + Ji) + {A'+ B' i){r + J'i) 
und dies ist das distributive Princip. Da nach der Definition 
{{A + Bi) (/’ + Ji)\ [£ Zi] = 

=^[A r +{AJ -)■ Br)i + B Jii][E ^ Zi\ 

= ArE-\-{AJE+BI'E + ArZ)i ^ 

+ (A JZ + B rZ+ BJE)ii+BJZiii, 

und das Product 

[A + Bi][(r+ Ji){E + Zi)] 
dieselbe Entwickelung gibt , so ist auch das associative Princip bei 
der Multiphcation eidullt. 

Wh- werden diese Zahlen (A + 5 f) im Folgenden meistens 
dui’ch die Buchstaben des kleinen lateinischen Alphabetes a, b . . . 
bezeichnen, und sie complexe Zahlen, und zuin Untei-schiede von 



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§. 19. Formale Theorie der imaginären Zahlen gg 

anderen die gemeinen oder gewöhnlichen complexeii Zahlen nennen. 
Ks gelten fnr sie nach unseren formalen Bestimmungen, welclie 
nicht einmal von der Annahme ii= — 1 Gebrauch machen , alle 
Verknüjjfungsgesetze und zwar ausdiückUch auch die commutative 
Multiplication, ebenso wie für reelle Zahlen, nicht aber die Gesetze, 
welche für letztere aus ihrer realen B<‘deutung in der Grossenlehre 
abgeleitet werden können, und welche theilweise, wie z. B. der 
Satz A für coniplexe Zahlen ganz ihren Sinn verlieren.' 

Die für reelle Zahlen erwiesene Eindeutigkeit der Addition findet 
auch hier statt; es ändei-t sich eine Summe, wenn sich das eine 
Glied ändert, während das andere constant bleibt. Demi zwei 
complexe Zahlen sind nur dann einander gleich 
A H- Bi= r-k- Ji, 

wenn A = l\ B = J-, da, wenn dies nicht der Fall wäre, aus; 

{A — r) + {B — J)i=0 

sich i durch reelle Zahlen darstellen Hesse und sein Quadrat nicht 
— l sein könnte. 

Es fragt sich weiter, ob ein Product , 

{A + Bi) (y-+ Ji) = E+ Zi ^ 
verschwinden könne, ohne dass einer seiner Factoren Null wird. 
Aus der leicht zu beweisenden Gleichung 

{A^ -F B^) (/•* + J‘) = fi* + Z^ 
sieht man aber, dass das Verschwinden eines Productes stets das 
eines Factors bedingt, wenn die complexen Zahlen reelle Coeffi- 
cienten haben und die imaginäre Einheit in den Factoren eine und 
dieselbe ist. 

Von fundamentaler Bedeutung für das vorliegende Zahlen- 
system ist offenbar die Beantwortimg der meistens ganz über- 
sehenen Frage, ob und miter welchen Bedingungen das Zeichen i 
überhaupt ein einziges, bestimmtes ist, d. h. ob die > Gleichung 
xx<= — 1 ausser der Wurzel < noch andere haben kann, oder 
^ücht. Es ist zunächst klar, dass, wenn man mit i eine Wurzel 
der Gleichung x x = — 1 bezeichnet, auch x = — i eine Wurzel 
dei'selbeii ist, und daher die Gleichung 

' a: a: -F 1 = (x -f- (a: — <) 

stattrindet. - ' 



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70 



V. Die gemeinen imaginären Zahlen. 



An und für sich steh^aher nichts im Wege, noch andere Zei- 
chen X, H, . . . als Lösungen derselben Gleichung, also y. ■/ = — 1, 

A ü, = • — 1 , ... anzunehmen. Solche Zeichen , welche als neue 
imaginäi’e Einheiten anzusehen wären, erhalten aber ihre formale 
Bedeutung erst dadurch, dass wir die Regeln festsetzen, nach wel- 
chen mit ihnen zu operiren ist. Nehmen wir nun an, dass auch, 
wenn x einem dieser Zeichen gleich ist, das distributive Princip 
zwischen x und / wenigstens so weit gilt, dass 

(x -H t) (x — t) — X X -f- ix — X i — i t 

und dass ferner das commutativo Gesetz .r« = ta: gilt, so dass 
auch-jetzt (x -j- 7) (x — - 0 = a- x -f- 1, so wird man trotzdem noch 
nicht behaupten dürfen , dass x x 1 =0 nur diu’cli x = + 7 
erfüllt sei, wenn man nicht die zui' PeiTnanenz der Gesetze 
arithmetischer Operationen wesentliche Bedingung hinzutügt, dass 
ein Product nicht Null werden könne, ohne dass einer 
seiner Factoren verschwindet. 

Nur wenn alle diese Bedingungen als erfüllt angenommen wer- 
den, kann man die Lösung der Gleichung x x -|- 1 = 0 in jedem 
Falle dui’cli^ius der Zeichen + 7 äusdräcken, und ist das Zeichen 
oder die Zahl 7 in ihrer Beuleutung vollkommen hestiinmt. Wird 
eines dieser Postglate, welche als arbiträre Annahmen er- 
scheinen und eben als solche das gewöhnliche complexe 
Zahlensystem von allen anderen charakteristisch 
unterscheideu, fiillen gelassen, so kann die Gleichung xx = — 1 
mehr Wm'zeln als jene + 7 haben , wie sie denn in der That in der 
Theorie der Quateruioueu , wo alle angegebenen Bedingimgen mit 
Ausnahme der letzten erfüllt sind, unendlich viele Wurzeln besitzt, 
vergl. §. 30 und §. 45. 

Jene Bedingung, dass eiu Product nur vei’schmnden solle, wenn 
einer seiner Factoren Null ist, liefert sogleich den weitei'eu Satz, 
dass ein Product complexer Zahlen sich jedesmal ändert, wenn sich 
einer seiner Factoren ändert; denn jedesmal, wenn b nicht Null und|^ 
ab = a b ist, hat man (« — a) b =(), so dass a — a = 0, 
n = a. Daraus folgt dann weiter die vollkommene Eindeutigkeit 
der Division in dem gemeinen comj)lexen Zahlensysteme, mit Aus- 
nahme der Division durch Ntdl. 



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71 






§. 19. Formale Theorie der imaffinäreu Zahlen. 

Eine Folge dieser Eindeutigkeit i.st weiter das eine fundamen- 
tale Princii) der Algebra, da.ss eine ganze algebraische Function 
f x = X* + a, -H . . . -h a„ 
den Factor {x — xi) besitzt, wenn f xi — 0, und, wenn sie n 
solche Wurzeln hat, die Function nicht für noch 

irgend einen anderen Werth aus dem gemeinen complexen Zahlen- 
systeme verschwinden kann. Denn bringt man sie in die Form: 

f X = {X Xi) . . ,{X Xn) 

so müsste dies Product für x = .t„ + , Null werden, ohne dass einer 
der Factoren Null würde, was der Natur unseres Systemes entgegen 
ist, während in anderen Systemen, z. B. dem der Quaternionen 
'neben den n complexen Wiu'zehi im Allgemeinen nodi andere 
Wurzehi bestehen können. 

Historiaches. Es ist hier nicht derOrt, die allinählige Einführung der 
imaginären Grössen in die Algebra historisch zu verfolgen. In der Mitte des 
16. Jahrhunderts traten sie schon bei den italienischen Algebristen als „un- • 
mögliche“ auf; der erste, der sie als eigentliche Auflösungen ansah, scheint 
Albert Girabd (Invention nouvelle en l’Algöbre, Amsterdam 1629) zu sein. 

Die Ausdrücke „reell“ und „imaginär“ in Bezug auf die Wurzeln einer Glci- 
chui^j kommen zuerst in Descabtks’ „Geometrie“ 1637 vor. Man sehe über 
die ältere Geschichte Klüoels math. Wörterbuch. Art. Algebra. Der Name 
„complexe Zahl“ für Hi und der „Norm“ für (.i*+ H-) ist vouGacss 
in der berühmten Anzeige seiner zweiten Abhandlung über die biquadratischen 
Beste und in dieser selbst, im Jahre 1831 (s. Oacss’ Werke Bd. II) gegeben. 

Der Name des „Moduls“ für + II“ findet sich zuerst bei Ahoasb 1814 
(Gergonue’s Ann Bd. V, S. 2W8). Der Name „rcducirte Form“ für die 
Darstellung A + IS i —.r (cos q + i sin q) ist von Caucuy (Cours d’analyse 
1821) eingeführt. Wir werden den Factor (cos q. + i sin q) häufig den Rich-^ 
tungscoefficienteu nennen. 

Waren die complexen Zahlen auch besonders in Eulbr’« Händen zu einem 
mächtigen analytischen Werkzeug , und in der Algebra unbedingt nothwendig 
geworden , und hatte auch Cauchv schon eine Theorie ihrer Functionen weit 
ausgeführt, so blieben sie doch „noch immer weniger eingebürgert als nur ge- 
duldet, und erschienen also mehr wie ein an* sich inlialtleeres Zeichetispiel, 
dem man ein denkbares Substrat unbedingt abspricht’, ohne doch den reichen 
Tribut, welchen dies Zeichenspiel zuletzt in den Schatz der Verhältnisse der 
reellen Grössen steuert, verschmähen zu wollen“. Gauss hat das grosso Ver- 
dienst, durch seine präcise Darstellung (1331 a a. 0.) und seine gewichtige 
Autorität alle Bedenken gegen ihre Einführung vernichtet zu haben. Was 
aber die imaginäre Einheit eigentlich sei , ob eine mögliche oder unmögliche 
Grösse, eine Zahl, ein au sich nichts bezeichnendes Symbol, ein Affectzeichen, 



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72 ^ - Die gemeinen imaginären Zahlen. 

oder was sonst mit einem Worte, die \}'ahre Metaphysik des Imaginären liegt 
in den meisten Darstellungen bis heute sehr im Argen und eine liegritl's- und 
Sprachverwirrung, wie die S. 14 dargestellte, kehrt nur allzuoft wieder, üs 
ist hier nicht möglich auf die unzähligen ExiMisitionen des Begriffes des Ima- 
ginären einzugehen imd die von mir systematisch durchgeführte Ansicht pole- 
misch zu vertreten; mehr oder minder koinmen ihr viele scheinbar sehr nahe 
Wie bedeutend sich aber meine Darstellung von der gewöhnlichen, der Sache 
nach, unterscheidet, wird schon zur Genüge aus dem einen Umstand ersejien, 
dass eine Untersuchung über die charakteristische Bestimmtheit des com- 
))lexeu Systemes, durch die arbiträre Bedingung, dass ein Bnaluct nur durch 
das Nullwerdeu eines seiner Factoren verschwinden solle, nirgends gefunden 
wird, obgleich ohne sie kein klarer Begriff von seinem M'esen erlangt werden 
kann. Es fehlt eben meistens an einem allgemeinen Gesichtspunkte; erst,' 
ilurch die Behandlung der gewöhnlichen imaginären Zahlen nach denselben 
Brincipien und in Gemeinschaft mit den höheren complexeu Zahlen kann ihre 
wahre Bedeutung in das volle Licht gesetzt werden. 

Die schon S. 17 erwähnte Theorie Sir W. K. Hamilton’s besteht kurz in 
Folgendem: Während sich die gewöhnliche allgemeine Arithmetik mit den 
reellen Zahlen selbst beschäftigt, so kann mau eine .weitere Algebra der 
„couples“ (A, H) aufstellen, deren Verknüpfuugsgcsetze willkührlich gewählt 
werden können, nur mit BUcksicht darauf, dass sie im h'alle ft ~ 0 mit denen 
für {A, U) = A zusammenfallen Man setze 

(A, B) -1- (r, A) -= [A -f r, /{ -f AI 
(A, D) (r, A) = {A r - B A, A I + fl H 

Dann ist 

'(0, 1) (0, 1) = (V- 1, Oy _ 1 

also könnte (0, 1 ) = y — 1 = i zur Abkürzung gesetzt werden, obgleich es 
räthlich erscheint, (0, 1) beizubchalten , da in diesem couple nicht einmal der 
Schein irgend einer Unmöglichkeit vorhanden ist. 

Die Auflösung einer quadratischen Gleichung wird so auf die Ermittelung 
zweier reeller Zahlen, X. V hinauskommen, welche der Gleichung 

(X, + {A, B) (X, y> -h (r, A) = (0, Ü) 

genügen. Daraus folgt 

X» — Y-+ A X — H Y -f U 0 
' 2 X Y Y B X + A = 0 

also z. B. für die Gleichung 

(X,V)»-l- --f (X, V) -F r=0 

speciell ' 

X» — Y« -F ./ X -f r-= 0, 2 X y + ,4 Y = 0. ' 

Ist J A* — r>-0, so nimmt mau den F'aetor V ^ (P aus der zweiten 
Gleichung und löst dann die Gleichung 

X“ -F ^ V A -F r = U 



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§. 19. Historisches. 



73 



in ihre reellen Wurzeln auf. Ist { — /’C 0, so uiinint mau deu anderen 

Factor ‘2 X + . / ^0 und erhält für Y die Gleiebung 



Y - = r - 1 .r-, 

also zur Auflcjsung der ursprünglichen quadratistiieii (ileidiuug im ersten Falle 

-.H- „j 



im zweiten 




- 1 , e 

2 - 2 



Das ist Hamilton's Gesichtspunkt Eff bedarf aber kaum der Bemerkung, 
dass er durch die nothweudige Trennung in einzelne Fälle überall die Allge- 
meinheit der Entwickelung beeinträchtigt, und in’s Besondere die allgemeinen 
Sätze der Fuuctionentheorie , welche wesentlich auf einer unbeschränkten 
Variabilität Einer Veränderlichen beruhen . sich nur widerstrebend dieser 
l’assung unterordnen würden 

Ganz derselbe Vorwurf einer der Sache nicht adäquaten Behandlung trifft 
die in dem „ Memoire sur la theorie des equivaleuces algebriques , subs'tituee ä 
la theorie des imaginaires" (Exercices d’aual. et de phys. math. Bd. 4. 1847. 
S. 87) gegebene allerdings scharfsinnige Theorie Cacchy’s, die er zum Ersätze 
seines früheren Galiniatias fs. S. 14) vorschlug; und die neuerdings von 
Grünert wieder in grösster Ausführlichkeit (s. Archiv d. Math. u. Phj’S. 
Bd. 44. No. 28, 27, Bd. 4ö, No. 29) behandelt worden ist. Er betrachtet in dieser 
nur reelle Grössen; es ist ihm i eine solche und zwar allgemein reelle Ver- 
änderliche. „Aequivalent“' heissen ihm zwei ganze Functionen von t, wenn 
sie durch (i“ -(- 1( getheilt, beide denselben Rest lassen. Dann ist in diesem 
Sinne ; 

- — 7, — l, + — i 



Mau hat, weil 7 reell ist: 



(« + 7) (y -4- d 7) =* n j' + (ß (1 + ß y) i + ß i 7* 

und somit: 

(ß -F /J 7) (y -f d 7) = ß y — ß ß -F (ß'd -F ß y) 7. 



Es werden diese Bemerkungen genügen, um das Wesen dieser Methode in's 
Licht zu setzen, welche neben den schon angeführten wesentlichen Nach- 
theilen noch den besitzt, überall eine Entwickelbarkeit nach Potenzensvon 7 
vorauBzusetzen. » 



20 . 

Die geometrische Addition von Strecken in der Ebene 
und im Kaunie. 

In §. 18 wurden Strecken ausschliesslich in Bezug auf ihre 
absolute; Grösse mit einander verknüj)ft. Ein anderes fiir die 




74 



V, Die gemeinen imaginären Zahlen. 






(ieomotrie äusserst wichtiges System von Operationen erhält man, 
wenn man gleichzeitig Grösse und Richtung verwcrthch und dem zu- 
folge zwei Strecken A E F, allgemein im Raume, dann ulid 
nur dann als gleich betrachtet, w'enn sie gleich lang, parallel 
und gleichgerichtet sind, also A B F E ein Parallelogramm bilden. - 

Was nun die Addition solcher Strecken betrifft, die durch Be- 
wegung eines Pimktes von dem Anfangs- zuiu Endpunkte entstanden 
gedacht werden können, so betrachten wir zunächst die gleich- 
gerichteten Strecken, welche nach dem angegebenen Begriffe der 
Gleichheit sämmtlich auf eine und dieselbe Gerade verlegt und 
in di&ser beliebig verschoben w'crden können. Sind zwei solche 
Strecken AB, E F zu addiren, so wii-d man E F so verschieben, 
da.ss ihr Anlängspunkt mit B zusammenfällt, und E F' = B C 
setzen. Als Summe A B A- B C wird man dann die ganze Sti-ecke 
A (J auzusehen haben. 

Um zwei irgendwie im Raume liegenden Strecken A B, K F 
zu addiren, wird man zunächst E F parallel mit sich so verschieben, 
dass ihr Anfangspunkt nach B kommt, und E F = B C mach«i. 
Uaiiu setzt man (P'ig. 1): 

AB + BC=AC 

und nennt diese Strecke A 6', um sie von der Summe im früheren 
Sinne zu unterscheiden, wohl auch geometrische Summe 
der beiden Strecken AB, BE. Die Summe zweier Seiten 
eines Dreiecks ist sei ne dritte Seite, oder wenn man 



AB A- BG A- CA = ii 

schreibt, die Summe der in einerlei Sinn genommenen drei 
Seiten eines Dreiecks ist Null. 

Dass dieser Additionsbegriff allen formalen Bediugimgen der 
§§. 65 7 genügt, kann leicht gezeigt werden. Zunächst ist 




FiR. 1. 



' a -p Ä = 6 -j- n ; 

denn sei a — AB, h = B C, so ist n -|- /> = /I C’ ; • 
vollendet man das Pai-allelograram, dessen Diago- 
nale A 0 ist, so dass a — D G, b = A D wird, 
so hat man -f- « = /I /I H- C’ =* -1 G. Die 
Addition ist also commutativ. . 



Dass sie associativ ist, geht aus folgender Betrachtung hervor: 



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g. 2 ». ( reotnetrischc Addition von Strecken. 



75 



Es seien die drei Strecken (Fig. 2) so aneinandergefügt, dass sie- 
die Seiten A ü, ß V, (J l) eines Parallolepiiieduni l)ildcii, dann hat 

man a b — A ß ß V = A i! 
mid 

AÜ+ CD = A D 

Ferner ist /> + « = ßC + CD = ß D 
also 

a Aß ß D = AD, 

^*8- Auch ist die Summe durch ihre 

Summanden eindeutig bestimmt und ändert sich, wenn sich eines 
der Glieder ändert, wählend das andere constant bleibt. 




Was die Differenz zweier Strecken (« — h) betrifft, so muss 
ihrer Definition nach (n — />) + ^ = « seiu. Wird nun (Fig. 3) 
b=A Z>, a —A ß gesetzt, so ist die Strecke (« — b) 
so zu bestimmen, dass A Zi -f- (a — b) — A ß\ 
das aber gibt a — b = D ß. 

Die Difl'ereuz zweier Strecken 
Aß — AD = D ß 

ist also die Strecke, welche, wenn man die zu 
snbtraliireude Strecke b mit ihixan Anfangspunkte au den .Anfangs- 
punkt von a bringt, den Eudjmukt ersterer mit dem Endpunkte 
letzterei' verbindet. 




♦ 



Eine sohdie, die Differenz darstellende Strecke existirt stets, 
was auch ihre Glieder seien. Man kann also wie in §. ti jede 
Diflerenz in eine Summe verwandeln, wenn man negative Strecken 
einfiilui. Bemerkt man , dass die Strecke AA — 0, so hat man 
ü — AD = DA »der DA— — AD, zu setzen. Eine einer 
anderen entgegengesetzt gerichtete Strecke ist also die negative 
der ersteren. 

Vermöge der Gleichheit aller parallelen und an Länge gleichen 
Strecken, kann man sie sämmtlicli von einem Punkte (J ausgehend 
denken (Fig. 4) und n = I > A, b = O Ji, . . . setzen, so dass man 
auch die Strecken sich durch diese Endpunkte A , ß, ... vertreten 
denken kann. Man erliält so die Summe O A O ß = O C, 
indem man das Parallelogramm ß 0 A C construirt ; die Diflerenz 



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V Die (femeinen imafcinttren Zahlen. 

0/1 — 0 ß = OJ) aber, indem man OB = b'() 
macht mul das Parallelogramm H'OAD voll- 
endet. 

Dass man unter einer Strecke an, wo a eine 
i-eelle positive oder negative Zahl bedeutet, eine 
solche zu verstehen habe, welche dieselbe oder 
die entgegengesetzte Richtung von a hat, und 
deren ürössenverbältniss zu « durch den ab- 
soluten Werth von a bestimmt wird, liegt auf 

naoligewiesen, dass unser Additionsbegrifl allen forn)alen 
Bedingungen genügt, so muss doch gefragt werden, wie man zu ihm gelange, 
ob es der einzig mögliche oder nur einer unter vielen sei. 

Das Wesen der acti)ellen Addition von einfachen Grössen kann in seinem 
weiteren Begritfe etwa so gefasst werden : Durch die Addition werden zwei Ob- 
jecte, welche durch eiu und dasselbe Element in seinen Veränderungen, seien 
diese nun stetige oder unstetige, erzeugt werden, synthetisch so verbunden, 
dass als Resultat ein neues Object erhalten wird, welches durch eine Ver- 
änderung des erzeugenden Elementes auch direct gebildet werden könnte. 
Sehen wir daher als Grundelement einen Punkt an, der durch seine Bewegung 
eine Strecke erzeugt, so führt uns jener allgemeine Begriflf der actuellen 
Addition sofort zu dem obigen, ln rein mathematischer Weise werden wir 
den obigen Additionsbegrifl' durch Verknüpfung von Punkten in §. 33 er- 
halten. Hier mag es genügen, darauf aufmerksam gemacht zu haben, dsiss 
jene Addition auf einer sehr natürlichen Anschauung beruht und dass sie mehr 
als eine, wie man zuweilen gemeint hat, „abgekürzte Bezeichnung“ ist; man 
müsste denn die ganze reine Mathematik, mit ihrem Calcnl, ihrem Algorithmus 
und ihren Functionen, auch nur als „abgekürzte Bezeichnung“ anseheu. Ist 
Wissenschaft überhaupt im nominaiistischen Sinne eines Conuillac nur eine 
„langue bien faite“, so muss sie doch eben „bien faite“ sein, d h. ihre Begritfe 
müssen angemessen sein und einen realen Hintergrund haben, ohne den sie 
leer und abstrus bleiben. Reine Verknüpfung von Worten, die willkührlich 
gewählt sind, kann niemals Wahrheiten liefern, die sich auf die Dinge selbst 
beziehen. 

Die Frage nach der Angemessenheit und Wahrheit des obigen Addilions- 
- begriflies, dessen formale Richtigkeit durch die Beweisführung des §. ver- 
bürgt ist, interessirt mehr als die reine Geometrie, noch die Mechanik. 
Denn bleiben wir bei der Darstellung der Strecken von einem Punkte O aus. 
stehen, so coincidirt die Addition der Strecken mit dem mechanischen Begriffe 
der Zusammensetzung von Kräften, welche durch jene Strecken als am Punkte O 
augreifende dargestellt werden. Die mechanische Addition von Kräften hat 
ihrem Begriffe nach alle Eigenschaften des formalen Additionsbegrift'es, die 



76 




der Hand. 

Haben wir uuii 



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' -§. 20. Parallelogramm der Kräfte. 



77 



aasociative. comnmtative und die der vollkommenen Eindeutigkeit. Anf diesen 
Eigenschaften und dom Princi^)e der lloniogeueität, d. li. dem Axiom, dass die 
Summe zweier Kräfte eine neue Kraft sei. welrhe sieh mit den gegebenen 
Kräften proportiomil ändert , lienihcn uun alle jene zahllosen Beweise für das 
Parallelogramm der Kräfte, von denen ieh nur den bekanntesten . den von 
PoissoN (Traite de mecauiyue. 1hl. 1, S. fil) hier anftlhre. Alle diese Beweise 
Imheu etwas Unhefriedigtmdcs, aueh wenn sich gegen ihre forniolle Kichtigkeit 
nichts beihringcu lässt, so dass man neuerdings sehr geneigt ist, das Parallelo- 
gramm der Kräfte direct unter die .Vxiome aufzunehmeii. 

Das Hai.sonneniont Poisso.n's kann von jider mcehanischen Vorstellung 
frei gemacht tiiiJ rein als ein Beweis für den Satz hetraehtet »erden . dass es 
mit Annahme der llomogmieität, nur die im Text gelehrte Addition von Strecken 
gibt. Sieht man nun genauer nach, worin das Unbefriedigende seiner Anwen- 
ilung in der Mechanik liegt, so winl man tinden: in der stillschweigend ge- 
machten Voraussetzung, dass mau Kräfte durch Linien darstellen könne — 
einer Hypothese, welche sehr viel Unklares enthält, wenn man Zng- oder 
Druckkräfte und deren statische Verliältuisse im .\uge hat. IhUratditet man 
aber eine Kraft nur, jnsofern sie eine Bewegimg hervorhringt, und misst sie 
ilurch die (Tcschwiiuligkeit , welche sie in einer bestimmten Bichtuiig in der 
/Ceiteinheit der Ma.sseneinheit ertheilt, so kann man ohne Bedenken Kräfte 
durch Innien darstellen. Sieht man feniej Kräfte als gleich an. wenn sic 
einem bewegten Körper an verschiedenen Stellen seiner Bahn gleiche und 
parallele Geschwindigkeiten ertheilen würden, so kann man «lies nach un.sciein 
Begriffe der 'Strecke, in den einen Satz z.nsammenfassen: Kräfte werden durch 
Strecken dargestellt. Unter diesen Voraussetzungen kann man daun aus Jen 
oben angege1)euen formalen Eigenschaften ihrer Addition das Purailelograinm 
der Kräfte allerdings ahleiten — 

Die .Vddition der Strecken ist von den Schriftstellern über die geome- 
trische Darstellung der imaginären Kahlen, zuerst von Aiioami (s. S. S2) ge- 
lehrt, worden, üuahh.ängig davon hat sich Bbll.vvitis (Ami. d. scienze d. 
regiio Lomh. Venet. 1S35. Btl. 3) und JIöBirs tMechanik des Himmels. Leipzig 
18431 ihrer hodient. 



§. 21 . 

Commutative Maltiplication von Strecken einer Ebene. 

Konnten wir die Addition von Strecken sogleich für den nach 
drei Dimensionen ausgedehnten Raum aufstellen, so werden wir 
die Multiplication von Strecken im Raume auf den VII. und IX. Ab- 
schnitt verschieben und zuvörderst nur die der Strecken in einer 
Ebene betrachten, die wir uns der Einfachheit wegen sämmtlich als 
von einem Punkte 0 ausgehend denken. % . . v 






78 



V. Die f^emeinen iniaginären Zahlen. 



Als Definition setzen wir fest , dass die beiden Quotienten der 
nach Länge und Hiditung betrachteten Strecken (Fig. 5) 

2c_of 

Oli ~ OE > 

gleich sind, wenn die Dreiecke 7^06' und EOF 
iihnhch sind, also für die absoluten Längen 

61/7: Ö <7= Ö k-, OF 
und fiii' die Winkel 
^ Z.HOC= EOF. 

Es sei ferner eine Stiecke O IJ, als Modul 
d§r Multijjlication, ein für allemal festgesetzt, deren Producä oder 
Quntient in irgend eine Strecke, dieselbe wieder dai-stellt, so dmss 

OA 




Fig. 5. 



OU 



== tM. 



OA, 



Dann kann mau O A so be.stimmen 

OC OA , OC 

oh oü oh 

wenn nämlich hOC r^ IlOA oder 

ino.f)ü==OÜ-.OA 

^BOC=:^^^UOA ■ : 

Aus jener Gleichung ergibt sich: 

- - 00=0 A. OB 

Als Product zweier Strecken OA.Ofl emdieint daher eine 
neue Sb’ecke OO, so da.ss CO B rv> AO 7/ oder übersichtlicher 



OC:0/J = OA-.ÖU, 00 .011=0 A. OB (1) 

und 

^ UO 0 = ^ UOA + Z UO B (2) 

welche zwei Gleichungen leicht in Worte gefasst werden können, 
wenn man den Winkel UOC die Anomalie der Strecke 0 0 
nennt. 

Das Product zweier Strecken besitzt die Eigenschaft der voll- . 
kommenen Eindeutigkeit. Nur wenn ein Factor OO = 0 ist, ändert 
es seinen Werth U nicht, wenn sich der andgre Factor ändert. Der 
Fall, dass OB, OA in dei’ Gei’aden t> 6/ liegen, eidördert noch eine 
Bemerkung, d;i in ihm das Dreieck AO U imeine länie ^usammen- 



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§. 21. Commutative MultipUcation von Strecken einer Ebene. 79 

klappt. Man hat dann aus (2), Zü 1100 = 0 oder n je nachdem 
0 A, OB gleich oder entgegengesetzt ge.riclitet sind, und die so- 
mit nach der Seite von O (J oder der entgegengesetzten aufzu- 
tragende Strecke 00 wird ihrer liinge nach aus (1) bestimmt. 

Dass das Product commutativ ist, geht unmittelbar aus dem 
Anblick von (1), (2) hen’or. Es ist ferner: 

(OA.OB)OD = OO.OJ) = OE 

wenn 

(T(j.ou=(r7i. (TB, 'oö.ÖD = (Je . oii 
^1100=^00 A -HZ UOB,Z. UOE=ZrüO + ^^UOJ> ♦ 
also ; OE . UT:* = ÖÄ. OB . (77) 

z UO E = ^UOA ^iUOli + ^ UOl) 
woraus die Associativitilt jenes Productes sofort hervoi geht. 

Man setze (Fig. G) 




oder , Z UO D’ = Z UO l ' 0 1) 

Hieraus folgt O D' = 0 0.0 D oder zufolge der Hedeutimg von 
O ü, OIX das distributive Princip: 

OA. O 0 A- OB. O 0 = ((> AA- OB) 00 

Es troton hier wieder äiinliclie Kragen wie am Seidusse des vorigen §. 
auf: Zur Definition des Quotienten gelangt man 'durch die Bemerkung, dass 
jede lytische Verknüpfung zweier Objecto ihre gegenseitige Relation darstellt. 
So war OA — O H = B A die B und A verbindende Strecke (arithmetisches 
Verhältniss der Alten) und unter OA-.OB wird mau (entsprechend dem geo- 
metrischen Verhältnisse) ihre Beziehung verstehen, soweit sie durch den geo- 
metrischen Charakter des Doppelschenkels A O B bedingt wird Dieser findet 



1 



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80 



V. Die gemeinen imaginären Zalilen. 



\ 

aber Reinen Ausdruck in dem Verhältniss der beiden Schenkeilängen und dem 
vou ihnen gebildeten Winkel, . 

Will man den obigen Begrifi' des l’rodiictes zweier Strecken einem allge- 
meineren subsumiren, so wird man sagen können; Unter dem Broducte zweier 
Objecte versteht man ein neues Object, welches sich zu dem einen Factor ver- 
hält, wie der andere Factor zum Modul (der Einheit) der Multiplication ; oder: 
das Pro<luct entsteht aus dem einen Factor gerade so, vrie dieser aus der Ein- 
heit der Operation. 

Die actuelle Multiplication erscheint in der Lehre von den einfachen 
Grössen eigentlich nur als eine wiederholte Addition ; als solche kann die hier 
auseinandergesetzte Productenhildung auf keüie M'eise angesehen werden. 
Vielmehr bedarf jenet; Begriff actucller Multiplication zuvor einer Erweiterung 
etwa in der soeben gegebenen Weise; diese ist aber keineswegs die einzig 
mögliche; denn es kann bei dieser Erweiterung der Accent auch darauf ge- 
legt werden, dass ein Proiluct von Objecten (Strecken) der Complex von Ob- 
jecten (Strecken) sein soll, welche entstehen, wenn der eine Factor von sämmt- 
lichen Elementen (Punkten) des anderen Factors (der anderen Strecke) stetig 
erzeugt wird. So erhält man, indem man nur die absolute Grösse der Strecken 
Ijcrücksichtigt, das EuKun’sche Product, und, wenu auch deren llichtung 
gleichzeitig beachtet wird, eine incommutative Multiplication, die wir in §. 36 
vortragen werden. 

§• 22 . 

Darstellung der gemeinen coiiiplexen Zahlen in 
\ einer Ebene. 

Wir haben in den letzten §§. ein Operationssystem in Bezug 
auf Strecken einer Ebene kennen gelernt, welches vollständig die- 
jenigen Eigenschaften aufweist, welche die Zahlen {A Bi) des 
§.19 besassen. Es werden daher letztere als Repräsentanten von 
Strecken anzuseheu sein, welche von dem Punkte 0, dem Null- 
punkte ausgehen. Die Strecke O U vertritt die Stelle der numerif 
sehen Einheit, da eine Multiplication mit derselben nichts an einer 
Strecke ändert; die Einheit < wmd vermöge ihrer Definition 

-j- 1 : i = i : — 1 

als geometrische mittlere Proportionale zwischen -f- 1 und — 1 er- 
scheinen und nach (1 *) in §. 21 eine Strecke von der absoluten Längen'- 
einheit, senkrecht auf der Strecke 0 U bedeuten. Es leuchtet ein, dass 
es an und für sich gänzlich unbestimmt bleiben muss, welche der 
beiden auf O II senkiechten Geraden man als -|- / anzmiehnien hat. 



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§. 22. Gemeine complexe Zahlen in der Ebene. 



84 



A-Bi 



Ist aber einmal die eine' derselben O J als + i angenommen , so 
ist die entgegengesetzte die — l Man nennt die Gerade 0 U die 

reelle Axe, tbe OJ die imaginäre 
Axe und nimm^eide positiv in die- 
sem Sinne (Pig."; alle positiven und 
negativen reellen Zahlen finden auf 
jener ersten, alle.rein imaginären auf 
der letzteren ihie Darstellung. Eine 
von 0 ausgehende Strecke erscheint 
dann als die Diagonale eines Recht- 
eckes, dessen Seiten /i, li t sind, und 
in (A -F vereinigt, die der Strecke 
entsprechende Zalil geben. Jeder 
Strecke entspricht daher, wie dies 
zu einer adäquaten Repräsentation eines Zahlensysteines nothwendig 
ist, nur eine einzige complexe Zahl, und jeder solchen nur eine 
einzige Strecke. 




Fig. 



Es bedarf kaum der Bemerkung, dass man die complexen 
Zahlen auch als Repräsentanteu der Endpunkte der Strecken 
ansehen kann, wodurch man dann in jenen eine systematische 
Nomenclatur fiir alle Punkte einer nach zwei Dimensionen ausge- 
dehnten Ebene besitzt. 



In ■ wiefern diese Beziehung des t'Omplexen Zahlengcbictes zu einem 
geometrischen Gebilde als Beweis der Möglichkeit des crstcren angesehen 
werden kann, ist schon S. 7 auseinandergesetzt worden. Nach unserer Auf- 
fassung ist die geometrische Repräsentation ein dem formalen Schema des 
gemeineu complexen Zalilensystems, zwar dem Begriffe nach nicht unbedingt 
wesentliches , aber doch vollkommen adäquates Phänomen im Raume , in der 
Anschauungsform des zusammenfasseuden Denkens, welche sich mit psycho- 
logischer Nothwendigkeit allen unseren abstracten Vorstellungen als concreles 
Abbild beigesellt. Das stetige Nebeneinander in seinem widerspruchsvollen 
oder mindestens unklaren Begriffe bojarf zu seiner Behandlung nothwendig 
der räumlichen Anschauuag, und so hat sich auch der Begründer der 
Theorie der Functionen complexer Veränderlichen in ihrer abstractesten Form, 
Rieuann, nicht gescheut, von der geometrischen Repräsentation complexer 
Variabeier nicht nur einen beiläufigen, sondern durchgehenden und wesent- 
lichen Gebrauch zu machen. 



Historisches Schon Wallis (Algebca, Opera math Bd. II, 169d. Cap. 
t>6— 69) bemerkte bei der algebraischen Lösung von geometrischen Pixiblemeu 

H A u k e 1 , oomplexe Zahlen. 6 



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V. Die gemeinen imaginären Zahlen. 



S2 

(len merkwürdigen Umstand, dass-, während diefle unter gewissen Grösseuver- 
hältnissen auf reelle Punkte einer Geraden führten, unter anderen Verhält- 
nissen, in welchen sie im eigentlichen Sinne unmöglich waren, an Stelle jener 
Punkte andere, ausserhalh der Geraden gelegene traten, welche das Problem 
in einem einigennassemveränderten Sinne lösten, und dass dabei die reellen 
Grössen auf einer, die wiagiuären auf einer dagegen senkrechten Geraden dar- 
gestellt werden 'müssten. Die imaginäre Grösse ist ihm „die mittlere Pro- 
portionale zwischen einer positiven und negativen Grösse.“ Später wurde etwas 
ähnliches von llKiNKrt n Kühn (Kovi comm. acad. Petropolitanae , Tom III 
1753. S. 170) benlerkt; doch hält es schwer, den eigentlichen Inhalt der 63 
Seiten langen Ahhandlung zu enträthseln. Ein anderer ungenannter Autor 
(s. Miscell. Taurinensia. 1759. Tom. I, S. 122), sowie „ein bescheidener Ge- 
lehrter“ Henri Dominique Truel (s. Cauchy, Exercices d'Analyse et de pbys. 
math. Bd. 4, S. 157) stellte seit dem Jahre l7Sti die imaginären Grössen auf 
einer zu der reellen senkreciiteu Geraden dar. Einen höheren Standpunkt 
als seine Vorgänger nimmt auch Buf:E in seinem Memoire sur les quantitös 
imaginaires (Phil. Trans, für 1800, S. 23 — 88) nicht ein. 

Der erste, welcher die Darstellung der imaginären Zahlen durch 

Punkte einer Ebene und die entsprechende geometrische Addition und Multi- 
jilication lehrte, war Aroand, der sie im Jahre 1806 in einer besonderen Schrift 
„Essai sur une maniere de representer les quaiititiis imaginaires, dans les con- 
structions gdonnitriques“ (Paris) aufstellte, die indess erst durch einen Aufsatz 
von J. F. l’R.vNg.vis (Geroonne’s .\nnalen, Bd. 4, 1813 — 14, S. 61) und einen 
dadurch veranlassten Argand’s (a. a. O. S. 133, sowie einen zweiten, Bd. V, 
S. 197) zur allgemeineren Kenntuiss kam. In diesen Aufsätzen ist die ganze 
Theorie so vollständig abgehandelt, dass später etwas wesentlich Neues nicht 
hat gesagt werden können, und wenn sich nicht noch eine Abhandlung früheren 
Datums beibringen lässt, so ist Abgand der wahre Begründer der Dar- 
stellung des Complexen in der Ebene. 

Selbst in Frankreich aber scheint dieselbe trotz ihrer Publication in einem 
allgemein verbreiteten Journal nicht genügend bekannt geworden zu sein. 
Denn 1828 trat C. V. Mouret wieder mit derselben hervor (La vraie thiiorie 
des quantit(is negatives et des quantitös prötendues imaginaires, Paris; im Jatre 
1861 ist eine zweite Ausgabe daselbst erschienen) und in England John 
Wabren (Treatise on the Geometrical Representation of the Square Rtxrts of 
Negative Quantities, Cambridge 1828, sowie in zwei Abhandlungen der Philo- 
sophical Transactions für 1829 S. 241 und S. 339). 

Bekanntlich hat Gauss 1831 (s. Werke Bd. II, S. 174) dieselbe Idee ent- 
wickelt. So gross auch sein Verdienst insofern ist, als sie dadurch zum Ge- 
nicingute aller Mathematiker wurde, so kommt ihm doch eine Priorität in keiner 
Weise zu. 

Seitdem ist der Giigenstand vielfach behandelt worden in einer Art und 
Weise, welche sich von der hier im Texte gegebenen fast überall wesentlich 
unterscheidet durch den Mangel unseres allgemeinen Principes, wonach. 



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§. 23. Die imaginären Zahlen in der Geometrie. 



83 



um die complexen Zahlen durch Punkte einer Ebene repräsentiren zu 
dürfen, nichts weiter nöthig ist, als die formale Ucbcreinstimmung der Ope- 
rationsregeln herzustellen. Aendern sich die Operationsregeln, so muss man 
die Punkte der Ebene durch andere, diesen Regeln entsprechend gebildete 
Zahlen bezeichnen. 

Es wird genügen, unter den zahllosen Abhandlungen über das Imaginäre 
diejenigen von den mir bekannten hen’orzuheben, welche entweder durch neue 
Gesichtspunkte oder die Gründlichkeit , mit welcher sie die Frage angegriffen 
haben, irgendwie ausgejseichnet sind. 

Dbobiscii, Ueber die geom. Construction der imag. Grössen (in den Ber. 
der Kön. Sächs. Ges. d. Wjss. Bd. II. für 1848. Leipzig. S. 171). Schefflee, 
Ueber d. Verhältniss d. Aritb. zur Geom., in’s Bes. über d. geom. Bedeutung 
d. imag. Zahlen. Braunscliweig 184ü. VALths, fitudes philosophiques sur la 
Science du calcul. Paris 1841 (enthält eine gründliche Behandlung des Be- 
griffes der Zahlen und Grössen, sowie ihrer Operationen) ; Faurk, Essai sur 
la th^rie et l’interpretation des quantitös dites imaginaires. Paris 1845 (ein 
sehr unbedeutendes Werk, das hier nur erwähnt werden musste, weil man sich 
in Frankreich häutig auf dasselbe beruft); Caucht, Memoire sim les quantites 
göometriques (in den Exercic.es d’analyse et de phys. math. Bd. IV, 1847); 
Pbacock (III Report of the soc. for the advancement of Science. 1833. S. 185). 

§. 23. 

•) 

Anwendung der imaginären Zahlen in der Geometrie. 

Besitzt man in den complexen Zahlen ein System von Zeichdli 
für die Punkte einer Ebene, so wird man dass^be zur Unter- 
suchung von Beziehungen der Punkte einer Ebene zu einander 
mit demselben Vortheil anwenden können, den die Darstellung der 
Pmikte einer Geraden durch die von ein^ Anfangspunkte aus- 
gehenden Abscissen in reellen Zahlen gewanrt. Nur uneigentlich 
wird man dies als eine Anwendung der Arithmetik auf die Geo- 
metrie bezeichnen dürfen; denn beide Gebiete fallen hier wesentlich 
in eines zusammen. 

Man wird am einfachsten von der Vorstellung ausgehen, nach 
welcher jede complexe Zahl einen Punkt A oder die Strecke 0 A 
repräsentirt. Dann ist 

AB = OB—OA 

I 

die AJ? verbindende Strecke, welche man entweder als A B oder 
parallel und gleich derselben als OC (Fig. 8) darstellen könnte. 
Den speciellen Ort einer Strecke kann man bei dieser Auffassung 

6 * 



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84 



V. Die gemeinen imaginären Zahlen. 



durch die complexe Zahl, welche sie repräsentlrt, nicht ausdrücken. 
Sätze wie 

FG + GH+IIF=i) 
stellen sich dann in der Form von Iden- 
tität dar: 

{OG — OF) + {OIl—OG)-\-{OF—OIl ) =ü 
Es leuchtet ein, dass jede Strecke 
AB — Alt {cos (j-, AB) i sin (x, A i^)} - 

gesetzt werden kann, wenn AB die abso- 
^'*5- lute Länge, den Modul der Strecke, {x, A B) 

aber ihren Winkel mit der reellen x Axe, ihre Anomalie bezeichnet. 
Aus FG + G H -{■ II F= U erhält man dann durch Zerlegung: 

FG (x, FG) + (7/7 (x, G TI) + {x, HF) = 0 

sin ' ’ ' ' sm ' ’ ' ' sin ’ ' 

in welchen Gleichungen die ganze Trigonometrie und Goniometrie 

einbegriffen ist. 

Jede Identität zwischen den die Punkte einer Geraden ver- 
bindenden Strecken findet ohne weiteres zwischen den entsprechen- 
den Strecken , welche Punkte in einer Ebene verbinden , statt. So 
Imt man zwischen 4 Punkten die Identität: * 

A*B.üO + BC.DA CA.DB = {) 
deren Vergleichung mit G H -j- HF '4- FG = 0 sofort lehrt, dass 
man stets 3 Punkte FG //finden kann, so dass: 

GH= AB.D(%HF= BC.DA, FG GA D B 
Dies wird in Worten so ausgedrückt: 

Zu jedem Viei-cck A BOT) gibt es ein entsprechendes Dreieck 
G HF, dessen Seiten: 

' GII = ÄB /DG, JH' ==liV .DA, 1^ ^(JÄ 
und dessen Winkel sich aus 

. {x, G H) = (a-, AB)-^ (x, D C)\ 

(x, HF) = (x, BG) + (x, DA)\ 

(x, F G) = (x, GA) -h (x, DB)\ 
ergeben; nämlich es ist: 





§. 23. Die imaginären Zahlen in der (ieoinetrie. 



85 



# 



(x, HF)— (x, G //) = (x, BU) — (X, A B) + (x, DA) — (x, D Ü) 
oder 

{G 11, x) + (x, II F) = (A B, x) + (x, B C) + {D C, x) + (x, yj) 
also ((; //, 7/^F) = (yl 5, 6') + (77 C, D A) 

Entsprechend der Bedeutung der Strecken in Bezug auf Längen 
und Richtung wird man jetzt auch den* Begriff des Doppel- 
schnittverhältnisses 

AC AD 
CR ' DB 

auf Strecken in einer Ebene erweitern können, und findet den 
Modulus desselben gleich dem Doppelverhältniss der absoluten 
Strecken , .«eine Anomalie der Differenz der Winkel gleich, unter 
denen die getheilte Strecke A B von den Theilpunkten C und D 
aus gesehen, erscheint. 

Unter vier harmonischen Punkten einer Ebene wird man 
solche verstehen, deren complexes Dopjjelverhältniss 

• AJl 

CH' DB 

Man kann solche geometrisch construiren, indem man von 
einem Punkte F der Ebene Tangenten FA, FB an einen Kreis und 
(|urch F eine Secante legt welche den Kreis in V, D schneidet. 

Die Involution dreier Paare A, A'; B, B'-, C, (J von 
Punkten einer Geraden wird dmch 

AC BÄ CB . 

CB ÄC BÄ ^ 

dargestellt; dieselbe Gleichung kann als Definition der involuto- 
rischen Lage von Punkten einer Ebene angesehen Werden. Es liegen 
daher die 6 Ecken eines Sechsecks A (J B Ä C B in Involution, 
wenn das Product der Seiten gerader Oidnung denen ungerader 
Ordnung gleich und die Summe der Winkel gerader Ordnung denen 
ungerader Ordnung gleich ist 

Die zahlreichen verschiedenen Formen, in denen die involu' 
torische Beziehung zwischen den Punkten einer Geraden dargestellt 
werden kann, geben sofort entsprechende Formen für Punkte 
einer Ebene. 



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V. Die gemeinen imaginären Zahlen. 



HG 

Die Ausführung vorstehender Gedanken verdankt man Möbius (b. Berichte 
d. Kön. Sächs. Ges. d. Wiss. z. Leipzig. Math.-phys. 01. 18i>2, S. 41; 1853, 
S. 14 und S. 176; 1855, S. 33 und S. 123), auf dessen schöne Abhandlungen, 
sowie auf die zusammenfassende Darstellung derselben in 'Witzschbl’s 
Grundlin. d. neueren Geoiu. 1858, hier zu verweisen genügen mag. 

Auf die sonstige Verwendung des Imaginären in der analytischen und syn- 
thetischen Geometrie, die Theorie der idealen Secanten Poncblet’s, die wirk- 
liche Coustniction der i^)aginärcn Durchschuittspupkte zweier Kreise, die 
Darstellung von Curven, deren variabeler Punkt durch eine von einer reellen 
Veränderlichen abhängige complexe Function dargestcllt wird, sowie die 
Theorie der geometrischen Verwandtschaft zweier Ebenen und ebenen Figuren 
und die Abbildung von Ebenen aufeinander, kann erst im zweiten Theile dieses 
Werkes, in der Theorie der Functionen eingegangen werden. 

§.24. 

Die Functionen complexer Zahlen. 

Wir iiabcii die cumplexeii Zalden (A -t* Hi) bisher ausschliess- 
lich in den Verbindungen betrachtet, welche die 4 Species hefern. 
Es gibt noch andere Verknüpfungen derselben, welche hölpre 
Rechnungsoperationen verlangen, z. B. solche von der Form 

{A -h 

welche vollkommen zulässig sind, sobald man nur die Regeln fesU 
gesetzt hat, nach welchen, mit ihnen zu rechnen ist Man sieht 
aber, dass es nothwendig ist, ausdrücklich in jedem Falle nachzu- 
weisen, dass eine Verknüpfung complexer Zahlen wieder auf eine 
solche führt. Mit anderen Worten: Eine Verknüpfung der vor- 
stehenden Form enthält ein Problem, nämlich diejenige Zahl 

E Z, i = J {A ß i, l' J i) 

zu finden, welche den Rechnungsregeln genügt, durch die man die 
im zweiten Gliede der Gleichung stehende Verbindung charakte- 
risirt. Entweder hat ein solches Problem eine Lösung, die explicite 
angegeben oder deren Existenz wenigstens demonstrirt werden 
kann, oder aber es hat keine Lösung. Die Unmöghehkeit im letz- 
teren P’alle ist jedoch nur eine relativ» und aus der Beschränkung 
der Aufgabe hervorgehende; sie kann beseitigt werden durch Ein- 
führung neuer complexer Zahlen höherer Ordnung, deren Rechnungs- 



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§. 25 I. Methcxle zum Beweise dos Fuudaniciitalsatzcs der Algebra. 87 

regeln eben aus denen der betreffenden Verbindung abgeleitet wer- 
den müssen. 

Jene Aufgabe, die gewissen gesetzmässigen Verbindungen von 
Zahlen entsprechenden Com]dexe zu finden, deren Möglichkeit oder 
Unmöglichkeit in dem betieffenden Gebiete naehzuweisen, hat die 
Functionentheorie zu lösen, und ist im 2. Theilc dieses Werkes zu 
behandeln. 

Hier bleibt uns nur die Lösung einer 'Aufgabe der Art übrig, 
weldie die allgemeinste unter denen ist, in welchen die Unbekannte 
mit den bekannten Zidden durch eine endliche Anzald von Addi- 
tionen und Multiplicationeu verbunden ist. Diese fundamentale 
Au^fgabe der Algebra ist die, naelizuweisen, dass die Gleichung 
fx = a;" -f- ai u;"-' = 0 

wo «I , . . . «„ (gewöhnliche) comple.xe Zahlen bezeichnen, jederzeit 
durch n (gewöhnliche) complexe Werthe von x befriedigt wer- 
den kann. 

Schon aufs. 71 ist gezeigt, dass eine solche Gleichung jeden- 
falls nicht mehr als n Wurzeln besitzt; dass sie aber wirklich n Wur- 
zeln hat, wobei wir den Fall der gleichen Wurzeln in bekannter 
Weise einschliessen, ist seit Mitte des vorigen Jahrhunderts nach 
sehr verschiedenen Metliodon zu beweisen vei’suclit worden. Sie 
alle aber lassen sich unter drei wesentliche Gcsichtsijuukte bringen. 
« 

§• 25. 

Erste Methode zum Beweise des Fiindauieutalsatzes 
der Algebra. 

Als die erste Methode bezeichne ich die von G.vuss; wonach 
man den gesammten Umfang derjenigen Werthe untersucht, welche 
f X annimmt, wenn x alle complexen Werthe durchläuft, und 
nachweist, dass in jenem auch der Werth fx = 0 eiugeschlosseu 
ist. Mau setze: 

X = r (cos qi i .sin ip) 
flj = rj (cos <pi -|- i sin ^,) 

«2 = cj (cos (fi -|- <’ sin f/ijj) 

, .... • 

und fx = u + V i 



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■ H8 



V. Die gemeinen imaginären Zahlen. ' 



also: 

M=r"coSMg)-l-r*“'rj cos(n— ly +</'i)-l- r"“*rgCOs(«— 2<jp +yi)+-. 
ü = r" sinjiy + »j sin(n — 1 y ”t"yi) + 8in(«— 2y +ys)+—i 

so kann man zeigen, dass es einen Werth für r von solcher 
Grösse gibt, dass ausserhalb des durch diesen Modul bestimmten 
Kreises keinenfalls eine Wurzel der Gleichung /‘x = 0 liegen, also 
II und V gleichzeitig verschwinden kann. 

Es kann nämlich nach einem bekannten Satze r stets so gross 
gemacht werden, dass das erste Glied in u und v gegen alle anderen 

unendlich gross ist, sobald nicht sein Factor 71 y unendlich klein 

wird. Da aber cos h y und sin n y niemals gleichzeitig verschwin- 
den köimeii, so wird für jedes y und ein unendlich grosses r immer 
wenigstens einer dieser Ausdrücke von: der «ten Ordnung imend- 
hch gross sein. Ist cos wy nicht = 0, so hat u das Zeichen mit 
cosny gemeinschafthch , ebenso v mit sin ny, wenn dieser Sinus 
nicht verschwindet. , 



Für ein unendlich grosses r werden auch die Derivirten: 

^ = — «r" sin ft y — (ft — 1) r"~‘ r, sin (« — 1 y + yj — . . . 

^ = -h n >■“ cos n y -|- (»? — 1) /■"”' r, cos(« — 1 y -h yO + . . . 

von der ftten Ordmmg miendlicli und von demselben Zeichen, als 
bezüglich — sin «y, cos «y, wenn diese Functionen nicht ver- 
schwinden. 



Betrachten wir nun den Verlauf von u und v, wenn y (fie 
Werthe von O bis 2 auf einem Kreise mit dem unendhch grossen 
Radius r durchläuft. 

In dem Theile von — bis -J- ist cos “ 



und 



d V 
d (f 



immer positiv , es wächkt also c in demselben fortwährend 



und da für y = + ^, 0 dasselbe Zeichen als sin hat, so 



wächst»es stetig von einem negativen zu einem positiven Werthe 
geht also inzwischen einmal durch Null hindurch. 




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§. 2ä I. Methode zum Beweise des Fundameiitalsatzes der Algebra. 89 



In dem Intervalle von 



In 



bis ist sin n q> 



>Vl 



r , also 



stets positiv und - stets negativ; es nimmt also u fortwährend ab 



von einem positiven Werthe, den es für den Anfängswerth aiinimmt, 
bis zu dem negativen für den Endwerth, und geht also einmal, in b\ 
durch Null hindurch. 

Die Resultate dieser weiter fortgesetzten Untersuchung sind 
in folgender leicht verständlichen Tabelle verzeichnet: 





Intervall: 




u 


V 


1) 


TT 

4n ' * 


+ 

^ 4» 




+ 


— + 


i?') 


+ - . 
^ 4n • • 


'6ti 

in 




i\- 




3), 


4ft 


. Ö/l 
4u 




— 


+ - 


4) 


4» * ’ ' 


7/1 

4n 


— 


Ui -H 


— 


5) 


Its 

4n 


9/1 
4 h 




+ 


- H- 


6) 


4n * ’ 


lU 

4n 


+ 


Ui- 


+ 



wo mit f/, , Ui, ... Ui„ diejenigen Punkte bezeichnet sind, in denen 
H vei’schwiüdet. 

Da sich u mit x stetig ändert, so bilden die Punkte der Ebenpn, 
in welchen ii positiv ist, zusammenhängende Flächenstücke, welche 
durch ununterbrochene Linien tt== 0 von den Flächenstücken getrennt 
sind, in denen u einen negativen Werth anuimmt. Diese Trennungs- 
linien schneiden den von uns betrachteten Kreis in den 2n Punkten 
U, und verlaufen ausserhalb desselben nothwendig in demselben 



Winkel , in welchem der betreffende Durchschnittspuiikt mit dem 

Kreise liegt. Innerhalb des Kreises aber findet dies im Allgemeinen 
nicht, statt. 



In ’ Bezug auf die Gestalt der Ilächenstärke innerhalb des 
Kreises können nun folgende wesentlichen Fälle einti-eten : 

1 ) Ein Flächenstück endigt isolirt innerhalb der Kreisfläche', 
so dass'seine Begrenzung aus zwei Stücken, einem Theile der 






Qigilized by CoogLe 




90 gemeinen imaginären Zahlen. 

KreisjKjriphcrio und einer anderen Curve besteht. In Fig. 9 ist eine 
Gleicliuug 5ten Giiules zu Grande gelegt, und für diese die Keihe 
der Curven gezeichnet, in denen ?/ = 0 ist. Es sind in die- 
sem Falle die Fliiehenstücke, 
deren resp. Degrenziuig von 
Uio über X^ nach U^-, von 

Vi über A', nacli von 

^4 über A’jj nacli von 

f 6 über A 3 nach (fi\ von 

über A'j nach f/,u geht 

und zwar sind die, innerhalb 
deren « jiositiv ist, durch 
Schraffirung vor den anderen 
ausgezeichnet. 

2 ) Das Flächenstück dui ch- 
setzt die Fläche deigestalt, 
dass es mit einem an einer 
anderen Stelle eintretenden 
eine zusammenhängende Fläche bildet. Dann besteht seine Be- 
grenzung aus zwei Stücken der Kreisperipherie und zwei da- 
zwischen liegenden Gurven. In diesem Falle befindet sich in unsei-er 
Figur das P’lächenstück Aq Ug A', Ug. 

3) Das Flächenstück spaltet sich im inneren Kreisraume ein- 
mal oder meliremale dergestalt, dass es mit noch zweien oder 
mehreren an ander 6 n Stellen eintretenden eine zusammenhängende 
Fläche bildet, deren ganze Begrenzung dann aus (5, 8 oder mehreren 
Stücken in gerader Zahl bestehen wird, die abwechselnd der Krais- 
linie und dem inneren Baume angehöreu. In unserer Figur ist in 
diesem Falle das Flächeustück Uz L\ A, U^ A's U-, L\ A’o Ug. 

Dies sind alle Palle, welche in Bezug auf das Zusammentreffen 
der von aussen in den inneren Kreisraum, eindringeuden P'lächen- 
stücke statthaben können, und wir können daher hier ganz von 
etwaigen inselartig in dem Kreisraume vorhandenen Flächenstücken 
(die es übrigens vermöge der Natur von « nicht geben kann) ab- 
sehen. 

Fassen wir ins Besondere die P’lächenstücke, innerhalb deren 
« positiv ist, in’s Auge, so besteht deren Begrenzung, wie obige 




Fig. 9. 



by Googp 



§.25. 1. Methode zum Beweise des Fundamentalsatzes der Algebra. 91 

• 

Hemerkungen ^zeigen, jederzeit aus einer geraden Anzahl von 
Stücken, un<i*es wechseln in ihr Stücke der Krcispoiipherie mit 
Curven ab, welche im inneren Kreisraiime liegen. Umlaufen wir 
die Begrenzung im positiven Sinne, d. h. so, dass die Fläche stets 
zur Linken liegt, wenn dabei die allgemein gel)räuchliche Lage, 
nach welcher man beim Durchlaufen der ])ositiveu reellen Axe in 
positivem Sinne, die positive imaginäre Axe zur Linken lässt, an- 
genommen wird, so ist nach dem, was über das Zeichen von u in 
obiger Tabelle enthalten ist, klar, dass die Begrenzung in einem 
Punkte U mit genulem Index beginnt und zunächst auf der Kreis- 
peripherie nach dem nächsten Pimkte mit ungeratlem Index geht! 
die von da ausgehende Begrenzungscurve läuft dann durch die 
Kreisfläche hindurch zu einem Punkte mit geradem Index. Dann 
sind wir entweder (1. Fall) wieder zu dem Ausgangspunkte zurück- 
gekehrt und hal)en das betreflende Flächenstück vollständig um- 
laufen, oder aber, wir müssen noch weiter zum nächsten Punkte U 
mit ungeradem Index übergehen, indem wir auf der Kreisperipherie 
in positivem Sinne fortschreiten. Von "diesem aus haben wir wieder 
durch die innere Kreisfläche zu einem Punkte mit geradem Index 
zu laufen, der entweder (2. Fall) der Ausgangspunkt ist, oder 
(3. Fall) von ihm verschieden, wo wir dann in ähnlicher Weise 
unseren Weg fortzusetzen haben, um schliesslich das ganze Flächen- 
stück mit positivem n zu umlaufen. 

Denken wir uns nun alle positiven Flächenstücke in dieser 
Weise umlaufen, so liaben wir dabei jeden der 2 » Punkte kein- 
mal getroffen und sind jedesmal diu’ch den inneren Kreisiaum von 
einem Punkte mit ungeradem Index zu einem mit geradem Index 
gelangt, indem wir dabei n Curven durchlaufen haben, welche einen 
vollständigen Zusammenhang ihrer Thcile zeigen (ohne dass sie 
jedoch im gewöhnlichen Sinne der analytischen Geometrie stetig 
zu sein brauchen, wie z. B. »lie von 69 über A', nach laufende 
Curve zeigt, welche in A’i zwei, einen endlichen Winkel mit einander 
bildende Tangenten hat; die im eminenten Sinne stetige Fort- 
setzung des Zweiges L# A', der hyperbolischen Curve würde da- 
gegen zu Ux fuhren). Während wir diese n Grenzeurven m = 0 der 
Flächenstücke von Punkten V mit ungeradem Index zu solchen mit 
geradem Index duichlaufen, ändert sich v stetig; da es aber in 



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92 



V. Die gemeinen imaginären Zahlen. 



jenen Punkten positiv, in letzteren negativ ist, so muss v inzwischen 
mindestens einmal durch Null hindurchgegangen sein^ und es liegt 
dalier auf jeder der n Curven « = Ü ein Punkt, in dem zugleich 
u und V verschwinden, also eine Wurzel unserer Gleichung. In der 
Tliat sind Wq A", A '3 solclie Punkte, welehe die Wurzeln einer 

Gleichung 5ten Grades repräsentiren. , 

Es ist dabei der Fall nicht ausgeschlossen, dass die Curven 
in gewissen Punkten (in Fig. 9 in A',) zusammentrefien, in denen 
daher Flächenräume mit positivem u aneinanderstossen, ohne aber 
stetig, d. h. durch einen Flächenstreifen von endlicher Breite zu- , 
sammenzuhängen. Diese Coincidenzponkte können nun diejenigen 
sein, in denen zugleich v = 0 ist, also eine Wurzel der Gleichung 
liegt, welche in diesem Falle zwei oder mehrere gleiche Wurzeln hat. 

Um genauer zu untersuclien , wie sich di*e Verhältnisse in 
einem beliebigen Punkte gestalten können, so stelle man /x als 
Function von {x — x-i) dar; dann liat man im Allgemeinen: 

fx = Ä'o -H km {X XiT {1 -F fCm + l {x — xi)+.. .j 

wo ko —fxi und ot eine positive ganze Zahl ist. Somit verhalt 
sich in unendlicher Nähe von x = Xi, f x wie ko + k„ {x — xi)" 
uftd setzt man; * - ^ ^ » 

X — xi — Q (cos ij; -F f sin (/)) 
ko = Xo (cos xo + « sin xo), km = x. (cos Xm + * sin x«) 
so ist in unendlicher Nähe dieses Punktes 

M = Xo cos Xo + X« ß” cos (x« + wt i/i) 

u = Xo sin Xo + X- sin (x» + m tf>). 

Es können nun mehrere Fälle eintreten. 

1 ) Es kann xo cos xo == sein, dann ist: 

M = X» ß" cos (x- + mip) 

Lassen wir nun ip einen vollkommenen Umlauf machen, d. h. x in 
einem unendlich kleinen Kreise um x = x, herumgehen, so wird »/, 
2wt mal verschwinden, also 2vi mal von positiven Wertben zu nega- 
tiven und umgekehrt übergehen ; es treffen sich daher in x = x^, 
2»t Linienelemente, in welchen m = U ist. Fasst man dieselben 
paarweise zusammen, und zwar nicht die nach entgegengesetzten 
Seiten gerichteten (wie dies der stetigen Fortsetzung im gewöhn- 



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§<25. I. Methode zum Beweise de|Fiindamentalsatzes der Algebra. 93 

liehen geometrischen Sinne entspricht), sondern je zwei benaeh- 
barte, innerhall) deren n positiv ist, so erhält man m sich in j-, 
treffende und gebrochene Linienziige, welche die Begrenzungen von 
m Flächenriiumen mit positivem u sind. Verschwindet also der 
reelle Theil von f , so stossen in m Flächenräume mit posi- 
tivem u aneinander, wo vi eine Zahl zwischen 1 und n ist; und 
umgekehrt, wenn in einem Punkte x^ , m solche Flächenräume zu- 
sammenstossen, so ihuss in seiner Nähe - 

u = y.^Q“ cos m »)<) 

sein, also der reelle Theil von f Xi verschwinden. Es ist aber keines- 
wegs nothwendig, dass in dic.sem Punkte auch der imaginäi-e Theil 
von / Xi verschwindet, und also in einem solchen Punkte, in dem 
mehrere Flädienstücke mit positivem « zusammenstossen , eine 
Wurzel der Gleichung fx = 0 liegt. 

2) Ist aber Xi eine Wurzel von /a: = 0, also y^ = n, und 
stossen in Xi , vi solche Flächenstücke mit positivem w aneinander, 
so muss in der Nähe von xi 

u • « cos , ' , , V 

sin^ + ’"’^') 

sein, also / x als niedrigstes Glied die Potenz (x — x,)” enthalten, 
in welchem Falle man sagt, dass die Gleichung f x die Wurzel 
x = X\, m fach besitze. 

Das Resultat vorstehender Betrachtungen ist nün zusammen- 
fassend dieses : Den inneren Kreisraum unseres unendlich grossen 
Kreises durchlaufen n verschiedene zusammenhängende Linien, in 
denen u überall verschwindet. Auf jeder dieser Linien muss v 
wenigstens einmal verschwinden, also eine Wurzel der Gleichung 
fx = 0 liegen; liegt eine Wurzel gerade in dem Punkte, in wel- 
chem sich m solche Linien treffen (wie z. B. in Xi unserer Figur), 
so ist dieselbe m fach Wurzel der Gleichung. Die Anzahl der .Wur- 
zeln einer Gleichung wten Grades ist daher jedenfalls nicht kleiner 
als n, und da andererseits eine ganze Function nten Grades nicht 
mehr als n lineare Factoren ihrer Natur nach haben kann (s. S. 7 1 ), 
so sieht man : 

Jede algebraische Gleichung hat jederzeit so viele gemeine 
complexe Wurzeln, als ihr Grad Einheiten. 



DiQitii ■ h' Giiijglc 



94 



V. Die gemeinen imaginären Zahlen. 



• ^ 

Der vorstehende Beweis ist derselbe , den Gauss nebst einer genauen und 
schlagenden Kritik der früheren Versuche , diesen Satz zu erweisen, in seiner 
Doctordissertation : „Dem. nova, oranem funct. algebr. rat. integr. unius 
variab. in fact. reales primi vel sec. grad resolvi posse“ (Helmstädt 1709) 
gegeben und in den zur 50jährigen Jubelfeier seines Doctorates abgefassten 
„Beiträgen zur Theor. d. algeb. Gl.“ (Gdttinger Abhandl. IV. Band von 184^ 
bis 1850) mit der unwesentlichen Aenderung roproducirt hat, dass er nicht, 
wie dort die Systeme der Curven m = 0 , » = 0 nebeneinander, sondern in der 
oben ausgeführten Weise nur eines derselben betrachtet. Doch hat der Be- 
weis im Vorstehenden dadurch an Kürze gewonnen, dass ich sowohl, als es 
sich um die Üntersuchung des Verhaltens vonyx für x ^ oo , sowie, um das im 
Punkte z, handelte, den BegrilT des Unendlichen unverhüllt Zugelasseii habe, 
Indess ist es interessant, die Grenzen kennen zu lernen, ausserhalb oder inner- . 
halb welcher die Verhältnisse so sind, wie sie für unendlich grosse oder unmid- 
licb kleine Kreise vorstehends angegeben sind : ' 

Was erstens den unendlich grossen Kreis betrifft, so verhalten sich u 
und.» so, wie es früher angegeben wurde, ausserhalb des Kreises, dessen 
Radius die einzige positive Wurzel der Gleichung 

r" — V^(r,r"-> -t- r,r»-* + ...) = 0 

darstellt 

Die Verhältnisse aber, wie sie für einen x = x, unendlich nahe umgeben- 
den Kreis geschildert sind, linden ihrem Wesen nach statt innerhalb eines 
Kreises, dessen Radius q die einzige positive Wurzel der Gleichung : 

0 = m ^ ^ — (’’* + 1) *«i + i '» — (m + 2) »„+1 p* — (»i -4- 3) Xm+s (I* — ... 

Was die von anderen gegebenen Beweise betrifft, so mag hier ein kurzer 
Bericht über diejenigen unt^r ihnen folgen, welche auf demselben Fundamental- 
principe beruhen 

Ein 1815 von Akoand (Geroonne’s Ann. Bd. V. S. 204) gegebener Beweis 
ist später von Caucuy, Sturm u. a. bearbeitet, aber niemals auf den ersten 
Erlinder zurückgeführt worden. Es ist interessant, dass die neuesten Dar- 
stellungen, die sich vor der Cavcry's durch Kürze und Prägnanz auszcichnen 
(s. Baltzer’s Eiern, d. Math. I. Bd. S. 277 der 2. Auflage), genau mit der 
Arqans’s übereinstimmen. 

Das Princip dieses Beweises ist folgendes: Man construire die Norm 
(tt* -h »’) als Ordinate einer Fläche zu dem Punkte (x -j- i/i) der Ebene, in 
jrelcher man die complexen Grössen darstellt. Diese Fläche wird jedenfalls 
nur auf der positiven Seite der [x,t/) Ebene liegen, und es kann gezeigt wer- 
den, dass die Ordinate der Fläche kein Minimum hat, welches nicht in die 
(x,y) Ebene fiele.' 

ScHEiBNER pflegt den Satz in seinen Vorlesungen in folgender interessan- 
ten Form zu beweisen; Man stelle (u -4- vi) als Punkt in einer Ebene dar; für 
alle (» -4- y ») wird dann (« -4- o i ) entweder die ganze Ebene durchlaufen, oder 
es sind einzelne Inseln vorhanden, welche (u + gt) niemals ausfüUen kann. 



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§. 26. II. Methode zum Beweise des Fundaroentalsatze« der Algebra. 95 



Daun aber müssen die Punkte an deren Begrenznugen die Eigenschaft haben, 
dass durch unendlich kleine Aenderungen in den zugehörigen Wertbeii 
(x + yj), in welchem Sinne sie auch geschehen mögen, gewisse Aenderungen 
von (k + rt ), welche in jene Inseln hiueinführen würden, niemals erzeugt wer- 
den können. Es wird gezeigt, dass einem, {x + yt) unendlich nahe, allseitig 
umgebenden FlÄchenstücke stets ein, (u -p vi) allseitig einscbliessendes unend- 
lich kleines Flächenstück entspricht. Es existiren somit keine solche Inseln. 
(« -P et) nimmt Jeden complexen Werth mmdesteus einmal an. 

Im Wesentlichen gehören zu der hier behandelten Klasse von Beweisen 
auch der dritte von Gaüss (Commeut. rec. soc. Gottingensis a 1816. ,,Tbeore- 
matis de resol. funct. algebr. dem. tertia“). der von Mocbey fLa vraie theorie 
d. quant. nög. et. imag. S. 76 der 2. Auflage, und Liovville’s Journ. Bd. IV 
S. öOl , Bd. V. 8. 31), der von Stcbm (Liouville’s Journ. Bd, 1. 1836. 
S. 278), und der von Ullhebb.(Cbei.le’s Journ. Bd. 31. 1846. S. 231), die wir 
theilweise im II. Theile dieses Werkes im Verein mit einem von Riehann 
gegebenen Beweise, der sich der Integrale complexer Functionen bedient, 
behandeln werden. 

§. 2Ü. 

Zweite Methode zum Beweise des Fnndamentalsatzes 
der Algebra. 

Der natürlichste und directeste Weg, den Satz, dass jede Glei- 
chung w complexe Wurzeln hat, zu beweisen, ist offenbar, die Wur- 
zeln sogleich direct zu berechnen und explicite darzustellen. Doch 
sind alle Auflösungsmethodeu algebraischer oder numerischer 
Gleichungen sehr zusammengesetzte Processe, welche mehr oder 
minder schon den Beweis jenes Satzes impliciren; so dass sie, soviel 
.mir bekannt, noch nicht in gelungener Weise zur Begründung des 
fundamentalen Principes der Algebra verwendet worden sind. 

Euleb (Hist, de l’Acad. d. Berlin. A. 1749. S. 263) will den Satz erweisen, 
indem er^ie Wurzeln als durch algebraische Irrationalitäten darstellbar an- 
nimmt, und es hat dann keine Schwierigkeit, mit Hilfe der Auflösung der 
Gleichungen x” a, deren Charakter als imaginäre Grössen nachzuweisen. 
Seitdem man aber darauf verzichtete , eine algebraische Gleichung allgemein 
algebraisch auflösen zu können, konnte man zur explicirten Darstellung der 
Wurzel nur unendliche Heihenentwickelungen oder Approximationsmethoden 
verwenden. Ein auf solche gegründeter Beweis — der erste Versuch einer 
Demonstration des Lehrsatzes — von d’Albmbebt (Hist, de l’Acad. de Berlin. 
A. 1746. S. 182) unterliegt mehreren wesentlichen Bedenken (vergl. Gauss, 
Demonstr. 1799. Art. 5 und 6), die Laobaboe (IX. Note zu dem Traite de la 
rösol. des öqu. num Paris 1808) theilweise beseitigt hat. Dms indessen der 



96 



V. Die f^meinen imaginären Zahlen. 



Beweis an einem Haiiptgebrechen leidet, wird sogleich einlenchten,wenn wir ihn 
hier in seinem Principe, wenn auch in bedeutend verkürzter Form darstellen: 
Man construire die Curve 

y=/(®) ■ 

wo / (x) eine ganze rationale h’unction mit reellen Coefficienten ist, so wird 
deren Verhalten in einem Punkte x„, am einfachsten übersehen, weim man 
y — y« äls Function von (z — Xq) darstellt; 

y — 2/o =• i' (» — Zo) + *" (•* — z„)ä + . . . 

Ist h’ 5 0, so verhält sich die Curve an dieser Stelle wie eine-Oerade; ist 
A'=0, aber 6" § 0 wie eine Apolloniscbe Parabel, deren Axe der y Axe 
parallel ist, u. s. f. 

Gibt es keinen reellen Werth z, für den ,v = 0 ist, so sei Zo ein Werth, 
dem ein jmsitives y^yn entspricht, welches unter seinen benachbarten ein 
Minimum ist, in dem also 6' «= 0, 6" >■ 0, ^ 

y — yo = V' {X — z„)> + V" (z — z,,)» + . . . 

Es fragt sich nun, ob aus dieser Gleichung für ein y < y„ ein entsprechendes 
X bestimmt werden könne. Nimmt man das y von y« wenig verschieden nn , so 
wird der Gleichung durch den Werth: 



z„ + » 






(Ho — y) 
b" 



also durch complexe Werthe nahezu genügt, und es gehen also an dieser Stelle 
zwei reelle Wurzeln der Gleichung in zwei complexe über. Mit diesem an- 
genäherten Werthe der Wurzel geht man nun wieder in die Gleichung ein, 
verbessert ihren Werth u. s. w. nach dem gewöhnlichen Princip der approxi- 
mativen Berechnung. Hat man sich so überzeugt, dass zu Werthen von y 
welche dem y„ sehr- nahe kommen, complexe Wurzeln von der betrachteten 
Form gehören, so ist es dann nicht schwer, auch zu zeigen, dass dem AVerthe 
y == 0 complexe Wurzeln der Gleichung in z entsprechen. 

Soll aber diese Schlussweise zulässig sein, so muss jener Approximations*, 
process zu einer Grenze führen, also die Reihe, in welche man (z — Xo) ent- 
wickelt, convergent und ferner in analytischer Form darstellbar sein, damit 
man sich durch ihre wenigstens indirecte Substitution in die Glcichiyig 

y — yo = b” (X — Zo)* -+• , . 

davon überzeugen könne, dass sie eine Wurzel derselben ist 

Dazu aber würde es eines Satzes, wie des von Laobxnoe zur analytischen 
Entwickelung der kleinsten Wurzeln einer Gleichung und dessen ohne Hilfe 
der ausgefohrten Theorie der F unctionen complexer Grössen wohKpicht mög- 
lichen strengen Beweises bedürfen; so dass man das Uebel des LAÜH^imB’- 
schen Beweises als unheilbar ansehen muss. 

Auch das von Legbndrb (Thöor. d. nombr. 3. öd. 1830. Bd. E S. 176) 
gegebene Verfahren, die complexen Wurzeln approximativ zu bestimmen, 
leidet an demselben Gebrechen. , 



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0 



§. 27. III. Methode zum Keweisc desKumlanientalsatzes lle^Al^(ebra. 97 

. - §.27. 

Dritte Methode. 

> 

Während die erste Metliode, den Satz von der Ztalogliarkeit 
einer ganzen Function in l^'actoren ersten Grades zu beweisen, 
wesentlicli von Stetigkeitsbetrachtungen, die zweite von einem Nähe- 
rungsverfahren zur Bestimmung der Wurzel ausging, so lässt sieh ' 
eine dritte Methode erdenken' welche i-ein . algebraischer Natur ist 
und auf den Sätzen ühcr Zerlegung der Functionen in rationale 
Factoren beniht. Den einzigen mir bekannten, strengen Beweis 
dieser Art hat Gäüss gegeben. Er zeigt, da.ss wenn f x eine ganze 
Function mit reellen Coefficienten vom Grade 2'" ä: und k impai- ist, 
stets eine andere Function mit reellen Coefficienten vorn (irade 
2“ k, wo (('<<,«, angegeben werden kann von der Eigenschaft, 
dass alle complexen Wurzeln der letzteren, wenn sic solche bat, 
auf einen reellen oder complexen Weiäh fuhren, welcher ya- ver- 
schwinden macht. Ist fi >0, so wendet man dasselbe Verfahren 
auf, die Function vom Grade 2'‘ k an u. s. f., bis man endlich zu 
einer Function von iinparem Gi'ade k. und mit reellen Coefficienten 
gelangt, der jedenfalls eine reelle Wm’zcl zukommt, die daher auf- 
steigend zu einer reellen oder complexeir Wurzel der Gleichung 
f X — 0 führt. 

S. Dem. nova altera (Corament. ree. soc. Gotting. A. 181ß) und v. Stacut 
in Cbelle’s Joum. Bd 29. 8. 97. Auf t'inem ganz iilinlirhgp rrincipe als der 
soeben angedeutete Beweis , der bei seinem rein algebraisflien Charakter für 
die uns zunäebst liegenden Zwecke nicht weiter ausgefübrt werden soll , be- 
ruht ein von Eci.f.r (Hist, de l’Acad. d. Berlin. A. 1749. S. 222) gegehener. 
der dann von db Foscesbx (Miscell. pliil.-inath. söe. TanrinouMs. Bd. I. 17.'i9. 

Si IIG), Lapi.acb (Le^ons de l’Ecole normale 179.Ö, im Journ. de recol. 
polytechnigue, Cah. 7. 8. S. 56), Laorange (Noitv. Mein, de l’Aead. d. Beidin. 
1772. 8. 222 und IV. Note des Traite de la Rdsol. des cqu. minier.), Ivory 
(Art. Equations in der Edinburgher Encyclopaedia britannica, 7. Ausg. 1842. 

8. 329) und von G. Peacock (Report of the 3. meet. of the Brit. Assoc. f. the 
advanc. of Science 8. 297) berichtigt und umgestaltet worden ist. Indessen 
theilen alle diese Beweise einen fundamentalen Fehler — dem zu entgehen, 
einen eminenten Aufwand von Schärfe des Gedankens und Productionskraft, 
Wie beides in Gauss wunderbar vereinigt war, voraussetzte —'den Fehler 
nämlich, dass von vornherein nicht nach der Existenz der Wurzeln einer 
Gleichung, sondern nur nach der Form derselben, und ob diese (A + Bt) sei, 

II an k el, complex« Zablnn. 7 



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98 



V. Dip gpmeinen iraasriniirpn Zalilcn. 



gefragt -wird, indem dahei stillschweigend das A?iom angenommen wird, dass 
eine Gleichung jedenfalls n Wurzeln besitze, die entweder reell oder imaginär 
oder unmöglich d. h. nicht von der Fonn t.l + /t») seien. Diese Annahme 
ist doch nicht so absurd, als es auf den ersten Hlick dem heutigen Mathema- 
tiker scheinen mtichte. Beweis genug die Unbefangenheit und Allgemeinheit, 
mit welcher sie gemacht und noch im Jahre 1H()H von Laoranoe, ja noch 18J4 
von 1‘kacock. der Gaurs Beweise sehr wohl kannte, festgehalten wurde. Man 
muss sich nur die Sache so vorstellen; Ausser den gewöhnlichen imaginären 
Zahlen von der Form <A -F II i) kann man vorläniig noch andere annehmen, 
auf weldie der Begriff der Addition und ‘der commutativen Multi|ilication ein- 
deutig anwendbar ist und welche als Wurzeln, freilich als unmögliche, erschei- 
nen können. Wir werden in derThat im VI. Abschnitt noch weitere r.omi)lexe 
Zahlen, welche von den bisher betrachteten specitisch verschieden sind, kennen 
lernen, auf welche die Addition und l\tulti])tiration eindeutig anwendbar ist 
und welche recht wohl solchen Gleichungen neben den gemeinen complexen 
Zahlen noch als Wurzeln genügen können. Die Paradoxie, welche darin 
liegt, nach der Form der Wurzeln zu fragen, ist also nur scheihbar und nur 
bei einer beschränkten Auffassimg vorhanden. Wie mau aber von vornherein 
hehau|)ten könne, dass jede Gleichung in diesem Sinne „unmögljplic“ Wurzeln 
überhaupt, und zwar deren « besitzen müsse, dafür tinde ich bei den an- 
geführten Schriftstellern auch nicht den Schatten eines Rechtfertigungs- 
grundes. — 

K-Ästskr nimmt (.Anfangsgr. d. endl. Analysis 17ü7. Art. 210) diesen Satz 
ganz ausdrücklich als Axiom an, ein Verfahren, welches immernoch bedeu- 
tend besser ist, als wenn, wie dies bei vielen, in’sbcsondcre deutschen Dehr- 
bücheni der Algebra bis auf unsere Tage der Fall ist, nicht einmal ein Knoncö 
dieses Fundamentalsatzes gegeben, oiler derselbe auf wunderliche Weise 
(s. z. B. Egen , ITandb d. Arith. II. Bd. S. 244) hinein escamotirt wird. - Ein 
höchst naiver Syllogismus lindet sich in manchen Büchern aus dem Ende 
des vor. Jahrhuu^frts: „Man nehme »» P'aetoren (x — xt) . .. [x — x,) an , wo 
X, ... X, noch unbekannt sind und setze deren Product = f x. Dann werden 
aus der Vergleichung beider Ausdrücke Gleichungen erhalten, aüs welchen 
die Wurzeln x, . . . x„, da die Zahl der Gleichungen und Wurzeln gleich ist, 
sämmtlich bestimmt werden können.“ (Gaüsb Dissert. von 1799. Art. 3.) 
Einen prächtigen circulns vitiosus begeht Duboubgukt in einem Beweise 
(Geroonne’s Ann. 2. Bd.ibll. S. 399 1 , den er trotz wiederholter Plriunerungeu 
(s. 3. und 4. Bd. derselben Aunal.) nicht zurückgunommen hat 




SECH8TKR ABSCHNITT. 



Die höheren complexen Zahlen. 



§■ 28 . 

Theorie der complexen Zahlen iiii Allj^emeiiien. 

Wir gehen bei der Ihldung der liölicren coniple.xen Zahlen von 
einer Anzahl von einander unabhängiger, ursprünglicher, inniginärer 
Kinlieiten 11,13 . . ■ i„ aus, welche additiv’ und luultiplicativ sowohl 
unter .sich, als auch mit den gewöhnlichen complexen Zahlen ver- 
bunden werden können. Unter /*, wo eine gemeine complexe 
Zahl bedeutet, verstehen wir ein commutatives Product; wir setzen 
ferner das associative Pnncip voraus, wenn es sich um die Multi- 
plication der neuen Einheiten unter einander oder mit gemeinen 
complexen Zahlen handelt, lassen aber die Voraussetzung der Com- 
mutativ’ität der Einheiten unter einander im Allgemeinen fallen. 

Bilden wir aus solchen Prnducten o* durch Addition, d. h. 
eine commutative und a.ssociative Operation die Zahl 
« =>= a, ti + 

so nennen wif « eine complexe Zahl »der Ordnung und ersten • 
Grades, mit den Einheiten und den Coefficienten a, . . . a,. 

Wir werden solche c.omplexe Zahlen, wenn nicht ausdi-ücklich 
etwas anderes bemerkt wird, mit griechischen, die gemeinen coni- 
plexen Zahlen mit lateinischen Buchstaben bezeichnen. 

Die Voraussetzung, dass #, . . . /, von einander unabhängig 
sein sollen, kann jetzt genauer dahin präcisirt werden, dass zwi-, 
scheu den ti imaginären Einheiten keine lineare Gleichung 

7» 



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100 



VI. Die höheren roniplcxen Zahlen. 



0 = «1 + . . . + <„ 

bestehen soll, ausser wenn «, 

Bei der Addition zweier solchen Zaldeu wird man zufolge 
der Gnindgesetze dieser Operation 

a + /I = («1 /] /.) + (/'i D + • • • "h /'« I«) 

= a, <1 + . . . + <J„ <1 + . • • + f>, ln 

= («1 <1 + '''l <l) + • • • + («» ln + />n In) 

setzen müssen, und wenn man: 

(«. -f- Ä) ( = <1 / + /> / 

also das distiihutive I’rincip in dic.sem Falle annimmt, so hat man: 

(«, /, + . . . + /„) H- (Ä] <1 + • ■ • + /'« ln) — 

(«1 + />l) D + • • • + ('*. + ^n) ln, 

eine Gleichung, welelie man auch als Definition des Additions- 
hegiiffes ansehen mag. Dann folgt aus ihr ohne weiteins 
a'+ (i = ß + a, 

und 

(« + f?) + Z — K“i + ^'i) D + • • 1 + (O h + ■ • •) 

• = («1 + h + o) ii + ■ • • = (oj + + Cj) /i -h . . . 

= («I O + • • •) + {(''■'i + O) D + • . .} = « + (/^ + Z) 
also das commutative und associative Princip im Allgemeinen. 

Es wird nicht Uberhüssit; sein, hier den methodischen Weg zu bezeichnen, 
der uns zu den Rechnungsoperationen f(ir diese Zahlen führt : Zunächst benutzt 
inan das Princip der Permanenz der formalen arithmetischen Gesetze, indem 
mau die in §. G und 7 gelehrten Oi)erationcn mit allen ihren Kolgcrungen auf 
die complexen Zahlen anwendet und so zu den Formeln gelangt, welche die 
Resultate jener Operationeu darstellen. Dann aber, weil es a priori nicht fest- 
steht, dass alle jene .Gesetze der Addition und Multiplicktion»widerspruchsfrei 
für die neuen Zahlen gelten, geht man synthetisch von jenen auf analytischem 
Wege gewonnenen Formeln aus und weist nach, dass die durch sie deflnirte 
Operation den formalen Gesetzen dj‘rselben genügt. Erst wenn diese beiden 
Wege zurückgelegt sind, liegt die Möglichkeit, aber auch die Nothwendigkeit 
vor,- die Operationen mit den allgemein in § G und 7 defiidrtcn zu identiiieiren. 

Wa.s man unter der Suhtraction zweier complexen Zahlen 
zu verstehen habe, geht aus dem Additionshegrifi'e mizWeifidhaft 
hervor, wie auch, dass beide Operationen stets eindeutig sind. 



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§. 28. Theorie tlcr com|ilexen Zaiileii im Allgeinoiiieii. 



101 



Man sicht ferner, dass 'weiin 



«1 <1 + ••• + "»<» — <''1 'I +••• + ^« <« 

also 

(«, — /;,)<! + . . . 4- («„ — l),) f„ = 0, 

nach der ohigcn Festsetzung der linearen Independeuz der « Ein- 
heiten, hieraus 4 uf die Gleichheit der respectiven Gueilicienteii ge- 
schlossen werden kann. 

Sämmtliche Zahlen «, welche in linearer Weise aus »j unab- 
hängigen Einheiten gebildet werden können, bilden zusammen ein 
System 7(tei' Ordnuug uud ei'steu Grades. 

Untersuchen wir jetzt die Zahlen, welche aus n linearunalj- 
hängigen Zahlen dieses Systems ß^, ... ß„, zwischen denen also 
keine Gleichung 

, <1 |'?l + • • • + Cn ßu = 0 

stattfindet, gclnldct werden können. Ist 



«1 = «1 + • • • + n.ß« 

_und oj nicht Null, so hat man: 







Es kann also ßi aus rrj , ß^, ... ß„ lineai- gebildet 'werden und da- 
her das aus ... ß„ abgeleitete System ebenso aus oi, ßt ... ß, 
abgeleitet werden. Man sieht überhaupt, dass wenn ßi . . . ß„ 
linearuiiabhängig sind, und ebenso «j ... a„, das ganze System 
der aus ßi ... ß„ dem aus . . . «„ abgeleiteten identisch whd. 



Unter dem Froducte a ß voi-stehen wir, wenn 

a = «1 <1 + (K Ih = 2 i„ 

ß = ii + . . . + li. I, = h 



gesetzt wird: 

a ß = ^ a„ i„ ^ />, ip — 2 bp /„ tp 



indem nach den oben festgesetzten Annahmen a„ /„ hp ip = bp i„ ip 
wird. Nimmt man dann dieselbe. MuLtiplicationsregel für die aus 
/„ I, zusammengesetzten Zahlen, uud das associative Princip bei der 
Multiplication der EinlnÄcn (/„ t,) t, = /„ (ip i,ß an, so hat man: 



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102 



VI. Die höheren complexen Zahlen. 



( l'm 2^ hp <,.) 22 h = i22 rt« />p Im Ip) 22 <gt, 

^ q (^m tp) tq ^^p ^q im i^i p i p) 

rW im Pap fip i*q ip iq ^ Um im ( pmp ^ip ip mP i'q iq^ 

also 

(« ß) y = c< iß y) , 

<1. h. das associative Princip in seiner vollen Gültigkeit. Was das 
allgemeine distributive Piiuei]) betridt, so ist 

(22 a„l„ + 2! l>m im) 22 Cp Ip 22 {(‘m + lim) im ■ 2l Cp ip 

= 22 {dm + b„) Cp .tmip= ^ o« Cp Im Ip + 22 l>m Cp i„ ip 

dm im • mP Cp, Ip, | ^ hm im ■ ^P Cp ip 

und dasselbe daher' erfüllt. Die Eindeutigkeit der Multiplication 
folgt ebenfalls aus ihrer Definition, fidls die Produete /, bestimmte 
sind; ob aber das Produet sieh stets ändert, wenn sieh einer der 
Faetoren ändert, und ob die Multij)lieation eommutativ ist, oder 
nicht, beides hängt ganz von der Bedeutung ab, welche mau den 
Producten der Einlieiten gibt, und welche otl'eubar eine ganz\er- 
sfdiiedene sein kann, ohne dass sich die Gültigkeit der bisher ent- 
wickelten Multiiilicationsi-egehi dadurch änderte. 

Wir haben 'bisher nur die Zahlen ei'sten Grades betrachtet, 
welche lineai' aus ihren Einheiten zusammengesetzt sind. Man wud 
Zahlen zweiten Grades erhalten, weim sich in: 

« — «1 >«1 + «2 Zj -h . . . 

unter den z, , y .2 ... solche Produete von Einheiten ip befinden, 
welche von den Einheiten selbst wesentheh verschieden sind. Ebenso 
kann man Zahlen «den Grades aus den Producten der Einheiten 
zu je Dl zusammensetzeu. Ihre Rechnungsregeln definiren wir, wie 
dies auch schon vorhin vorausgesetzt ist, formal ganz ebenso, als 
die der Zahlen ei-sten Grades — und erhalten so ein aus den 
misprünghchen und den abgeleiteten Einheiten gebildetes voll- 
ständiges Zalden.system «ter Ordnung, dessen Multiplication eine 
associative und distributive Operation ist. 

In der Verschiedeulieit der particulareu Bestimmung der Kiuheitsproduete 
liegt die Verschiedenheit der Systeme höherer complcxer Zahlen. So köhntc 
man, um die Gesetze der arithmetischen Multiplication, soweit als möglich. 



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§. 28 . Die idealen Zahlen. 



103 



permanent zu machen, z. B. -die Commutativität erhalten und deshalb 
ln ip = ip Im setzen, wo dann noch die W'erthe dieser Producte selbst 
mannigfach gewählt werden können. Man könnte ferner, indem man jene 
Permanenz aufgibt, i„ <, = — ip setzen. Es wird ferner nahe liegen, 
die Producte der Einheiten auf die Einheiten selbst zu redudren mid 

z. B. I, i2 = zu setzen, um so nicht bei jeder neuen Multiplication 

auf neue Zahlen gefülirt zu werden. Endlich wird man die Absicht ver- 
^ folgen können,' solche Bestimmungen zu trefl'en, welche die Eigenschaft eines 
Productes, sich mit einem seiner Factoren zu ändern, erhalten, um so eine 
bestimmte Division möglich zu machen, u. s. w. Die wissenschaftlich wichtig- 
sten, speciellen Annahmen werden wir im Folgenden einzeln untersuchen 
Die idealen Zahlen. Die von Gauss und Diriculet in die Zahlen- 
lehre eingeführten allgemeinen complexen ganzen Zahlen 
« = Ci ii + • . . + n» I« 
wo I, . . . die Wurzeln der Gleichung 

X" = 1 

und et] . . . n„ ganze reelle Zahlen sind, unterscheiden sich von den Complexen 
der Analysis dadurch , dass hier zwischen den 11 Einheiten allerdings lineare 
Relationen bestehen, nur (mit Einer Ausnahme) keine ganzzahligen. 

Eine solche complexe Zahl kann entweder in Factoren derselben Art 
zerlegt werden , oder nicht. Im ersten Falle wird man sie eine zusammen- 
gesetzte Zalil , im anderen eine complexe Primzahl neunen können. Es hat 
nun Kummer (Crf.lle’s Jonrn. Bd. 35. S. 319) bemerkt, dass wenn auch « auf 
kerne Weise in complexe Factoren zerlegt werden kann, sie deshalb noch nicht 
die wahre Natur einer Primzahl hat, weil sie schon gewöhnlich efer ersten 
und wichtigsten Eigenschaft der Primzahlen ermangelt; nämlich dass das Pro- 
duct zweier Primzahlen durch keine von Uinen verschiedene Primzahl theilbar 
ist. Es haben vielmehr solche Zahlen, wenn gleich sie nicht in complexe 
Factoren zerlegbar sind, dennoch die Natur der zusammengesetzten Zahlen, 
und Kummer deukt sie sich daher in ideale complexe Prim-Factoren 
zerlegt, die er durch eine unter allen Umständen bleibende Eigenschaft der 
Primfactoren complexer Zahlen, welche unabhängig ist von der Zufälligkeit, 
ob die wirkliche Zerlegung statthabß oder nicht, vollkommen definirt hat. 

Auch Galois (8, Sbrret, Algöbre sup. 2. öd. S. 348) hat neue complexe 
Zahlen aufgestcllt, welche gkuz in unserer obigen Form erscheinen, und ge- 
mäss dem Principe der Permanenz, das in der Algebra zur Einführung der 
gewöhnlichen complexen Zahlen veranlasst hat , und welches einer Gleichung 
soviel Wurzeln beilegt, als ihr Grad Einheiten hat, den entsprechenden Satz 
auf die Congrucnzen höherer Grade übertragen. 

Jedocli kann es hier nicht unsere Absicht sein, die Theorie dieser und der 
idealen Zahlen weiter zu verfolgen: die Natur des Imaginären in der Lehre 
von den ganzen Zahlen ist demi doch bei der Unstetigkeit des Zahlenmaterials 
eine andere, als die des Imaginären in der Analysis mit ihrem Begriffe des 



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1U4 



VI Die liuhereii coiiijilexeu Zulilen. 

ätetigeu. Wulirejitl die iui Texte ubeii defviiirteii , btetig auteinuiidcrfolgeuden 
Zulileii luiuiiiigfiielie, ihnen cnUiireidieiide nhjeete im Geliiete der wirklichen 
AnM'liauuiiK de» ätctigcu, im Kuume, der /«dt, der inerhanibchen Knili und 
(iebcliwiiidigkeit iiiiden, bu bcheiueii, wie IveiiibKU dieb ziierbl aubgebprueheu 
hat, die eumplexcn und idcaleu ganzen Zalileu beruteu, in den uherni- 
scheii Verbinduugen, . welche stets nach ganzzitbligeu Verhaltnisben 
ertiilgeii, ihr luitUrliches bubslrat zu lindeu. Eine clieniische Furmcl kann als 
eine cuiuplexe Zahl angesehen werden, deren Einheiten die Zeichen der l'ile- 
meiite und deren Cuet'licieuten die Multipla derselben sind. „Der cheiuischen 
\’erbiuduug entspricht tVir die cumplexeu Zalileu die Multiplicatiun; deu Ele- 
iiieiiten oder eigentlich deu Atuiugewichten derselben, entsprechen die l’riui- 
l'actiiren; und die chemisclien Eurineln für die Zerlegung der Körper sind 
genau dieselben, wie- die Eorineln für die Zerlegung der Zalileu. Auch selbst 
die idealen Zahlen unserer Theorie linden sich in der Chemie, vielleicht nur 
allzuoft, als hjpolhetische lladicale, welche bisher noch nicht dargestellt wor- 
den sind, die aber, sowie die idealen Zahlen, in den Zusammensetzungen ihre 
Wirklichkeit haben. Das Eluor. für sich bisher nicht darstellbar Und noch 
den Elementen zugeziililt, kann als Analogon eines idealen l’rimfactors gel- 
ten. ... In der Chemie hat man ferner zur rrUfung der in eüieui unbekannten 
anfgeliisten Körper enthalteuen IStoUu die Kcagentien, . . . ganz dasselbe liudet 
für die comi>lexcn Zahlen statt. Auch der Begriff der Aequivaleuz ist in der 
Chemie fast derselbe, wie in der Theorie der complexen Zahlen . . . Diese hier 
angedeutelen Analogieen sind nicht etwa als blosse Spiele des Witzes zu be- 
trachten, sondern haben ihren guten Ciruud darin, dass die Cliemie, so wie der 
hier behandelte Theil der Zalileutheorie, beide denselben Grundbegriff, näm- 
lich den *der Zusammensetzung, wenngleich innerhalb verschiedener 
Sphären des Seins, zu ihrem Principe haben.“ (Kuhhub, Chellb’s Journ. 
Bd. öö. S. 3(>0.) 

Es lässt sich aus deu kurzen Andeutungen, widchc sich im Septemberhefte 
des Philosophical Magazine 'von IS(W! über eine Mittheilung von C. L. Bbodie 
befinden, die er in der Royal Society gemacht hat, und deren Titel ist „The 
calciilus on Chemical Uj)erations, heilig a Method for thc Investigation, by 
means of Symbols, of the Laws of the Distribution of Wcight in Chemical 
Change. — Part. I. On the Construction of Chemical Symbols", keine aus- 
reichende Vorstellung seiner von den angegebenen Principien ausgehenden 
Methode der Zerlegung chemischer Formeln gewinnen. Wenn aber nicht 
alles täuscht, so ist von dieser Seite her eine Anwendung matlicmatischcr for- 
maler Principien auf die Chemie eher zu erwarten, als von Seiten der Mole- 
cularphysik. 

Historisches. Zugleich mit der geometrischen Darstellung der imagi- 
nären Zahlen in der Ebene musste die Frage entstehen, ob es nicht möglich 
sei, die Punkto und Strecken im Raume durch irgendwelche neue imaginäre 
Zählen auszudrucken. Dies hat bereits Argans (Gerounne’s Annalen Bd. 4. 

1813. S. 14t>) durch j/ — 1 ‘ vergeblicher Weise versucht. Auch Servois 



§. 28. Theorie der complexeii Zahlen im Ail^eiueiueu. 105 

machte (ebenda, S. 23,')) eine dahin zielende Bemerkung , ohne sie weiter aus- 
zuführen. In England hat sich das Interresse für diese Frage imtner rege 
erhalten: Sir W. R. Hamiltou heschUftigte sich in fortwährender Verhiuduiig 
mit den Brüdern John T. Gkaves und Cuaki.es Gkavbs, mit solchen Ver- 
suchen, von denen er in der umfangreichen Vorrede zu seinen Lectures on 
Quateniiuiis einen höchst interessanten Bericht erstattet. Von der Darstellung 
i der Punkte im Raume durch Gomplcxe (a^, oj. «s) (vergl. oben S. 72) aus- 
gehend, handelte es sich darum, solche Verknüpfungen derselben zu erliiiden, 
welche natürlichen geometrischen Verhältnissen entsprechen. Die Aufstellung 
solcher war insofern Sache freier Production, als es nothwendig war, einige 
_ Eigenschaften der gemeinen 4 Species aufzugeben; aber welchey IIajulton 
wurde erst duixh viele vergebliche Bemühungen davon überzeugt, dass man 
nicht, wie er anfangs meinte, das commutative Princip festhalten könne, ohne 
das distributive zu verletzen, und dass letzteres in der That dife wesent- 
lichste Eigenschaft der Multiplication sei. Sb stellte er die allgemeinen Ver- 
knüpfungsgesetze der Complexe (n, , oj, ... n»), die er später aucli in der 
Form «1 I, + . .. + o„ /„ schrieb, auf und üntersuchte verschiedene parti- 
culare Multiplicationen , die ihn 1843 endlich auf seine Quateruiouen führten. 

Gleichzeitig hat in Deutscldand ll. Gbassmann (in den S. 16 angefülirten 
Schriften, sowie in Crei.i.e's Jonrnal Bd. :!1. S. 111. Bd. 3b. S. 177. Bd, 42. 
S. 187. Bd. 49. S. 1 und S. 123. Bd .92. S. 251.) ira Raume oder überhauiitin 
einem Gebiete, welches aus mehreren von einander unabhängigen stetigen 
Elementarändcrungen besteht, Operationen vorgenommen, welche in alge- 
braischer Fassung Additionen und Midtiplieationoii complexcr Zahlen dar- 
stelleu, und hat deren Natur in sehr allgemeiner und eingehender Weise 
untersucht. — 

Wir haben in unserem Texte nur solcher complexer Zahlen gedacht, bei 
deren Multiplication das associative und distributive Prineij) erfüllt ist. Au 
und für sich aber steht dem nichts entgegen, dass man eines dieser Gesetze 
theilweise fallen lässt und dafür etwa das commutative permanent erhält, ln 
der That hat II. Schf.ffler („lieber d. Verh. d. Arith. z. Geom., in’s Bes. üb. d. 
geom. Bed. d. imag. Zahlen“, 1846, und im „Situationscalcul“ 1851) eine Art 
von complexcn Zahlen zur Behandlung räumlicher Verhältidsse aufgestellt, 
welche durchaus commutativ in ihrer Multiplication, aber dem distributiven 
Gesetz im Allgemeinen nicht unterworfen sind. 

Die aus (2« — 1) complexeu Einheiten gebildeten Zahlen Kirkmak’s 
(On Pluquaternions and Honjoid Products of Sums of «Squares, Phil, Mag. 
Dec; 1848. S. 447 und S. 494, s. auch Cayi.ey Phil. Mag. März 1845. S. 210) 
haben im Allgemeinen nicht die associative Eigenschaft in ihrer Multiplication. 

Ich habe bei dem geringen , oder mindestens ganz specicllen Werthe, 
vvelcher diesen letzten Zaiüensystemcn zukonimt, von ihrer Darstellung ab- 
sehen zu sollen geglaubt, wenngleich es au sich immer interessant bkdbt, die 
Multiplication unter so ganz verschiedenen particulären Bedingungen in ihren 
Eigeuthümlichkeiteu zu untersuchen. — 




106 



VI. Die höheren complexen Zahlen. 



Von besonderer Dedeutiiii" ist der Umstand, dass ein inniger Zusammen- 
hang zwisclicn der l'unctioucnlelire comidexer Zahlen höherer Ordnung und 
dem sogenannten Opcrationscaleul, also einer syndiolisdicn Zusammenfassung 
gewisser Zahleuoperationen be.steht. So lasst sich z. B. die Fuiictioualdeter- 
miiiantc als Potenz der Derivirten einer Function höherer complcxer Zahlen, 
darstellen. Ferner lässt sich der uauientlich von-CAYi.EY und seiner Schule 
ausgchildetc „hyperdetei'iniuant cglculus“' in eine Form hringen, welche im - 
engsten Zusammenhänge mit der Theorie comidexer Zahlen steht, wie ich dies 
in nächster Zeit uachzuweiscu hoffe. 

20 . ' - 

Begrenztes coinplexes System. 

Die iu gewisser Iliusielit eiufacliste Multiplicatiou höherer com- 
plexer Zalil erhält mau, wenn sich die Producte der Einheiten wie- 
der auf die Einheiten selbst reduciren, nämlich lineare Functionen 
derselben sind, also, wenn « Einheiten vorhanden sind, das Product : 

Ik tm = rt*,.n + h + a'k.m tü + • • • + In 

ist. _Uni die Niitur dieses Zahlensystemes weiter zu untersuchen, 
elimiuiren wir aus den (« — 1 ) nach i-i, <3 ... <„ linearen Glei- 
chungen ! 

I, <ä = + ll't.J <1 + « I.* <Z H~ • -p «l”s In 

»1 I3 — a ,,3 + (('1.3 h + «”1,3 <z + • . • + «iri ln 

ll ln = «l.N + «’l.n ll + <2 + . • . + «!r» In 

oder 

— «i.a — « I.J ll = (« ’i.s “T ti) h + »3 + • • • + ln 

«1,3 «1,3 ll = «”l,3 h + (« " 1,3 o) <3 + ■ • • H“ l'hS In 

— ai,„ — a'i n ll — <i'i,n I3 + a 'i.n ts + . . . + (o!."! 

deren Determinante 

a i,a — <1 <i i,s ... nl.» 

' (I 1.3 (I i.s ti ... 0.1 3 

fl"l.n • • . "l'l - ll 

ist, die <3, . . . ln- Dann werden diese durch einen Quotienten dar- 
gestellt, welcher im Zähler und Nenner eine L'unction {n — Ijten 
Grades von enthält, und substituirt man sie in der Relation; 




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107 




29. Begrenztes eoinplexes System. 



<1 <1 = "i.i "H <!+•■• + "m Int 
,so verwandelt sich letztere in eine (ileichuiig (« + 1 )ten Grades 
in Bezug auf deren höchstes Glied den Cocfticienteii + 1 
hat, wiihitüid alle iindereu die gemeinen comple.xen Zalden a, aber 
durchaus keinen Nenner enthalten, so dass also 

/,” + * + <i" + • • • + + i 

wo die . . . 6„ + i gemeine complexe Zahlen sind. Die Gleichung 

^» + 1 _|_ g.“ _j_ ^ — Q 

hat nun jedenfalls ?i gemeine complexe ^^urzeln c, ... c,+i so dass 

•Ci + Cj, + . . . + 1 

Ci Cj + Ci Cs + Csi C3 + . . . = + /aj 



Cj Cg . . . C„+J ( t) ^ ^pi+1 ' 

also ist identisch: 

/l"'*'“ + <l" + • •• + ^» + 1 = — (t'l + t’2 + ••• + C,+ i) <i" + . . . 

+ (- I)" + ‘C, Cs ...C.+ , 
upd, da auf <i alle gewöhnlichen Multiplicationsregeln anwendbar 
sind, hat man diese ganze Ftmetion 

== (ll Ci) (tj — Cs) . . . (<1 — C,.^.i) 

Es ist nun /j so zu bestimmen , dass dieses Product verschwindet. 
Geschieht dies, indem ein Factor desselben der Null gleich, also 
I, = (jjc gesetzt wird, so wäre tj eine gemeine complexe Zahl und 
daher keine neue imaginäre Einheit Söll sie aber eine neue ima- 
ginäre Einheit sein, so muss vorstehendes Product verschwinden, 
ohne dass einer seiner Factoren Null wird. 

In dem Ausnahmefalle, dass «,,,, . . . «i,», Null 

sind, muss obige Determinante (1) verschwinden, woraus sich i, 
ebenfalls ids gemeine complexe- Zahl bestimmen würde. 

Ein höheres complcxes Zahlensystem, dessen formale 
Rechnungsoperationen nach den Bedingungen des §. 28 bestimmt 
sind, und dessen Einheitsiiroducte in’s Besondere lineare Functionen 
der ureprünglichen Einheiten sind, und in w'elchem kein Product 
veisichwinden kann, ohne diiss einer seiner Factoren Null würde, 
enthält also in sich einen Widei’spruch imd kann nicht exi- 
st i r e n. 



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108 



VI. . Die liöbcrcu coniplcxeu Zaiileu. 



ft 



’ Will in.'iH also ein comiilexes Zalilensysteni aiinelinien, welclias 
ein begreiiütes insofern ist, als es- bei der Multiplicatiou nicht 
auf neue Einheiten führt niul in welchem die Einheitsproducte, wie 
bei den gemeinen complexen Zahlen, auf die Einheiten seiljst linear 
reducirt wenlen können, so muss man die Eigenschalt des gemeinen 
Productes, nur durch das Nullwerden eines seiner Factoren zn ver- • 
s(diwindun, aufgeben, ln einem solchen Systeme wird daher ein 
Pi'oduct nicht jtKlesmal seinen Werth ändern, wenn der eine Factor 
sich vej'iindeit, während der andei-e constant bleibt, und die Division 
wird in gewisser \\' eise unbestimmt. 

. . Damit ist die Frage beantwortet , deren Losung Gauss *) ver- 
sprochen, aber nicht gegeben hat, „warum die Relationen 
zwischen Dingen, die eine Mannigfaltigkeit von mehr 
als zwei Dijiiensionen darbieteu, nicht noch andere 
in der allgemeinen Arithmetik zulässige Arten von 
Grossen liefern können."* Jede mögliche .\rt von complexen 
Grössen wird sich in ihrer Multijjlication durch eine wesentliche 
Eigenschaft von den gewöhnlichen Zahlen der Algebra untersebei- 
den müssen. 



§.30. 

Complexes System mit zwei Einheiten, 

Lässt man einem Zahlensysteme, dessen Einheitsproducte sieh 
wieiler auf die Eiidieiten linear reduciren, die Eigenschaft zu, dass 
ein Product verschwinden könne, ohne dass einer seiner Factoren 
verschwindet, so li(‘gt in ihm nichts Widers])recliendes. 

Das aus der numerischen und einer anderen Einheit i gebildete 
System, wo t der Gleichung 

II — — 1 

genügt, und auch sonst alle Eigenschaften dei* gcwölmliclien imagi- 
nären Einheit i hat, ohne aber mit ihr identiticirt werden zu können, 
hat besonderes Interesse dadurch , dass es zur Erläuterung der auf 
S, 70 gemachten Bemerkungen dienen kann. Sind oj, Äj ...a,, 

X, >! gemeine reelle Zahlen und wird im vorliegenden Systeme die 
Wurzel ^ = X + n t der Gleichung 

») S. Werke, Bd. U. S. 178 



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§. itO. Coniplexfis Systoni mit zwei Kinhoiteii. 



109 



r + («. + 0 r-' + . . . + («, + K i) = 0 (1) 

gesucht, so rindet man, wenn man nach der Substitution von 
^ — X + // 1 entwickelt, und den von t ü-eien, sowie den mit / 
multiplicirten Tlieil einzeln der Nidl gleich setzt, zwei Gleichungen 
in a*, //, welche genau mit denen übereinstimmou, die man mit der 
Substitution ^ ~ x + y i aus 

r + («1 + i>i 0 I"-' + ■ • • + («„ + 0 = Ü (2) 

abgeleitet hätte. Diesen beiden Gleichungen kommen' dann nach 
dem Fundamentalsatze der Algebra nicht mehr und nicht weniger ' 
als n Paare r e e 1 1 e r W erthe von x, y nämlich a”, , _y , ; ... x„ , ?/„ , zu, 
welche die gewöhnlichen complexen Wurzeln 

■ -Po + *’ 

der Gleichung (2) ergeben, und auch jetzt werden: 

Xi + yi t, ... x„ + y„ I 

«Wurzeln der Gleichung (1) in dem peuen Systeme sein. 

Jene zwei Gleichungen «ten Grades in x, y geben aber dimch 
Elimination eine Gleichung w-ten Gratles liir a*, so dass im Ganzen 
verschiedene Paare zusammengehöriger W erthe *, //, unter ihnen jene 
li reellen gefunden wiTden. Die anderen Paare .r„ + , , y„ ^ , ; . . . .-r», , y„ 
sind gewöhnliche comple.xe Zahlen, welche zu 

+ i + //,+, i, . . . a:,, + //„, t 
vereinigt, jene u Wui-zelpaare 

+ yx l, ... x: + y„ i 

immer wieder erzeugen, itidem die reellen und imaginären Theile 
in ihnen nur anders gruppirt sind. 

Anders aber verhält sich dies in unserem Systeme der /; denn 
die Wurzeln der Gleichung (1) 

Xn + X d" yn + l 1 1 ^ . . X„s ^ 

werden von den Wurzeln 

Xi -|- yx I, ... x. + y,i 

im allgemeinen wesentlich verschieden sein, da sich Glieder mit 
i, I, ?■ I multiplicirt gegen einander nicht aiifheben können. Hieraus 
geht denn hervor, dass in unserem Sy.steme e.ine Gleichung »iten 
Gr, 'wies, wie (1), Wurzeln mit reellen Coefricienten und « (« — 1) • 
Wurzeln mit gemeinen imaginären Coefricienten besitzt (vergl. §. 45). 






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110 



VI. Die büliemn roniplexen Zahlen. 



. . So hat ■/.. B. 
»tio Wurzeln : 




+ 1 ,- 1 , 

Die Gleichung 

hat, wenn man zur Abkürzung: 



+ » f , — 



i t. 



— 1 + j 1/3 . — 1 + 1 1/3 

. " 2 ’ ' '/ 
setzt, die 9 Wurzeln; 

1; a, a®; «, au, a\ a a^, a^. 

Die Gleichung: 




hat die 10 Wurzeln, welche durch Vertauschung der Zeichen aus: 

+ 1, i i i. ii, i i (1 i 0 (1 i <) 

hervorgeheu u. s. w. 

Solche Verhältnisse, wie sie hier geschildert sind, treten in der Qiiater- 
nionenthcorie ein, wenn, geometrisch gesprochen, alle Coefficienten Quater- 
nionen in einer Kbcnc sind und auch nur nach den in dieser Ebene liegenden 
Quaternionen gefragt wird, s. IIamii.ton, Elements of Quaternions. S. 27:') u. fl‘. 

Mit Zahlensystemen, welche aus nur zwei Einheiten gebildet sind, haben 
sich .lOHN T. Gravrs (On a connection between tlie general theory of Normal 
Cmiples and the Theory of Complete Qu.adratic Euuctions of lwo Variables, 
l’hil. Magaz. A])ril 1H45. S. 31;)) und C'aylby (ün algebraical couples, Phil. 
Magaz. Juli 1845. S. 38), aber Ohne sonderlichen Erfolg beschäftigt. 



§• 31 • 

UnbegTenztes commntatives System. 

Ganz andere Verhältnisse, wie die eben behandelten treten ein, 
wenn die Producte der ursprünglichen Einheiten von ihnen selbst 
wesentlich verschieden und commutativ sind und unter 
sich auch in keinen weiteren Relationen stehen, als solchen, 
die aus dem comrautativen Multiplicationsbegriff unmittelbar her- 
vorgehen. Es sind dann : 

> ^2 > •- * * ^*1 

die Einheiten ersten Grades, die - Producte 

*1 *1 , h li , <I tS, <8 1 <2 <3, • • • - 



■ r 



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§. 31. Unbpgrenztcs rommutativps System. 



111 



die Einheiten zweiten Grades, nnd überhaupt die Producte zu je 
m, mit und ohne Wiederlioluugen die Einheiten wten Grades. Fiine 
Zahl in diesem Systeme wird allgemein von der Form : 

« = «1 Zi + ßj Za + f's Z 3 + — 
sein, wo x,, xj, X3 . . . Einheiten ii^end welchen und zwar im Allge- 
meinen verschiedenen Grades bezeichnen. 

Dann lässt sich der für die Rechnnng mit solchen Zahlen 
fundamentale Satz beweisen, dass, wenn ein Product aß, dessen 
einer Factor u nicht Null Lst, vei'schwindet , nothwendig der andere 
Factor ß Null sein muss. 

Um dies zu erweisen, ordne man die Einheiten nach ihrem 
Grade, so da.ss die ersten Grades denen des zweiten u. s. w. voran- 
gehen. In einer Einluut «den Grades, also einem Producte von 
»«Einheiten, denke man sich dieFactoren so geordnet, dass nie ein 
höherer Index einem niedrigeren vorangeht. Dann ordne man 
ferner tlie verschiedenen Einheiten eines und desselben Grades, so 
da&s, wenn man die »ilndices als eine »nzifferige Zahl liest, in der 
Reihe die niedrigere Zahl immer der höheren vorangeht, also z. B. 
wenn 3 Einheiten gegeben sind, würde die Folge sein: 

hl '21 hhi h'-it <i* 3 i 'a'st hht G/j, ii<i/|, ii f| . . . 

so dass überliaupt die kleinere Zahl, welche die Imlices zeigen, 
immer der grösseren vorangeht, 

Denken wii- uns nun in «, ß die Einheiten so geordnet, so wird 

a = «1 X] -F «2 >«2 + • • • 

gesetzt werden können, wo xi eine Einheit irgend welchen Grades 
bedeutet, die niedrigste, welche, in dem von Null verschiedenen a 
erscheint, und ß| von Null verschieden ist. Ebenso wird 

, Al -|- ^2 ^ + • • • . 

gesetzt werden können, wo Ai, Av . . . ebenfalls Einheiten irgend 
welchen Grades sind. Soll dann 

a ß ß«, X,!, Am t ) 

sein, so müssen die Coefficienten der von einander verschiedenen 
Einheiten vei-schwinden , also 

^ !>n = D . • 

sein, wo die Summe über alle Werthe von »1 und » auszuilehuen 



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112 



VI. Oip höhoreu i-oniploxpii Zahlon. 



ist, fiir welche A. das Prixluct dei solben Einheiten darstellt, also 
«lie aus den w Indices von z„ und den h von A„ der Reihe nach zn- 
saiunienge.setzte Zahl immer dieselben Ziffern, wenn auch überall 
in anderer Reihenfolge, entliält. 

Es leuchtet aber unmittelbar ein, dass die eiste dieser (llei- 
chimgen oj = 0 lautet, woraus, da «, nicht Null sein soll, />, = U 
folgt. Setzt man dies in /i ein, so erhält mau dann als ei-ste (llei- 
chung fr, />2 — U, also = 0 u. s. f., q. e. d. 

Es folgt hieraus die allgemeine Eigenschaft eines Zahlen- 
systemes von der jetzt betrachteten Art, dass sich ein Pn>du(;t 
ändert, wenn sich einer seiner Factoren ändert, während der andere 
eonstant bleibt. 

Denn ist — a nicht vei-schwindet, so ist r(/^— /!/')=(); 

da dieses Product aber nach voretehendem nur verschwinden kann, 
wenn dei- Factor {ji — (i) verschwindet, so muss /¥ = // sein. 

Die Division ist also in diesem Gebiete mit Ausnahme des ein- 
zigen Falles, dass der Divisor die Null ist, eindeutig bestimmt. 
Ueherhaupt lassen sich in diesem Zahlensysteme, wie man sicht, alle 
4 Species genau ebenso aiisfiihren, als in dem Gebiete der gemeinen 
complexen Zahlen, mit dem einzigen, aber allerdings wesentlichen 
Unterschiede, dass die Producte der Einheiten nicht auf die, ur- 
spi-ünghchen linear reducirt werden können. 

Vergl. (iBAssMAna, Ausdohnungslehre von 1862, S. 233. 

§.32. , 

Die Addition von Strecken. 

Schon in §. 20 haben wir einen Additionsbegriff von Strecken 
kennen gelernt, welcher vollständig mit demjenigen iibereinstimmt, 
welchen die .\dditionsregeln der comidexeu Z,ahleii (§. 28) gehen, 
wenn wir mit o„ dj, ds die rechtwinkligen Projec.tionen einer Strecke 
n auf drei orthogonale Axen i,, 4, bezeichnen und 
a = d, y, "F dj -f- dj «3 

setzen, wo f, , an Länge der Einheit gleich genommen werden. 
Die Summe zweier Strecken, welche auch bei dieser Auffassung als 
parallel verschiebbar angesehen werden können, ist aus §. 28': 



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§. 33. Die Addition von l’unkten. — Dor I)!iryr»>ntriRchn Oalcul. 1 ]3 

rt + /< = (0i + b,) l\ -f- (Oji + bg) »2 + («3 + bs) 13 

giinz entspref^hend den Regeln des 20. 

Dieselbe Darstellung der Strecken würde auch zulässig sein, 
wenn man die Axen t\, 4, 4 schief gegen einander annühme und 
unter «j, ü 2 , die Projectionen von a auf die Axen resp. parallel 
den Ebenen 4 h, 4 4i h 4 verstände-, die Addition erfolgt dann 
nach ganz denselben Regeln. , 

Welchen Bestimmungen auch die Mnltiplictition der Einheiten 
4, 4 . 4 damit der Strecken unterliegen möge, ihre Addition 
ist in allen Systemen eine und dieselbe. 

§. 33. 

Die Addition von Punkten. — Per baryceiitrisclie Calenl. 

Will man den Begriff der Addition auf Punkte im Raume über- 
tragen, so ist es zunächst notbwendig, den Punkten, nm sie zu 
Grössen zu machen, welche einer Vervielfachung und Theilung 
nach reellen Zahlen a fähig sind, einen Cocfficienten, ein Gewicht 
bcizulegen uml den Punkt yl als einfachen von dem a fachen Punkte 
a A zu imterscheiden, wobei man sich beide an derselben Stelle im 
Raume zu denken hat. Dadurch ist es dann möglich, die Summe 
(1 + C durch denselben Punkt C, aber doppelt genommen, also 
2 C auszudrücken. , 

‘Wollte man 2 C als einen nicht mit C zusammenfallenden l’unkt ansehen. 
sondern als einen anderen, so müsste man offenbar von vorn herein ein geome- 
trisches Gebilde gegeben haben , auf welches die Lage von C bezogen werden 
könnte» Wenn wir aber die Punkte ohne alle solcdie Beziehung, reii^an und 
für sich, im freien Raume betraclitcn, so ist nur jene Interpretation zulässig. 

Was man mm unter der Summe zweier Punkto A , D zu verstehen liabe, 
ist nach dem Priucip der Permanenz zu bestimmen. Dies allein aber reicht ■ 
hier noch nicht aus, vielmehr ji-ird man noch die eben gemachte Voraussetzung 
der gänzlichen Beziehungslosigkeit der Punkte auf irgend welche Ausgangs- 
punkte hiuzuuehoien müssen, um zu erkennen, dass die Commutativität der 
Addition verlangt, dass die Summe {A + Ji) etwas darstelle , was gegen A 
genau dieselbe Beziehung hat, wie gegen li. Setzen wir ferner fest, und dies 
ist die einzige a rbiträre Annahme, dass ,A -(- ß) wieder ein Punkt sei, so • 
erweist sich die Mitte beider Punkte Cals der eiuzig mögliche. Es ist aber 

A + ß = 2 C 

zu setzen, damit beim Zusammenfällen von A, ß mit Csich kein Widerspruch 
ergiebt. ‘ ' 

Haukel, coiupluxe Zahlen. 



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114 



VI. Die höheren complexen Zahlen. 



Um luehrfaclie Punkte zu addii’en, wrd man die.se Operation 
mehrmals auszuführen haben und so zu der Detinitionsgleichung: 
ü ^ + b ü = (a + b) 6' (1) 

gelangen, wo ü auf der Geraden Ä B so liegt, dass die Strecken 

AÜ-.CB = 

Der Begriff der Summe, wie er hier analytisch entwickelt ist, entspricht 
vollkommen der allgemeinen Vorstellung der Addition, als der thetischen Ver- 
einigung von Objecten, welche beide implicite und zu einem neuen Ganzen ver- 
schmolzen enthält. Noch mehr wird er dadurch erläutert, dass C den Schwer- 
punkt der mit den Gewichten a, b belasteten Punkte .1, U mit einem Gewichte 
darstellt, welches der Summe beider Gewichte gleich ist. Der Schwerpunkt 
ist aber nicchauisch der Vereinigung der bcidcu Punkte A , li mit ihren Ge- 
wichten, vollkommen äquivalent. 

Es ist nicht unwesentlich zu bemerken, dass die Gleichung (1) leicht in 
eine solche zwischen einfachen reellen Grössen umgestaltet werden kann. 

Es seien (Fig. 10) durch A, li zwei Parallelen gezogen und auf --1, B dey 
Punkt C in der angegebenen Weise bestimmt, so dass für jede durch C gehende 
Gerade A" B" 

A A"-.B B’ A C-. B C 

Ist nun A' B parallel A" B‘, C C parallel A A', B B , 
so hat man oh»e weiteres: aA" A'+\iB'B—(aA-V)CC', also 
da 0 A A" + bB B'=0, durch Addition 

n -1 A' 4- b Ä /r = (n + b) CO' (2j 

Zieht mau also durch A, B, C Parallelen und schneidet 
diese durch eine Gerade (oder Ebenfl in A', B', C, so wird die 
Gleichung (1) sich auf einfache Grössen beziehen, wenn man die 
Punkte A,B,<J durch die Abschnitte A A', B B, CC‘ ersetzt. 

Sind 3 Punkte A, B, C und 3 Coefficienten o, b, c gegeben, so wird man 
den SAwerpunkt E derselben erhalten, wenn man zunächst den Schwcrjninkt 
D von A uud B, und dann den Schwerpunkt E von Cund D sucht. 

Legt man durch A. B, C, D, E Parallelen in irgend welcher flichtung und 
schneidet sie durch irgend eine Ebene in A', B, C, D', üT, so ist 

- aAA + bBB = (aA-b)DU 

(a -t- b) ü' -f t 6’ C' = (a + b -f c) £ ET 
also 

a A A' b B B Ar c C — (a -F b -F t) £ £’ 

Unter der hier gemachten Voraussctznng, dass (a -F b -F c) nicht Null sei, 
verschwindet jene Summe der Abschnitte somit nur für eine durch £ gelegte 
Ebene. Wäre man nicht von A und B ausgegangen, sondern von B und C, um 
den Schwerpunkt zu bestimmen, so wäre man auf einen Punkt P gekommen 




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§. 33. Die .\(14ition von Punkten. — Der barj-eentrisrhe Caictil. ] |5 

von der Bescliaffenheit, dass für alle durch ihn gelegten Ebenen die Summe 
der Abschnitte auf Jenen 3 Parallelen Null ist. Da dies aber nur für den 
Punkt E statttindet, so ist F identisch mit E,' und daher der Schwer- 
punkt der drei Punkte unabhängig von der Ordnung, in welcher man A, B, C 
miteinander verknüpft. Diese Betrachtungen liefern so den Satz: 

Die Sumnie von drei l’tmkteii ist associativ: 
a vl h ( 0 = (a -|- b -(- r) 

Die Addition genügt also allen formalen Bedingungen, die zu ihrem 
Begrid'e nothwendig sind. 

Einer besonderen Betrachtung bedarf die Summe (1) im Fall a = — b; 
denn dann existirt kein Schwerpunkt für n .1 -1- b /J, oder kein Punkt, welcher 
— .1) gleich gesetzt werden könnte, ausser dem unendlich fernen Punkte 
der (ieraden A B mit dem Coefticienten Null Es wird daher unter (B — A) 
kein endlicher Punkt, wohl aber die Strecke. ■!// verstanden werden können. 
Denn diese ist das einfachste, nicht 2 )unktfürmige Gebilde, welches durch die 
beiden Punkte A, B seihst, ohne alle Beziehung zi«inderen Objecten bestimmt 
ist, und den (Charakter hat, sein 'Zeichen zu ändern, wenn A mit B vertauscht 
wird, Was aber an dieser Strecke durch fZi — A) eigentlich dargestellt sei, 
ob ihre Grösse, Richtung, Ort, wird entschieden, wenn wir die Frage beant- 
worten, welche Strecken einander gleich seien. Aus (Fig. 11) 

B—A^D—C 

aber folgt, wenn die Additionsgesetze allgemein gelten sollen : 

A + 1) = B+C. 

Nun ist .1 -F /.> ^2 E, wo E die Mitte der Diagonale A D des 
R I) Vierecks A B l) C, B -F C=2 E\ wo E die Mitte der anderen 
\ /J Diagonale bezidclmet Da E mit E' zusammeufallen soll, sich also 
/ U, I die Diagonalen halbiren müssen, so ist das Viereck ABDC ein 
/ /V / Parallelogramm. Mau hat daher B — A — 1) — C, wenn die 

// y Strecken .1 B, CD gleich lang, gleichgerichtet und parallel sind. 

A C Es stimmt also die sich so ergebende Definition der Strecken 

Fig 1 1 ohne diese Rechtfertigung benutzten überein. Alle 

einander gleichen Strecken haben denselben unend- 
lich fernen Punkt, als dessen Repräsentanten sie angesehen werden kön- 
nen. Die, .\ddition der Strecken ergibt sich aus der Identität: 

(C— B) + (B — A)‘=: V— A oder BC+ AB = AC 
ganz gleich der in §. 20 gelehrten. 

Was man unter der Summe eines Punktes A und einer Strecke a zu ver- 
stehen habe, ersieht man sofort, wenn mau n mit sich parallel verschiebt. So 
dass a — B — .d ; dann ist AAra=B. 

Wenn 

nti /] -j- ra^ = m .1/, iH] + m, = m 

'S* 






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116 



VI. Die liölicren complexen Zalilen. 



so liegt M mit 4, 4 in gerader Linie, und umgekclirt: Liegt M mit 
/,, 4 in gerader Linie, so kann das Verhältniss ni, : nur anfeino 

Weise dieser Gleichung entsprechend angenommen werden. 

Wenn 7,, 7j, 7j nicht in gerader Linie liegen und 
m, /| -|- 7^ + nij 4 = m d/, iii, -|- nij + iiij = in 

ist, so liegt M mit 7t, 4> h ''i einer Ebene, und umgekehrt: läegt 
J/ mit 7i , 7j , /s in einer Ebene, so können die Verhältnisse m, : iiij, : mj 
nur auf eine Weise dieser Gleichung entsprechend angenommen 
werden. Denn sei Z der Durchschnitt der Linien 4 4 

kann man die Verhältnisse m, : iiij und iiti : m nur auf eine Weise so 
bestimmen, dass: 

n>i 4 + »'s 4 = ("h + "'ä) 
nij 7s — m .1/ = (nij — m) Z 

Addirt man beide Gleichungen, so erhält man den obigen Ausdruck 
von .1/ durch /i, 4» 4> "’enn yian 

nij + -|- itij = nt 

setzt, also etwa das Verhältniss nt^rmj hieraus bestimmt. 

Wenn 4 t 4> 4t 4. *'7 fünf beliebige, nicht in einer Ebene 
liegende Punkte sind, so lassen sich die Verhältnisse mi:m2:ni;,;m4 
nm’ auf eine Weise so bestimmen, dass 

m, 7, + nij 4 + '"3 4 + 4 = 

Denn schneidet /, M die Ebene 4 4 4 'h Z, so können die 
V'erhältuisse ntj:mj,:iii;, und ni4:in mir auf eine Weise so bestimmt 
werden, dass: 

in, 7, + nia 7j + 4 = (nti + + 11 I 3 ) ^ 

ni4 4 — = ('"4 ~ "0 Z 

und bestimmt man jene nt, : 1112:1113 : in,: m so, dass 
in, nij -f- nt, = m 

so erhält mau obigen Ausdruck durch Addition jener Ililfsglei- 
chungen. 

Aus allem diesem folgt das Porisma: durch 2 Punkte in einer 
Geraden, 3 in einer Ebene, 4 im Raume kann jeder Punkt resp. der 
Geraden, der Ebene, des Hauines linear dargestellt werden. 

Nimmt man nun /, , 4 < 4 1 4 «'ils 4 feste Eundamental punkte 
im Riunie an, amd stellt jeden fünften Punkt J7 durch 



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§. 3;3. Din Addition von I’unkten. — Dnr barycentrische Calcul. 



117 



m .1/ = nii y, + in^ ^ /g + 1114 U (3) 

m == m, + m. + 1113 -f 

tlar, so wird naclt (1) die Addition desselben zu dem Punkte 

n N = iij /j + Hg 7a + ng 7g + l^ 

in der Form: 

m J7+ niV= (m, + ii, )7i 4- (nig + n^) /, + (nig + 1I3) 7g + (m, + ng) /« 

vollzogen — also genau iiacb den Regeln des §. 28. Man kann so- 
mit, wenigstens fiir die Addition, 7j , /g, /g, l^ als 4 complexe Fan- 
heiten und jeden Punkt iui Raume als eine aus ihnen linear abge- 
leitete coniplcxe Zahl ansehen. Fine entsitrechende Multiplieation 
werden wir in §. 38 kennen lernen. 

llezeiehnet 7i’ irgend einen Punkt, so erhält mau, wenn man 
von vörstehender Gleichung (3) die Identität 

m It ~ iiii Ti + nig ii? + "'3 7? -p -ß 
abzieht, die Formel (4) : 

m (.1/— 7?) = mi(/i— i?) + mg(72— i?)4-mg(/3 — //) + m4(/4 — Ä) 

AVenn m = 0 ist, so ist M kein endbeh entfernter Punkt, son- 
dern eine Streckt'; und es ist - r 

llll 7i + nig /g + Itlg 7g + Hl* 7g = tll, — .R) + Big (7g — R) 

ntg (/g — R) 4- tilg (7g — R) 

Setzen wir R = so wird daher jede Strecke durch drei Strecken 
h h> h A) A A dargestellt werden können, womit man auf das 
Coordinatensystem des §. 32 zuriiekgefuhrt wird. 

Selbstverständlich stellt die Summe : 

m A/ = m, /, + ... + in» 7», m = m, + . . . + m» 
den m fachen Schwerpunkt A/ der mit den Gewichten m, . . . in« belasteten 
Punkte /, . . . 7» dar. Wo auch 7? liege, immer ist 

m (A7 — 7f) ^ m, (7, — Ä) ,-P • • • + nin'(7„ — 7?) 
d. h. Verbindet man die Punkte 7, ... 7, mit 77, trägt die m, , . , . m» fachen 
Strecken 7? 7, , . . . /7 7» von U an, der Beihe nach stetig an einander ab. ohne 
ihre Richtung und Länge zu verändern, uud schliesst das noch offene wind- 
schiefe Polygon dureil die V'erbiudungslinie des letjtcn Endpunktes und des 
Anfangspiuiktes 77, so gellt diese letzte Seite durch den Schwerpunkt M des 
l’unktsystcmcs der 7 uud ist an Länge das m fache der Linie 77 A7. 



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118 ■ VI. Die höheren complexen Zahlen. 

Ist m = 0, so rttckt jener Punkt M in’s Unendliche, und es stellt 
(m, /] + . . . + m. /„) eine nach diesem tterichtctc Strecke dar. Da daun ; 

m, /, + ... m« /« = m, (/, — /O + • • + »>» (/■ — !i)y 
so ist jetzt die Summe rechter Hand eine an Länge und Richtung constantc 
Strecke, wie auch R angeuommen werden möge. — 

Auf diese Priucipien gründet sich der baryceii tri sc he Calcul" 
(1827) vonlJöuics, das System der eheiien Dreijmiikt- und räumlichen Vier- 
pUnkt-Coordinaten Krscheini auch hei ihm die (ileichung il) nur als eiue al>- 
gdrOrzte, insofern sie durch die ohigeu Deinerkungen in (ileichung (2) zwischen 
gewöhnlichen reellen Z.ahlcn verwandelt wird, so ist doch jede natürlich sich 
darbieteude Abkürzung eine nicht zufällige, sondern nothwendige und ihre 
Kinfühning ein wissenschaftliclier Fortschritt, ln unserer Entwickelung be- 
darf es keiner weiteren F.rhiuteruug, dass wir die vorstehends erläuterte Addi- 
tion als die der Punkte seihst hezciclinen; wenn nur noch weiter eiue geome- 
trische Operation gefunden werden kann, welche zu dieser Addition in der 
Beziehung derMultiplication steht. Eine solche wird in §. 38 gegeben werden — 
Möbius hat (Ueber e. neue Bebandl. d. anal. Spbärik, in den Abhandl. 
herausgeg. v. d. Jablonowski’sclum Ges. Leipzig 184(1, 8. 47, vergl. auch: 
Ueber d. Grundformen d. Lin. 3. ürdn. , in den Abhandl. d. Kön. Sachs Ges 
Bd. I. Leipzig 1852, S. 25) ein sphärisches Coordinateiisystcm aufgestellt, wel- 
ches dem barycentrischen ln der Ebene vollkommen entspricht. Es seien 
.,4, B,C,D... Punkte einer Kugel mit dem Mittelpunkte O, so setzt er: 

n^l + bB = tC' ,(1) 

wenn die Resultante der nach A und li gericlttetcn , in O angreifenden Kräfte 
mit den Intensitäten n und b, nach 6‘ gerichtet und von der Intensität t ist 
Es ist dieser Begriff der Summe von Kugelpunkten gewissermasson die Pro- 
jection des Begriffes der Summe von Strecken, auf die Kugel, und in der That 
kann vorstehende Gleichung sofort in eine, auf Streckcu bezügliche verwandelt 
werden, indem man überall O hinzufügt : 

a.OA-^\).OBy^t.OC (2) 

Es geht hieraus hervor, dass man jeden Punkt M der Kugel durch drei Funda- 
mentalpunkte 7|, /j, /s in der Form: 

mi /i -f- nia -F m, /a m M (3) 

darstellen kann , womit man ein höchst brauchbares homogenes , sphärisches 
Coordinatensystem erhält. Mau kann überdem zeigen, dass letztere Gleichimg 
sich in eine addere zwischen reellen Grössen verwandeln lässt, indem sie 
gleichzeitig mit 

nii cos 7i -F m» cos 7j + Wa cos i? 7a = m cos Ä Af (4) 
besteht, wie auch der Punkt H auf der Kugel liege. Diese Gleichungen 1, 2, 3, 4 
entsprechen, wie man sie^t, vollkommen den ebenso bezifferten des Textes. 



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SIEBENTER ABSCHNITT. 

Theorie und geometrische Darstellung der 
alternirenden Zahlen. 



§. 34 . 

Reine Theorie der alternirenden Zahlen. 



Wir betrachten in (iies*cm Abschnitte Zahlen a, ß, ... welclie 
linear aus Einheiten <i, . . . /, zusammengesetzt sind, deren Multi- 
plicationsregeln in den Relationen 

'i 'i == 0, /j <3 = 0,... /, /, = Ü 

tm " fn tk 

ausgesprochen sind. . Mau sieht, dass, wenn «, ß Zahlen sind von 
der Form: 

Of = rt, <1 -+-... + 

= ''^1 0 + . . • + ^» <» 

das nach den S. 1 0 l^gebenen Multiplicationsregeln gebildete Product 

O /? = («! A* «3 Äj)<l<2 +(«1^3 «3 /''i)'i<3 +••• +('*1 

« 3 ''-’ s ) <2 < 3 + •••+(« 2 ^'’» 



sein wird, und daher; 



+ nnbn-l)ln-lln 



a.ß= — ß.a, 

wie man leicht sieht. Ein Product kehrt überhaupt sein Zeichen 
um, wenn zwei aufeinanderfolgende Factoren desselben mit ein- 
ander vertauscht werden. Will man zwei nicht aufeinander folgende 



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120 



VII. Alternirende Zahlen. 



Factoren a, ß .eines Productes, zwischen denen m Faetoron stehen, 
vertauschen, so denke man sich ß mit dcili nüchstvorhcrgelienden 
I'actor, daun wieder mit dem näch.stvorhergelienden u. s. f. ver- 
tauscht, bis ß vor o zu stehen kommt; bei diesen (m rj- 1 ) Ver- 
tauschungen hat das Vorzeichen des Productes {711 -|- l)mal ge- 
wechselt. Vertauscht man jetzt weiter u mit dem nächstfolgenden 
Factoi- u. s. {., bis es die ursjn iingliche Stelle von ß einnimnit, so 
liabeii a, ß ihre Stelle vertauscht und das Product hat l)mal 

sein .Zeichen gewechselt. Dim h Vertauschung zweier Facbjren 
nimmt also ein Product jedei'zeit den entgegengesetzten Werth an. 
Die aus denselben Factoren durch Permutation zu bildenden Pro- 
ducte zerfallen in zwei Classen, welche sich durch das Vorzeichen 
unterscheiden; die gerader Classe gehen aus tler urspi'ünglich fest- 
gesetzten Reihenfolge von Factoren durch eine gerade Anzahl von 
\'ertauschungen je zweier Factoren hervor; die ungerader Classe 
durch eine ungerade Anzahl solcher Vertauschungen. Die Bestim- 
mung der Classe, zu welcher eine Permutation der Factoren gehört, 
kann auf mannigfache Weisen geschallen, wie man ches in der 
Theoiie der Determinanten *) auseinanderzuset^en pflegt. 

Sind zwei Factoren eines Productes einander gleich oder unter- 
scheiden sie sich nur durch einen gewöhnlichen Zahlenfactor, so 
verschwindet das Product, da aus ß a — — u ß für ß — a 

a o = 0 

folgt, was auch a sei. Die zur Bestimmung der Einheitsprbducte 
gegebenen Gleichungen gelten, wie man hieraus ersieht, auch für 
linear aus ihnen gebildete Zahlen, und diese charakteristischen 
Eigenschaften werden den Namen „alternirei|des Zahlensystem“, 
wdchen ich ihnen beilege, hinlänglich rechtfeil^en. 

Die Division ist in diesem Systeme unbestimmt. Denn es ist 

^ /S == (? -F '« fi) (i 

wenn m eine gemeine coniplexe Zahl .bedeutet; ist^lso ein der 
Gleichung ^ ß*^ y genügendes ^ gefunden , so ist 




ihre allgemeine, und daher unendlich vieldeutige Lösung. 
*) Bai.tzbr, Determinauteu, b. 1^5. 



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§. 35. Zerlegung der Detcrmiuanteii in Producte. 



121 



* §• 35. 

Zerlegung der Deterininaiiteii in Producte. 



Das Product von n Fuctoreii: 

■ («1,1 n + . . . + «n,l I») . . . («1,» ll + • • • +' ««.« /.) 

^ «ei. * * * • «e«. n ^Pi • • * ^Pn » 

wo in der Summe )h . . . alle Combinatiouen der Zahlen !,...« 
zu durchlaufen haben, rcducirt sich auf einen hekannteii Ausdruck. 
Da nämlich /p, ... /p„ = 0 ist, sobald in der Combination pi ... 
dieselbe Zahl zweimal ei’scheint, so hat man in der Summe nur alle 
Permutationen ohne Wiederholung zu hiklen; und da • 

. /p, . . . /p„ i /i ... , 

je nachdem />,, ... p„ eine aus 1 , . . . w abgeleitete Perinutation ge- 
rader oder ungerader Classe ist, so erhält man nach dem bekannten 
Bildungsgesetze der Detcnuinanten: 



(«1.1 «1 + • • • + H„.i l„) . . . («1.» <, + ... + i„) — 



«1,1 


«12 . 


. «i,„ 


«a,i 


(t.j2 . 


• ««.» 



( 1 ) 



• Es wird also durch die alternirendeu Zahlen eine allgemeine 
Determinante nten Grades in a lineare Factoren zerlegt. 
Es ist ferner : 



(«1,1 <1 + • • • + «»,1 »«)■■• (c«l,m tl + • • • + «».m l«) — 

^ «p,,I • • • «Pro.™ Ipi • • • Ipm (■^) 

WO /!,... p„ alle Combinatiouen der Zahlen 1 , . . . n mit Wieder- 
holung durchlaufen. Ist m > « , so werden in dem Producte 
h, • • • ip« **tcts einige Factoren gleich werden, und es ist daher 
jenes Product der Null gleich; ist n — m, so erhält man (1); ist 
m <; w, so hat mau für /'i . . . p„ alle möglichen Gruppen verschie- 
dener //«Zahlen aus der Reihe !,...« zu setzen und diese unter- 
einander zu permutiien, so dass mau die Summe in (2) 



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122 



VII. Alternirende Zahlen. 



«p„l 


«p,.ä •• 


«p,," 




> 


«P-Ti 


«p».« • 


• 

* 







( 3 ) 



erliält, wo ... um- alle verschiedenen Gruppen' von /«-Zahlen 
aus !,...« ohne Wiederholung bedeuten. Multiplicii't man vor- 
steliende Gleichung mit: 

(«I <1 ■!-•••+ “».m+l /»)••• («1., <1 + • • • + /,) = 

+ > ••• 

V I / 

SO findet man den LAPLACE’scheu Determhianteusatz : 



«1,1 ■■■ «1,. 

«»,1 ••• «^» 



«P,.i ■ 




. 


+ 1 * 


• |.» I 


1 «iwl • 


• * »» 




■ + 1 * 


■ •» 1 



worin e = + 1, je nachdejn ... /p„ eine aus /i . . . /. 

abgeleitete Permutation gerader oder ungerader Classe ist. 

Ebenso leicht ergeben sich die anderen fundamentalen Deter- 
minantensätze : Ist 

üti == «1,1 <1 + ... + <I,.I ln 



«1 . . . O, = 

Setzt man ferner; 

/?!= ^1,1 



(in ^l,n «1 "P * • • ^ln,n «n 

SO hat man, da auf ganz dieselben Regeln wie auf i, . . . i„ 

angewandt werden können: 



/l + . . 


. + o» 


j «1,1 • • 

I . . 


. o»,i ' 


1 «1.» . . 


• ^'n, « 


Ol + • • 


. + in 



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§. 36, Zerlegung der Determinanten in Producte. 



123 



also 



I 6,., I 

ßi ... /9„^= I . . . 

1 ^ 1 ,» . . . 1 



ß,... ßn = 



^1,1 ... 1 1 j ^tl, I . . . I 



fll.n . ■ ■ !>,.n ' I «l.n . . . 

Die SuI)stitution der a in die ß aber liefert : 

ßi == «1,1 /, + ...+■ «»,1 i„ 



ßn = « 1 , 1 . h + . . . + «».« In 

WO allgemein 

= (Im.l f>l,k + (Im.i ^a.» +...-}■ lim.n A„,» 

Da nun 

] « 1,1 ... ««,1 

ßl . . . ßn j . . . ^ l\ . . * In 

\ ^I, 1 » ■ • • ^ii,n 

erhalten wird, so gibt die Yergleicbung der beiden Wefthe von 

ß....ßn: 



^-'l, 1 • • 


. C.,1 I 


Kl- 


• .. Kl 


'■ l'l.l . . 


• . I'n.l \ 

j 


• 


. . ) 




• • 


• * 




n • ' 


■ • ! 1 


Kn . 


. . Kn 


l 

1 «1.» . 


• . I'n.n \ 



den Satz von der Multiplication der Determinanten. 

Nichts ist leichter, als mittels dieses Zahlensystcmes die Eli- 
mination aus einem System linearer Gleichungen zu vollziehen. 
Seien; 

«1,1 a-i + . . . -f- n«, 1 a;. == l/i j 

ai.n Xl + . . . + Un,n X„ = />„ ( 

gegeben, so multiplicire man die Gleichungen der Reihe nach mit 
1^ ... i„ und addire. Dann hat man 

«1 + . . . -t- J n a„ = ß 

"enn a,., i„ = «, . 



i'n.i /i + . . . + n«,i. = «« ( 

h -h . . . + ^In ln = ß 



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124 



VII. Alteniirende Zahlen. 



.Tj «1 «2 



also 



3-1 



t wird. Durcli 
erhält man 


1 Multi])lication 


dCi tii «s 




= (tf ftj . 


• - «« 


1 ^i.r- . . 

j 


a.,x 1 


\f>X .. 


• 0«,l 


1 «1.. . . . 


i 


K -- 


- ««,. 



Diese wenigen ]k'isj)i(4e werden genügen, um ilie Eleganz und 
natnrgeinässc Leielitigkeit , mit weüdier das alternironde Zalden- 
syslem die Sätze der Determmantentlu'oi'ie abzuleiten erlaubt, in 
helles Licht zu setzen. 



§. o6. 

Die MiiIti|di(‘atio]i zweier Strecken. 

Die Multiplication der coiiiplexen Zahlen, wie sie in vor- 
stehenden SS- im Oebiete des Intelleetuellen ausgefiihit wurde, 
hat in der räumlichen wie- in der luechanisclien Anschauung ein 
vollkommen angemessenes Substrat. — 

U uter dem Producte zweier Strecken a . h verstehen 
wir den Flächeninhalt des von ihnen gebildeten Par- 
allclogrammes in Bezug auf seine Grösse und die Lage 
seiner Ebene; d. h. wir setzen af> = ccl, wenn da.s Parallelo- 
gramm, welches die Strecken n und /> bilden, dem aus 

7]'^ den Strecken c . d gebildeten Parallelogramme nicht 

I ^ ^ allein an Grösse gleich ist, sondern auch beide in 
0'- a ' j J jiarallelen Ebenen liegen, und einerlei Sinnes sind; 
Eig 12 zwar setzen wir(Fig. 12), wenn ü A — a, A li = h 

gemacht wird, . 

ah=0 A.j\B = ’1.0 A li 



Yio O A B den Flächeninhalt des Dreieoks in dem durch die Folge 
der Buchstaben ausgedriiekten ^inne bezeichnet. 

Ein Parallelogramm, insofern es durch ein Streikenproduct 
dargestellt wird, kann in seiner Ebene gedreht, in eine parallele 
Ebene verlegt und in scyier Gestalt beliebig verändert werden, 
wenn nur dabei seine Grösse (mit Rücksicht auf seinen Sinn) nicht 



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§, 36. Dip Multiplication zweier Strecken. 



125 



geiiiidert wird. Vertausdit man din Ftirtoren eines Prodnetes a />, 
so wird der Sinn dos l’arallelograinnies in den (mtgegengesetzten 
verändert, denn um /> a. zu bildon, wird man (Fig. 12) A = <> 
u = 0 H setzen und dalier b a = O C . C Ji — 2 . 0 C It, so dass 

ab — — b «; 
dass ferner <t n =0, leuelitet sofort ein. 

Man kann das "Wesen tänes Produktes u b sehr anscliatdieb 
durcli seine .\xe, d. h. eine auf der jntsitiven Seite seiner Ebene 
errielitete Strecke darstellen, welche eine dem Fläcbeniidialte des- 
selben gleiche Länge hat. Dieselbe kann dann wie eine Strecke 
mit sicli {»artdlel im Raume verschoben werdtm, ohne dass sie auf- 
hört, dasselbe Streckenimoduct zu bezeichnen. • 

Unter der Summe zweier Parallelogramme versteht 
man das Parallelogramm, dessen Axe die geometrische 
Summe der .\xen jener ist. 

Es Lst leicht nachzuweisen, dass jetzt das distributive Princip 
a {b c) — a b a c 

erfüllt ist. Um nämlich a {b -|- c) zu bilden, wird mau zunächst 
die Strecken a, b, c mit ihren .Anfangspunkten zur Coincidenz 
bringen; dann ist b+c=d die Diagonale des aus b, c con- 
struirten Parallelogi’ammes , die man mit a zu. einem Parallehv 
gramme zu vereinigen hat, um ä(b -f- r) zu finden. Um dasselbe 
in ein Rechteck zu verwandeln, ju-ojicire man //, d senkrecht 
auf eine durch ihren gemeinschaftlichen .Anfang gehende, gegen n 
senkrechte Ebene, in //, c', </'; dann bleibt (t = b' + d und es ist 
das Parallelogramm a d' = u d, also a {b -f- c) = o (// -f- <■'), und 
da auch a b' = a b , a c = q c , so hat man jetzt nur die Gloicluing: 
a {// f'*') == u !/ -f- a c 

wo //, d senkrecht gegen a stehen, nachzuweisen. Die .Axen von 
n h\ a d stellen senki'eclit auf’ diesen Ebenen um! sind jiroportional 
den absoluten Werthon .jener Strecken //,«'; die Diagonale, des 
von die.sen Axen gebildeten Parallelogrammcs, also die Axe von 
(« // -|- fl c'), steht daher auch senkrecht gegen die Diagonale </', 
ist an Länge iiroiiortional der läinge von tf, und ist somit die Axe 
von a {b' -J- c'); cp e. d. 



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12G 



VII. Alteriiirende Zahlen. 



Durch (lio Reduction der Addition von Streckenproducten auf 
die ihre!' Axen ist die Comiuutativität und Associativität oline wei- 
teres erwiesen, und man kann daher mit Strecken und Strecken- 
proiluctcn ganz nach den allgenieiium fonnalen Kegeln der Addition, 
Suhtraction und Multiplication operiren. 

Mau sieht sofort, dass Streckenproductc genau die Eigenschaften der 
Kräftepaare (der .,coiiples“ 1 ’oinsot’s) besitzen und dass (Fig. 13) unter 
u h ein Kräftepaar mit der Kraft A li an dein 
schiefen llebelarnTe O A verstanden werden kann, 
wenn a ^ OA, h ^ A B gesetzt wird. Kräfte- 
paarc können beliebig in parallele Ebenen ver- 
schoben, gedreht und in solche mit anderen 
Kräften und Hebelarmen verwandelt werden, 
wenn nur dabei das l’rwluct aus Hebelarm in 
die Intensität der Kraft constant bleibt. Letz- 
teres, das Moment des Kräftepaares, wird durch das Parallelogramm (/ A UC 
bestimmt. Die meehanische Zusammensetzung von Kräftepaaren besteht in 
der geometrischen Addition der entsprechenden Parallelogramme. 

Jeile Identität zwischen Streckenprodukten liefert so zugleich einen geo- 
metrischen und mechanischen Satz ; 

Man hat z. B. nach dem distributiven Principe : 

(ö — b){b — c) = ab — ac — b b A- b c 

und da 4 6 = 0 

(a — 4) (4 — c) = a4-|- bc Ar ca 
Ist rt = O A , b ^ O B , c = O C, so ist 

ab^OA.OB= AO .0 B = - -2 . AO B = '^1 .0 A B, 

. bc^2.0BC, ca ^2.0CA 

und a — b^OA— OB = BA, b-c=OB - OU= CB, 

(a — b) (4-c) = 71.4 . CB === A- AB. BC== + 2.A BC, 
also : ABC^ O ABA- OBC’A- 0 CA 

so dass jene Identität den Satz liefert: 

Die geometrische Summe dreier Flächen eines Tetraeders 
ist gleich der Grundfläche. Oder: Drei Kräftepaare, deren Momente 
dui'ch die drei Seitenflächen eines Tetraeders dargestellt werden können, 
setzen sich zu einem Kräftei>aar zusammen, dessen Moment der Grundfläche 
gleich ist. 

Man beachte, dass di^ Dreiecksfläche A'B C für einen sich auf die 
äussere Seite des Tetraeders stellenden Beobachter von entgegengesetztem Sinne 
als OAB. OBC, OCA ist, und man hat daher den Satz: die Summe 
der Flächen eines Tetraeders ist N 14 II. Hieraus folgt ohne Weiteres 
der entsprechende Satz für ein irgend welches Polyeder, oder: Ein System 

i 




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§ 37. Die Multiplication dreier Strecken. 



127 



von Kräftepaaren, deren Momente durch <ie r'lächen eines 
Polyeders dargestellt werden, und welche, wenn man alle Flächen von 
einerlei Seite betrachtet, in’sgesanmit einerlei Sinu haben, ist im Gleich- 
gewichte. 

Die Strecken als Zahlen. Dass der hier atiseinandergesetzte 
Begriff iles Productes zweier Strecken a, h mit dem zusammen- 
fiillt, welcher den Zahlen des §. 34 ziikommt, ist leicht zu zeigen, 
denn aus 

a == a, i\ 4- flj 4 + »3 4 1 ^ = '’i 4 + 4 + h,i 4 

tindet man nach den dortigen Besfimmungen : 

a b — (a, b.,j — b,)' 7 , 4 + (üa bj — 03 b^) i’a 4 + ("a W — “1 4 4 

Die Coefticienten der Einheitsproducte stellen die Prqjectionen des 
aus a, b gebildeten Parallelogriimmes auf das rechtwinklige Coor- 
dinatcnsystem 4 4 , 4 4 1 4 4 '’f i'- Zwei Producte a b und c d sind 
dann einander gleich, wenn diese Projectionen gleich sind; dann 
aber sind in der That die ohen für die Gl^jhheit zweier Strecken- 
pruducte gegebenen Bedingungen erfüllt. 

§.37. 

Die Mnltiplication dreier Strecken. 

Unter dem Producte dreier Strecken a.b.c verstehen 
wir das Parallelepipedum, welches aus diesen drei 
aneinandergelegten Strecken gebildet wird, seiner 
Grösse nach, d. h. wir setzen abc = def, wenn die beiden 
Parallelepipoda .an absoluter Grösse und dem Zeichen (dom Sinne) 
nach einander gleiclu .sind, indem dabei ihre Gestalt und ihr Ort 
im Raume ausser Betracht kommt. — Man wird hienach, um « b c 
zu erhalten, 

• , a = ü A , b = A B , c — B C 
und daun 

nbc = 0 A.AB.BC={j.O A B C 

setzen, vio O A B C das Tetraeder bezeichnet, seinem Inhalte und 
seinem Sinne nach. 

Dass man dann unfer der Summe solcher Parallepi])eda die 
Summe ihrer Volumina, mit demselben oder entgegengesetzten 






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128 



VH. Altcriiirpiide Zahlen. 



Zeiclien, je naclirftni sie einerlei oder entgegengesetzten Sinnes 
sind, in gewölinliclier Weise zn verstellen habe, and daher die Coin- 
imitativitiit und Assoeiativitiit eifüllt ist. bedarf keiner Erliluternng. 

Aus den bekannten Sätzen üIku' das Zeichen des Inhaltes «ünes 
Tetraeders geht sofort liervor, dass a .i .c sein Zeichen wecliselt, 
wenn zwei benachbarte Factoren ihre Plätze wecliseln, also 

a b c. = h <' a = c a h = — a r b = — b ur. — — r.ba 

Ferner verschwindet das Product, wenn zwei seiner Factoren 

% 

einander gleich werden. 

Dass das associativc Princip « {b c) = (« b) c ertullt ist, liegt 
auf der Hand, und es bleibt nur noch das distiibutive Princip zu 
erweisen. Man hat 

a b {c -{■ d) = a b c a b d-, (1) 

denn man denke sich der Einfachheit wegen ah 'm ein Rechteck 
verwandelt, und übei^|fe die Strecken so verschoben, dass a, b, c, d 
einen gemeinschaftlicnm.Anfangspunct haben; dann hat das Parallel- 
epipedimi ai(c -p cf) als Grundfläche af>, als Höhe aber die Pro- 
jection von (c + d) auf ein , auf a b errichtetes Perpendikel. Da . 
die Projection von (c + c7) aber gleich ist der arithmetischen Summe 
der Projectionen von c und d auf jenes Perpendikel, so ist in der 
That ab c + ab d gleich dem einen Parallelepipedum ab{c -j- d). 

Was den anderen Fall des distnbutiven Piincipes betrifft, 
welcher das Product a {b c + d e) entwickelt, so kann dieser leicht 
auf den vorstehenden zuriicjcgeführt werden, indem man mit / eine 
Strecke der Durchsc.hnittslinie der ’heiden J*ibenen bc, de be- 
zeichnet, und b c =f(f, d e —fh macht. Dann ist i c -f- cf e = 
/</ -f- f h + b) und « (f> c -J- d e) = a f(^ -f- h) , dies ist 

aber nach (1 ) = nf<J + a f h = ab c. -|- ade, also 

a {b r d e) — a7) r a d e (2) 

I lamit ist die Zulässigkeit dieses Degriffes des Productes dreier 
Strecken durch die EiTullung aller formalen ^'erknii])fungsgcsetze 
dargethan. 

Das Product von 4 Strecken hat keine geometrische Bedeu- 
tung und kann durchaus der Null gleich gesetzt werden. 



» 



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§. 37. Dio Multiplication dreier Strecken. 



129 



• So haben wir ein System alte'mirender ' Operationen mit 
Strecken gewonnen, welches überall nach dem Principe der Per- 
manenz der arithmetischen Gesetze gebildet ist, soweit dies die 
Rücksicht auf die Lage tler Strecken möglich ' machte. Es darf 
dieses System als die consefiuente Umgestaltung des der Eukli- 
dischen Geometrie eigentliümlicheu angesehen werden, insofern 
eben auch in letzterem das Product zweier Strecken einen Flächen- 
raum, das dreier einen körperlichen Raum, das von vieren aber 
kein geometrisches Gebilde Imdeutet. 

An Anwendungen hat die Interpretation des l’roductes dreier Strecken 
keinen Mapgel. Es mag hier nur eines Satzes beispielsweise gedacht werden. ^ 
Setzt man : 

a b ^ c (I + ef + y h + . . . 

so ist a b das aus cd, ef, yh, . .. resultirende Kräftepaar, Man denke sich 
• die Ebenen der Kräftepaare sänimtlich dtirch einen Punkt O gelegt, von dem 
aus man die bdiebige Strecke O X = x ziehe. Die Identität : 

^ abx = cdx + e fx + </ * + . . . 
gibt nun den schönen Satz: 

Bei einem Systeme von Kräftepaareii im Raume", deren Ebe- 
nen sich in Einem Punkte O schneiden, ist die Summe der Pyra- 
miden, welche irgend einen Punkt A‘ zur gemeinschaftlichen 
Spitze haben, und deren Grundflächen in den Ebenen der 
Kräftepaare Hiren Momenten proportional sind, gleich einer 
Pyramide mit derselben Spifze und einer Grundfläche, die in 
der durch O gelegten Ebene des resultirendeh Paares enthal- 
ten und dessen Momente proportional ist. 

Die Strecken als Zahlen. In dem Zahlensysteme des §. M 
wird das Product der drei Strecken (vergl. §. 32) * ' 

a = «1 »1 + «2 *» + *3 , . 

i = bl t\ + bg tg 4- bg i'i 

C = Ci -p Cg lg -p fs lg ^ 

durch die Determinante : 

Sg dg 

l>i kg bg 
fg tg 

ausgedrückt, welche nach bekannten Sätzen den sechsfachen In- 
halt des von jenen drei Strecken gehildetou Tetraeders darstellt. — 
Das Product von vier Strecken ist jederzeit Null. 

H&uk ül, cumpliixe Zahleu. , 9 




h h h 



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130 



VII. Altcrilircude i^tlilnii. 



Unsere obigen Propositionen stimmen liiernach genau mit den ' 
frühei' festgesetzten Eigenscliaften jenes alteniirenden Zablen- 
systemes überein; man kann letzteres daher als eine systematische 
Nomenclatur für die Punkte im Raume ansehen und die gwime- '' 
trischen Verknüpfungen dundt algebraische ersetzen. Umgekehrt 
liefeni die geometrischun Operationen ein anschauliches Sub-strat 
für die inteUectuellen oder formalen Operationen des Zablen- 
systemes. 

I . ■ ' ‘ 

§.38. 

Product zweier Punkte. r 

Der in §. 33 gelehrten ,\ddition mehrfacher (wler. einfacher 
Punkte entspricht folgende Mnltijdication: U n ter dem Pi'oducte 
A . B zweier einfachen Punkte verstehen wir das Oeraden- 
stück A B nach seiner Länge jund insofern es der Oe- 
raden .1 B angehört, d. h. wir werden zwei Producte A B und 
CD dann und nur dann als gleich ansehen, wenn sic gleich lang 
sind und gleichen Simies auf einer Geraden liegen. , 

Ein solches Product A B uutem:heidet sich wesentlich von 
einer Strecke, w'elche mit sich selbst parallel verschoben werden 
kann; wir- werden zum Untei-schiede ein solches,* nur in seiner 
Geraden verschiebbare Stück A B ein Geraden stück nennen und 
müssen uns in den folgenden Untersuchungen hüten, die Hezeiclmuug 
eines solchen Geradenstückes mit der einer Strecke zu venvechseln. 
Wenn dip Geradenstücke AB — CD, so sind auch die Strecken 
B — A — D — (/' einander gleich, nicht abw nmgekehi-t; denn 
letztere Gleichung i.st schon erfüllt, wenn die Strecken nur ijarallel 
und gleich sind; erstere verlangt ausserdem noch, dass sie auf einer 
und derselben Geraden liegen. 

Der Definition nach gelten die Gleichungen 
A B ^ — B A, A A = 0. 

Das Product zweier mehrfachen Punkte setzen Wil- 
li rf . b 71 = a b . .d 71. 

Kin Geradenstück kann als Mepräscntaiit einer statischen Kraft betrachtet 
werden, die ihrem Begriffe nacli einer anderen iiguivalent ist. wenn beide aut 
derselben Geraden liegen und an Intensität gleich sind. . 



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§. 38. Product zweier Punkte. 



131 



Die Summe zweier Stücke AB und CD (Fig. 14) von 
iieraden, welclie sich in einem Punkte (> schneiden, wird 
erhalten, wenn man beide Stücke nach () ver- 
schiebt, so dass AB = OQ, C D = OB. Dann 
versteht man unter der Summe OQ + O R die 
Diagonale OT des aus OQ, OB gebildeten 
Panillelogrammes. 

Hiemit ist dann sofort das distributive Princip 
O {Q + B) = OQ + OB 
erfüllt ; (leim es ist = 2S, w'o S der Mittel- 

])unkt vou Q B\ dann aber hat man 0 {Q -p II) 
■= O . 2»S’ <= 2 . D iS == () T, und man sieht, mit 
welcher Leichtigkeit man umgekehrt aus der 
Permaueuz des distrihutiveii Princijies jenen Sum- 
menbegrill' für Stücke von (Jeniden, die in einer Ebene liegen, 
hätte ableiten können. Dass derselbe übrigtms associativ und com- 
mutativ ist, bedarf keiner ErLäutenmg. 

Die Kesidtante zweier in einer Kliene licffendcn Kräfte ist der Summe der 
Geradenstücke gleich, durch welche die einzelnen Kräfte dargestellt werden. 

Das I’roduct eines Punktes ( > und einer Strecke A A B ist 
gpometiiscb leicht darzustellen, wenn man letztere parallel mit 
sich so verschiebt, dass (Fig. 15) A — ]i — A = B' — O, wo dann 
0 h = O {B' - 0) = O B'— Oi>---^ () // ist. 

Das Product zweier Punkto A B kann noch in cigenthümlicher 
Weise durch eine Summe' eines durch einen beliebigen Punkt O 
gehenden Geradeustückes und eines Strecken- 
productes dargestellt werden. Zieht man 
nämlich (Fig. 15) durch O die Paralhsle O B' 
mit A B, so dass 7/. — 0 ^ Ji — A, so hat 
man aus der Ideutität 
■ A B = {B—A) {O — B) — (7^ —A) O 
Hg. Ifj. die Gleichung _ ' 

AI^ = (B‘ — 0) (G — B) — (7f — 0)0 

oder 

AB ^ d H ■+• (// —O) (G - B). 

Hierin, ist (7/ — G) (f)-. B) das Pioduct der beiden Strecken 

a* 

« 





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132 



VII. Alterairfinde Zahlen. 



OB' .BO — — BO .0 W — — 2 .B 0 B' = 2 .B H O, also dem 
Flächeninhalte des Parallelogrammes AB B 0 gleich. 

Mechanisch heisst dies: Kine Kraft A B ist äquivalent einer ihr au In- 
tensität gleichen nnd i)arallelen durch irgend einen Punkt O gehenden Kraft 
OB' und einem ans den Kräften A B,OÜ und dem (schiefen) Arme OA 
gebildeten Kräftepaare, welches in dem Sinne A B B' O dreht. 

Addition von G-eradenstücken im Allgemeinen. Nichts ist 
leichter als mit Hilfe die-ses Satzes die allgemeine Addition belie- 
biger Stücken von Geraden, die irgendwie im llanme liegen, aus- 
zuführen. Man ersetze jedes Geradenstück durch eine solche 
Summe, so liefert deren Addition eine Summe von Parallelogram- 
men imd eine Summe von, durch Einen Punkt 0 gehenden Geraden- 
stücken, welche beiden Summen nach unseren früheren Regeln 
wiederum in ein einziges Parallelogramm und ein einziges Geraden- 
stück vereinigt werden können, welches im Allgemeinen dem 
Parallelogramme nicht parallel ist. 

Es versteht sich, dass sich die Summe eines Geradenstückes 
und eines Parallelogrammes auch wieder, und zwar auf unendlich 
mannigfaltige Weise, in die Summe zweier Geradeustücke zer- 
legen lässt. 

Dass- ilie liier gelehrte Addition von irgend welchen Geradeu- 
stücken commutativ und associativ ist, geht aus den entsprechenden 
Eigenschaften der Addition von sich schneidenden Geradenstiiekeu 
und audererseits von Sbeihenjiroducten hervor. 

, Eine Anzahl von irgend welchen Kräften kann stets durch eine einzige in 
einem beliebigen Punkte angreifende Kraft und ein Kräftepaar ersetzt wer- 
den; oder auch durch zwei, auf unendlich verschiedene Weise auzubringende 
Kräfte. 

In speciellen Fällen kann sich jene Summe auf ein Gcraden- 
stück allein oder ein Streckenprodu(;t allein reduciren. , 

Hat man A B + Ü D zu bilden, so mache man 
B — A = B'—0,D — C=D'—0 

so hat man 

AB ^OB'+ {B'— 0) (O —H),CJJ = Oiy + {*>'—0) {0 — D) 

also 

ABA- CD = GÄ'-t- 0 D’A- {{B'— O) {O—B) -f {U- O) ((>— D)\ 









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§. 39. Product von drei Punkten. 



133 



Ist nun y4 B parallel C' /l, so kann man die beiden auf einer Ge- 
raden r. liegenden Strecken H’ — 0 = b c, // — 0 == b c setzen, 
wo b , b reelle Zahlen sind. Bestimmt man nun 0 aus 

b (o - //) + b ((>» - z)) = 0, t-» = 

so hat man : . . 

AB + GD = OB'+ OD' 

d. h. mecbanisch; die Resultante zweier parallelen Kräfte ist im Allgemeinen 
gleich einer parallelen Kraft, welche deren arithmetische Summe darstellt 
und welche vou den Kräften im umgekehrten Verhältnisse ihrer Intensität 
absteht. 

Sind A B, C l) entgegengesetzt gerichtete, gleiche Stücke, so 
ist Zr — 0 = — (/>' — 0) also: 

AB A- (' B = 0’—O) {ß — D) = {D — G) {B ~ D) 

d. h. dem doppelten Dreiecke G D B gleich. , 

Zwei entgegengesetzt gleiche Kräfte haben somit keine Resultante , son- 
dern bilden ein Kräftepaar. — 

Jede Identität zwischen Prodiicteri von Punkten gibt hienach einen geome- 
trischen und mochauisclien Satz. So hat man ; 

A ß -t- ß C + CA^{A — ß)(A~ C) 
und da (A — ß) (.1 — C’) dem Producte der Strecken lSA.CA = OA. AB 
also — 2-.CA ß — 2..'1 ß C, so liat man den Satz: die Summe der in einer- 
lei Sinn genommenen Seiten eines Dreiecks ist seiner doppelten 
Fläche gleich. Es ist zu beachten, dass hier die Seiten eines Dreiecks 
nicht als Strecken, also mit sich parallel verschiebbar anzusehen sind. Denn in 
diesem Falle ist nach §. 20 die Summe der Seiten Null, üebrigens mag vor- 
stehender Satz noch in die Form gebracht werden: Kräfte, welche durch 
die Seiten eines geschlossenen ebenen Polygons der Reihe nach 
dargestellt werden, haben als Resultante ein Kräftepaaf, des- 
sen Moment der Fläche des Polygons gl eich ist. 

§. 39 . 

Product von drei Punkten. 

Unter dem Producte dreier Punkte ,4 (7 verstehen 

wir ein Ebenenstück, nämlich den doppelten Flächen- 
inhalt des von ihnen gebildeten Dreiecks, seiner Grösse 
und seiner Ebene nach, d. L wir setzen das Product A B G 



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134 



VII. Alterniifiulp Zahlon. 



— DE /<’danii und nur daun, wunn das Druieck A D C mit D E F 
in einer Khene liegt, ilmi gleich von Flache und einerlei Sinnes ist. 

FjS ist das Produkt der Strecken 

{B — A) {C-D) = (E-J>) (F— E), (1) 

wenn das Product der Punkte 

ABC=DFF-, ' ■ (2) 

aber es folgt iiicbt umgekehi-t die Oleichung (2) aus (1), und wir 
werden ein Product dreier Punkte A DC, ein EbenenstUck, das 
in seiner Ebene (aber nicht jiarallel zu dieser) beliebig verscho- 
ben luid bei constanter Grösse in scäiier Gestalt verändert werden 
kann, wohl zu unterscheiden haben von dem Producte zweier 
Strecken {D — A) (C — JJ), welch letzteres allerdings eben jenen 
Flächenraum dai’stellt, aber ohne Rücksicht auf die bestimmte Ebene, 
welcher er angehört; denn ein Streckenproduct kann im Raume 
parallel mit sich bewegt werden, ohne seinen Werth zu ändern. 

Ein Product ^1 B C idinmt bei der Vertauschung zweier Punkte 
mit einander den entgegengesetzten Werth an; es vei-scliwindet fer- 
ner, wenn zwei Punkte desselben in einer Geradeu liegen. Dass das 
Product A B V associätiv, also A (B (') = (A. B) V ist, folgt unmit- 
telbar aus seinem Dcgriti'e. Unter dem Producte dreier mehr- 
fachen Punkte a A, b B, c C verstehen wir das a b t mal genommene 
Ebenenstück A B C. 

Mechanisch repräsentirt A . Jl C das Moment einer durch das Geraden- 
stück /? C dargestellten Kraft in Bezug auf den Punkt ,1. 

Die geometrische Addition von Ebenenatückcn wird ganz 
analog durchgeführt als die von ParallelogVammen nach S- 3fci, und 
ebenso auch die Gültigkeit des distributiven Priuci[)es: 

A n {C + B)==A B C -F AB D 
nachgewiesen werden können; der Kürze halber wollen wir dies 
nicht wieder in extenso erläutern. 

Was das Product von Punkten in Strecken sei, ist leicht zu 
sehen. Hat mau A ß c zu bilden, so macha man c — 0 — B, so 
dass .4 ß c = yl 5 (C— B) = A BC—A B B = A B C. Ist • 
A b c, so mache man h x= B — A, c = C — B und hat dann Abc 
= A(B — A) {C — B) = A (B V ~Aa— B B + A B) = 
A(BC — AC + A B) = ABC — AAC + AAB = A BC. 



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§, 40. Product von vier Punkten. 



135 



Jede algeln-aischc Identität zwischeti Producten dreier Punkte 
liefert einen Satz, der ebensowohl für Flächen von Itreiecken, als 
Ihr Momente von K'räften ausgesprochen werden kann. 

Jede (ileieliuiig zwischen Producten von Paaren von Punkten kann durch 
Multiplieation mit einem beliebigen Punkte O zu einer Gleichung zwischen den 
Flachen von Dreiecken gemacht werden. Ist z. U. 

M A + M IJ = M V, 

so hat man ohne weiteres , 

OMA + OMJI= O MC. 

Liegt das ganze Sy.steni OMA H (’ nicht in einer FJ>ene, so ist die geo- 
metrische Summe der Ebenenstücke zu bilden; liegt aber ein beliebiger 
Punkt <> in der Ebene eines Parallelogrammes A C H M , so ist 
der Fiac l^eniuhal t des über der Diagonale J/ 6’ be s ch ri e benen 
Dreiecks GJ/Cdic arithmetische Summe der über deuSeiten 
.1/ ,1 und J/ // beschriebenen Dreiecke OMA, O J/ /<; und so findet 
Vabionon’s berühmter Lehrsatz, dessen mechanische Bedeutung bekannt ist. 
seinen adaquaten Ausdruck in dieser Theorie. 

Um noch ein Beispiel beizubringen : da das Product von 3 Strecken in 
einer Ebene nach §. .37 verschwindet, so ist 

(.V— A) (J/- D) (M— C) = 0. 

wenn ,47 in der Pibene»,! Ji C liegt. Wird dies Product nach dem distributiven 
Prinrij) zerlegt und darauf geachtet, dass ein Product dreier Punkte Null ist. 
wenn zwei derselben zusammenfallcn, so hat man: 

A B C = M A B + M BC+ M C A 

einen bekannten geometrischen Satz. ' '' 

Product von vier Punkten. 

Unter einem Prodiicte von vier Punkten ABÜD 
versteht man das an diesen 1* unk ben gebildet e Par al- 
lel e p iped u ni , seinem Inhalte und seinem Sinne nach, 
ein Raiinistiirk. Ks sind zwei solche gleich anzunehmen, wenn 
ihre Inhalte gleich und gleichen Sinnes sind, wie sie auch ge.staltet 
sein .oder liegen mögen, so dass: 

A nC D = K Fit // 

gesetzt wird, wenn: 

{B - A) ((' — B) {!) — 6') = {F— K) {G — F) (H— Gf)-, . 
und umgekehrt. Um über den Sinn der Parallelogramme zu ent- 
scheiden, wird man sie als die sechsfachen Volumina der Tetraeder 



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136 



VJI. Alteniireiide Zahlen. 



yl H V 1) beti~aditeu ; zwei Tetraeder A B (J J) und A B ö E sind 
al)t!r einerlei oder entgegengesetzten Sinne.s, je nachdem D und E 
auf dersell)cn St-ite in Bezug auf die Ebene A B C liegen, oder 
nicht. Dann sieht mau sofort, dass A B CI) sein Zeichen hei jeder 
Permutation Zweier Factoren wechselt. 

Die Summe zweier Raumstücke ist ein Raumstück, dessen 
Inhalt die arithmetische Summe der Volumina der zu addirenden 
Raumstücke. Das commutative und associative Princip ist bei die- 
ser Addition und wie man durch ein dem §. 37 entsprechendes 
Kaisonnement findet, das distributive Princip bei der Multiplication 
von vier Punkten erfüllt, und somit der Name des Productes fiu- 
A B C D angemessen, da die Associativität desselben auS der Defi- 
nition hervorgeht: denn man \a\\\n A B C 1) ebensowohl als Pro- 
duct des Punktes ^ in das Kbenenstück BCIJ, d. h. als sechs- 
fachen Inhalt des Tetraeders mit der Spitze A und der Graiidfläche 
B C 1), wie auch als Product eines Ebenenstückes ABC in den 
Punkt I), und endlich auch als Product der beiden Geradenstücke 
A B-CJ), d. h. als sechsfachen Inhalt des Tetraeders ansehen, 
dessen gegenüberliegende Kanten A B, CD sind. 

Unter dem Product eines Punktes A in 3 Strecken a h c hat 
man nichts weiter als das Raumstück, welches dem Parallelepipe- 
dum aöc gleich ist, zu vei’stehen, denn setzt mau a = B — A, 
b = C — B , c = D — so hat man 

Aabc=A{B — A) {G — B) {D — C)=-AB C D. 

Anwendungen dieses rruduetbegriffes lassen sich so zahlreich machen, 
dass ich hier nur einige wenige hervorhehen kann. Aus der Identität z. B. 

(A — D) (B— Ü) (C—D) = A B C— BCD+CDA — DAB 
findet man durch hlultiplication mit O: 

0{A — li)(B — JJ)(C—D) = OABC— OBCD+OCDA—ODAB 

Darin stellt aber die linke Seite nichts anderes dar, als das sechsfache 
negative Volumen des Tetraeders A B CD und man hat daher den Satz: 

Die arithmetische Summe der Volume derjenigen Tetrae- 
der, welche über den Flächen eines Tetraeders ABCD als 
Grundflächen und an einer gemeinschaftlicheu Spitze Ocon- 
Etruirt werden, ist, -wo auch 01 i ege, constantdemVolumendes 
Tetraeder 8 A 6'iJ gleich. 



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§. 41. Reduction der altem. Uperatiuiicn an Punkten auf die an Zahlen. 137 

lat 'AE^ABJrAC-\-AD, 

also A E die Diagonale eines Parallelepipedum, dessen drei Kanten 
A B, A A D sind , so erhält man durch Multiplication mit M N die Glei- 
chung zwischen den Raumstücken 

MNAE^A/yA B + M^A 6’+ MNA ü, 
welche das Correlat des Satzes von Varionon für den Raum ist. 

Das Product MN. A B heisst, wenn A B eine Kraft iUrer Intensität, Rich- 
tung und Lage nach vorstelJt, das Moment derselben iiiBezugaufdie 
Axe MN. Ist die geometrische Summe der (ieradenstücke: 

’ AB A- CD A- EE+ ... = 0, 

so ist auch 

MN. ABA- MN. CD A- M N . E F A- ... = 0 
d. h. Halten sich eine Anzahl vonKräften das Gleichgewicht, so 
ist die Summe der Momente in Bezug auf irgend eine Axe 
gleich Null. 

Wir haben in §. 38 gesehen, dass eine Summe von Kräften im Raume auf 
unendlich viele WeiSen durch zwei Kräfte A B, CD ersetzt werden kann, 
deren geometrische Summe (A ü -P C /» , wie sie auch gewälilt sein mögen, 
constant. nehmlich der Summe jener Kräfte gleich ist. Aus ABA- CD '= const. 
folgt aber (ABA- CD) (A B A- C D) — const.,4dso A B . A B A- C D . .i B 
A- AB. CD + CD . CD = CD . A B A- A B .CD^'i. A B C’/4 = const,, 
da. C D A B durch eine gerade Anzahl von Peraiutationen der Kactoren aus 
A B CD erhalten werden kann. Beachtet man nun, dass A B .C D das sechs- 
fache eines Tetraedervoluins ist, dessen gegenUbcrliegendorifanten A /l, CD 
sind, so gelangt man zu dem berühmten Theoreme von Chaslbs: 

Wie man auch ein System von beliebigen Kräften durch 
zwei ersetzen mag, immer bleibt das Volumen de s Tet raed ers, 
welches dieselben zu Kanten hat, constant. 

Ein Product von fünf Punkten kann man unbedingt der Null . 
gleich setzen. 

§. 41. 

Kedaction der alternirenden Operationen an Punkten auf die 

an Zahlen. 

Wir haben in den §t;. 38, .'19 , 40 an und mit Punkten auf rein 
geometrische Weise ein System von Operationen begründet, wel- 
ches die Eigenthümlichkeit besitzt, dass das Resultat derselben 
jedesmal das entgegengesetzte Zeichen annimmt, wenn zwei der zu 
verknüpfenden Punkte iliren Platz wechseln, und welches wir daher 
ein alternireudes nennen können. 



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138 



VII. Alternireiide Zahlen. 



Stollen wir jculen i’iinkt als lincaie Function von vier iesten 
Fnnrlainental]iunkt(‘n nai'h 4;, 33 dar: 

m M = ni, /, + -f 1113 /j + ni4 1 ^ 
and nehmen hinA, d:iss jetzt vennöge ij- die (lleicliungen 

A/i = '>, /,/;.= --4 

heslelien, d:iss ItTiior d:is distributive und assoejative Prinei|) allge- 
mein, also :iuch für jene lineare l'unction M der 4 Punkte 4 -/^ 4 4 
erfüllt ist, so geht hieraus hervor, d:iss das in 34 behandelte 
Zahle,ns)'steni füra = 4 zur llezeiehming der Punkt(> im Raume 
angewanilt werden muss, wenn man die alternireuden geometrisehen 
Openitionen durch solche ;in Zahlen ersetzen will. 

Het niehten wir nur Punkte einer Ebene /, 4 4< so wird man 
edcn soleheu, Punkt .1/ durch die I)rei|uuikteooi'dinaten nij, m^, 
daiNtelleii: 

in .)/ = m, 4 + n>2 4 + '”:i 4 
wo, wenn der Punkt ein einfacher sein soll, 

m — m, -f- m^, -|- = 1 

zu setzen ist. 

I)as zwischen drei Punkten /I, 4, ( ' liegende Dreieck z. B. wird. 

wenn 

= n, 4 -f- ii^ 4 + "t 4 

u b, 4 + 4 + 4 

(y = tj 4 + fa 4 + fa 4 

gesetzt würij, durch 

I «1 Oj hj j 
2 . yl n C = 1 b, b, b;j j 

I fl fä fj 1 

fliirgestellt. 

Die analytische Geometrie stellt die geometrischen Oh,jecte durch Coordi- 
naten dar, imiein sie \lie eigentlich gegehencn relativen Beziehungen der Ob- 
jecte durch Beziehungen auf andere, ausserhalb gelegene Objecte (die Coor- 
dinatenaxen) ersetzt; sie wejidet dann auf diese Coordinaten Operationen au. 
welche erst nachträglich geometrisch gedeutet werden, tu der vorstehends 
gelehrten Weise aber worden vielmehr die Objecte au sich seihst betrachtet 
mul sulchen Operationen unterzogen, welche die iienmi geometrischen oder 
mechanischen Gebilde selbst auf die natnrgemässestc Weise erzeugen. 



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§.41. Rcdnction der altern. Operationen an Punkten auf die an Zahlen. 13!( 

Betrachtet man mit Aufmerksamkeit die Form der Kelationen von Strecken, 
von Jheiecksliachen, von Tetraedervolnmen , von Kräften, Kraftejtaaren und 
ihren .%)menten, wie sie hei consetjuenter Anwendunp seiner Bezeichnung von 
Möbius in seinem „Lehrbuche der Statik" (I. Th. IKlTi gegeben sind, so 
kann es Nieinaudein entgehen, dass zwischen den Formeln eine eigenthünilicho 
Bt'ziehuug hesteht, welche dem Zusammenhänge algehraisch aus einander ah- 
geleiteter Formeln entspricht. Diese Beziehung ist nun in vorstehender Dar- 
stellung zu voller Klarheit erhoben worden, indem wir zeigten, dass man der 
natdrlich%i fornialeu Bezeichnung der Strecken A 11, Dreicckstlachen .1 11 C, 
Tetraedervoluine .1 li (', 1), eine tiefere Bedeutung unterlegen kann, die sic al.s. 
Producte von Punkten erscheinen lasst, so dass jede (ileichnng zwischen geo- 
metrisi'hcn Orössen. wie sic nach Mönirs'scher .\rt ausgesproclien werden 
kann, eine algebraische Identität zwischen den l’roducten von Punkten 'und 
umgekehrt jede letztere einen gi'ometrischen oder mechanischen Satz liefert 
Um zu zeigen, wie ungemein dadurch die Autlässung (uleichtert wird, habe 
ich im vorstehenden annierknngswcise sämmtliche IIau]itsiUze. welche sich in 
den ersten b Kapiteln der citirten Statik hetinden, angeführt: muss aber dar- 
auf verzichten , hier die fundamentale Bedeutung dieses alternirenden üpera- 
tionssystems, namentlich für«die Mechanik, in extenso darzuthnn, und zu 
zeigen, wie sich vorstehende Verknfl|(fungi'n von Punkten überall in der Me- 
chanik als der naturgemässe .\usdruck ihrer Beziehungen darhieten. 

Die Methode, mit den Grössen in unserem Sinne zu operiren, vereinigt 
die Vortheile der sogenannten synthetischen Darstellung; welche überall die 
Objecte seihst in Betracht zieht, und deren gegenseitige Kelationen aus ilirer 
Anschauung seihst entwickelt, mit denen der sogenannten analytischen Me- 
thode d. h. des Calcuis, der durch formale Oiieratiiineu und nach bestimmten 
Regeln die Objecte mit einander verknüpft . ohne hei seiner Anwendung einer 
fortwährenden Anschauung des Verknüpften zu bedürfen. Sie verwirklicht 
den genialen Gedanken einer geo me trischenCharaktcristik und einer 
Geometrie der Lage, wie ihnLEiBmz in kühnen Strichen skizzirthal: 
„Je ne suis pas encor content de l’.Vlgehre, en ce qu’elle ne douue ny les plus 
courtes voyes , ny les plus helles constructions de Geometrie. C’est [lourquoy 
lorsqn'il s’agit de cela, je croy qu'il nous faut encor une autre aiialysc pro- 
prement geometrique ou lineaire, qui nous exprimo directement situm. 
comme l’Algehre magnitudinem“’ (Brief von #n IIuvgkns, in üylen- 
hroek, Chb. IIugenii excrcit. math. Fase. I. S. U). „L’.Vlgehre ji’est autre 
chose que la characteristitiue des nomhres indetermines . ou des grandeurs. 
Mais eile n'exprime pas directement la Situation, les angles et le moavement. 
d’oü vient qu’il est sonveut difticile de reduire darts un calcul ce qui est dans 
la tigiire , et qu'il est encor plus difticile de trouver des demonstrations et des 
constructions göometriipies assez commodes lors meme que le calcul d’Algehre 
est tout fait. Mais cette nouvelle characteristiiiue suivaut des ligures de vue. 
ne peut manquer de donncr en meine temps la solution et la con- 
structiou et la demonstration geometrique, le tout d'une maniere 



140 



VII. Alteruireiule 2ahlrn. 



naturtlle et par uiie aiialyse. C'est ä dire i)ar des voyes determinees 

Je croy qu'on iwiirTOit manier par ce inoyen la niecanique presque comme la 
geoinetrie.*" (a a. O. Kasc. II. S. 6J. • 

Hiatorisches zum VII. Abschnitt. Schon in der „Aiisdchnungslehrc" 
(iras.smann’s von 1S14 findet sich das System der alternirenden Zahlen und 
Operationen, allerdings in einer sehr abstracUm und schwer verständlichen 
Darstellung. Iin St'pteinher lS4u hat Saint- Venant (Coniptes rendus , Bd.21. 

S. 620) die geometrische Midtiplication der Strecken unabhängig von Gras.s- 
JiANN vorgetragen. Im Jahre 18555 trat CAi riiy (Omptes rendus. Bdfllti. S. 70, 

129, Ißl, und in zusammenhängender Darstellung in den K.vercicea d’ana- 
lyse et d. phys. matli. Bd. IV. S. ilöfi) mit seinen .,clefs algebriques oder ana- 
strophiques“ hervor, welche genau mit Gbassmann’s alternirenden Kinheiten 
zusammenfallen (s. Ausdehnungslehre von 18tl2. S. IX). Kura nach der ersten 
Aufstellung des vorstehenden Productbegrifts bat in England ü’Brien (Phi- • 
losoph. Magaz. August 1.^47. S. 139) denselben ebenfalls entwickelt und für die 
Mechanik verwendet. Von seinen zahlreichen späteren Publicatioucn, meist 
sehr geringen Umfanges, ('rwähne icji eine zusammentä.ssende Darstellung 
„On Symbolic Forms derived from the concention of the translatiou of a 
directed magnitude“ (Phil. Trans for the year 18.')2. Bd. 142. S. 161). 

An Gründlichkeit und Angemessenheit des Gedankens und der Entwicke- 
lung stehen aber alle diese Arbeiten gegen Gkassmann’s, namentlich gegen 
seine Darstellung in der „Ausdchnungslehi’e" von 1862 weit zurück, ln dieser 
wird ein Product, wfe es in diesem Abschnitte behandelt ist, ein „kombinato- 
riscfies’“ und „äusseres“ genannt. Es würde zu weit führen , wollten wir hier 
alle die verschiedenen Productbildungen, welche Grassmann untersucht hat, 
die äussere , innere , progressive , regressive . die auf en» Hauptgebiet bezüg- 
liche, die planimetrische,* stereometrischc u. s. w. Multijdication darstellen. 

Sie alle beziehen sich auf alteruireude Zahlen, welche aber nach anderen Ge- 
setzen miteinander verknüpft werden, so dass der Produetbegriff in der von 
uns in §. 34 statuirlen M'eise hier nicht mehr stattfinden würde. Ich zweifele, 
dass diese abnormen Multiplicationen in den Zahlen ihre naturgemässe Reprä- 
sentation finden, vielmehr scheint mir es weit vorzüglicher, ihren Begriff rein 
geometrisch zu entwickeln, wie dies Grassmann in seiner „Geometrischen 
.\nalyse“ (Leipzig 1847) in’s Besondere für das „innere Product“ ausgeführt 
hat. Ich Immerkc hier*nur, dass wälirend das „äussere Product“ zweier 
Strecken.« A, also das in §. 36 behandelte, seinem numerischen Werthe nach 
n b sin (« h) ist, wenn n, b die absoluten Längen der beiden Strecken bezeichnen, 
ihr „inneres Product“ durch n b cos (a A) dargestellt wird Ausser O’Brien, 
welcher a. a. 0. dasselbe anwendet , hat auch Gauss sich mit ihm einmal be- 
schäftigt (s. Werke II. I5d. Nachlass S. 305). 



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ACH'rKR ABSCHNITT. 



Reine Theorie der Q,U9,ternionen. 

g. 42. 

Dffinitioii Quaternioiieii ; ilirc MnUiitlicatioii. 

Unter einer Qiiaternion*) versteht man eine ans der nume- 
rischen Einheit und 3 com])lexen h'.inheiten /, , 13 mit reellen oder 

gemeinen complexen Elementen .co, .r,, r.j, .tj gebildete /uhl**) 

b == -»o + ^1 >i + •'■2 f-j + -^3 '3 1 

wenn die allgemeinen Verknüpfungsgesetze des §. 28 auf sie anwend- 
bai- sind unil die Bestimniuiigsgleichungcn 



*) Ich wciss wohl, dass (jiiateriuo eigentlich geiieris ‘masculini ist : ent- 
sprechend dem Sin’achgehrauche (die Union, die Million u. s. w.) aber bediene 
ichinich, um Härten zu vermeiden, im Deutschen des Femininum. 

**) Sir R. \V. Hamilton nennt i nur dann eine Qiiaternion, wenn die 
Filemcntc reelle Zahlen, und eine Jli qiiaternion, wenn die Elemente gemeine 
Complexe sind. tVährend letztere,» die einer eigentlichen geometrischen Dar- 
stellung nicht fähig sind , und daher in iiiisereni Sinne (s. S. 7 ) als transscen-^ 
dente oder rein formale bezeichnet werden konneii, in Hamilton’s geometri- 
scher .Auffassung erst sehr spät und immer nur gelegentlich , etwa so wie die 
gewöhnlichen complexen Grössen in der analytischen Geometrie als Dure.h- 
gangspiinkte, anftreten. so konnten nnd mussten in meinem Fintwickelungsgaiige 
die Quatemionen sogleich in dieser .Allgemeinheit aiifgefasst werden; so dass 
ich auch den Xamen in dem obigen allgemeinen Sinne ohne Schaden anwen- 
deii kann. 

Die ;J imaginären Einheiten nennt Ha.mii.ton i,.;, i-, welche Bezeichnung 
ich mit <1 , tj, (3 vertauscht habe, um durch das griechische Alphabet in über- 
sichtlicher' Weise im Allgemeinen Quatemionen bezeichnen zu können. 



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142 



Vlll. Reine Theorie der Qiiateriiiunen. 

f 

h h = — U li'-i — — 1 1 <3 '3 = — 1 

t\ li = t,i 

zur weiteren Charaktensiruiig tlieiieu. 

Insofern auf die Einlieiten das associative (Jesetz amvendliar 
ist, hat man aus /, /j, == 13 durch Multiidicatiou 1, /, - 1, i^-, da 

aber = — <2 ist: 

ij = — 1 ^. 

Kerner folgt /, I3 = 13 aus derselben Gleichung, also 

*3 <3 l\- 

Durch Multi])lication der beiden letzten hat man /, ct /3 /^ = + /3<i. 
und da 13I3 — — 1 ist 

/i = — h h — — '3 t 

alsf) wenn man mit 13 li — — ii in diese Gleichung multiplicirt 
13 i-i 'a '1 = + 'f 13 somit ’ • 

/l «3 = I 3 ii = — Ij. 

Durch Multiplication der beiden letzten Resultate gewinnt man 
I-, (1 /, 13 — + taii, also: 

<3 '3 = — '2 '3 = — '1- 

So sieht man, dass infolge der Bestimnmngsgleiclnmgen die coiu- 
plexeii Kinheiteu hei der Multij)lication nicht comnmtativ sind, son- 
dern ilas Product je zweiersein Zeichen ändert, wenn dieKactoren 
ihre Stelle wechseln. 

Beachtet man noch, dass /i '3 = 'i 'i = — K «f* hat man 
zur Rednctiou der Eiidieitsproducte, folgendes System von (Jlei- 
chungen. was man hei allen folgende*!! Rechnungen im Auge hehal- 
\ten muss: 

h h ^ ’ '3 '3 i t '3 '3 f \ 

'1 '3 = + > 3 i Ii h ==+'11 '3 '1 = + '2 I 

Ii l\ — — '3l I3 'i 'll 'l'3— 

h Ii I3 = Ii I3 I, =13 h Ii = + I I 

<1 /3 Ii = Ii I) I3 — I3 Ii ll — 1 ' 

Mit Hilfe dieser Relationen und des distributiven Priucipes 
e!'hält man, wenn 



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§. 42. Detiiiitioii der Quatemioiion; ihre Mnltiplieatiün. 



143 



und 



a = «0 + "i <1 + i2 + f>3 h 

ji — /^ + !>i /] + />i tv + //3 /s 

y — <0 + <’l <1 + '2 h + «’s >3 



u ji. y 

gesetzt wild, liei Aiislühruiig des l’roductes die Relationen : 



«0 ^■'o — «1 ^'1 — "2 — «3 "3 

«« 4- «1 Z>u + />3 «3 ^3 

«0 ^-'2 ■ — f’l (>3 4" «2 ^0 + <*3 



/l« Cjj 1 

= Ci ( 

'■i' 

' 3 



Ci) 



"« i'3 4" "l i-’x "2 i'l 4“ fl*3 f'a 

wie sich denn überlmniit das Product einer Anzalil von Quaternio- 
iien ininier wieiler auf eine (*inzige bestimmte t^uaternion reducirt. 
/ur beijuemeren Reliandliing der ()uaternionen bezeichnet 



man m 



« = «0 4- «1 ij 4- «2 li 4- «3 '3 ‘ ' 

das (ilied als den Scalar-thcil: 

S«=«o> 

und als Vector-theil die Summe 



so liass 



Va — «1 /, + /j, + «3 /3, 



. « — S (/ 4* V «. 

Dann ist 

uß = {^u-\-\ a) (S^y-|-\ y^)== S «.Sji 4" Spf .V« -p S« ,\ji -|- V(( A'(i. 
und nach Vertauschung der Factoren: 

o ~ S a . S ji/ -p ^ ß'- Va 4" ^ a .W ß 4" ß ■ Va, 

worin nur das letzte Product V ß . Va ein amlere.s geworden ist. Um 
dessen Veränderung weiter zu übeisiehen, so bilden wir die beiden 
als UJuaternionen erscheinenden Producte: 

\ u ß = — Uh i'i 4- «2 4- "3 i's) 

4- («2 ^'3 «3 h 4- («3 i'l — "l f'j) Ij 4- ("l i'2 "2 i'l) >3 

Vß (t — — Uh f’i 4- «2 4- <h 

— (a.2 ^3 — <73 ^2) I, — (O3 /'I — «1 /vj) <2 — Uh ^2 — «2 W) 13 



und man sieht, dass 



) 



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144 



Vin, Iteine Theorie der Quatemioneu. 



( 3 ) 



(4) 



S(Va.V/J)= + S(V/J.Va)| 

V(V«.V/J) = — V(V/^.Vß) j 
so dass die Producte a ß und ß a in dieser Weise: 

«/J = S«.S^-pSa.V/^ rf-S(^.Va + S(Va.V/¥)-f-V(Va.V/^) 

((/« = S « . S/^ + S « . + S,? .V« + S(V« . V/;?)— V ( Vo. v^) ; 
geschrieben werden können, worin die Veränderung, welche ein 
Product zweier Quateniionen in seinem Vectrjrtheil durch Ver- 
tauschung seiner Factoren erleidet, zur Evidenz gebracht ist. 

Als die zu- 

ß = S « -|- V ß 

conjugirte Quatemione bezeichnet m:m: 

Kß = S« — Vß, 

und es ist: ’ 

• 2 . S-ß = ß -|- K ß 

2.Vß = ß — Kß 

dann wird : 

ß . K p = (S ß -|- Vß) (S ß — Vß) = (S ß)* — (Vß)^ ■ 
wenn man als Norm N ß die Summe der Quadrate: 

N ß = Aq* -p ßj* -f- ßjä -|- =: ß . K ß 

bezeichnet, auf welche sich jene Differenz der Quadrate reducirt, da 
(Vß)» = (ßj «1 -f- ß-2 ii, -P ßg tg)» == — (ßjä -P ßg» -P ßg») (7) 
gefunden wird. 

Aendert mau in dem obigen Producte 
ß /^ = S ß . S ,? -P S ( V ß . V ) -P [S ß . V -P S . V ß -p V ( V ß . V /^ )] 
das Vorzeichen des Vectortheiles, so hat man: 

K (ß (?) = S ß . S — S ß . V/S - S /f . Vß -p S ( Vß . V/#) - V ( Vß 
oder nach (3) 

K(ß/?) = Sß.S/J -Sß.V/if — S/J.Vß -p V/?.Vß 

Nun ist 

K/1. Kß=(S;?— V^) (Sß— Vß) = Sß.S^-Sß.V/J— S,3.Vß +\ßNa 
womit man die wichtige Relation: 

K /S . K ß = }^(a ß) ' (8) 

erhält. 



(5) 

Nß-, 

(«) 



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§.42. Definition (Irr Quatoniioiien; ihre Miiltipliration. ' 145 

Mnltiplicirt man a ß — y mit K {a ß) — \iy, so hat man 
a ß .K{a ß) — y .Ky oder nach (8) « /? K /:? . K « = N y. Nun 
ist nach ((>) ßK ß — ß also « K « . N = N y und endlich 
N Cf . N /i = N y, so dass miiu die Identität: (9) 

(ff„* + a, 2 + -I- + />,:: + h.yi + 

erhält, wo die r. aus den «, /> vermittelst der tileichungen (2) zu 
•Itestimmen sind. *) 

Die (])ositive) Quadratwurzel aus der Norm: 

T ff = j/ffo^ + «1* + Cti^ + <!■/ 

nennt man den Tensor der Quaternion und bezeichnet den Factor 

y'a„'‘ 4- «i'* +-«4* + «a“ 

als den Versor, so da.ss 

ff = T ff . ü ff. { 1 0) 

Ijctzterem kann man noch eine wichtige I''onn gehen. _ Hezeichnet 
man nämlicli : ., 

«I 4* + ^3 >3 

+ Uä“ + rt.,» ^ 

so hat dieser Ausdruck nacli (7) die Kigenschaft, dass 

/ / = — 1 , 

und setzt man : 

n,i + «3* 

cos w , - j ' ■ - - ' = sin II, 

+ «i” + «2* + Oa'* ' y«i.* + «I ' + "■•’* + "a“ 

was offenbar immer möglich ist, so hat man: 

*> Dii^ser interessant!» Satz, nach welchem das Produet zweier Zahlen, 
welohe die Summen von vier Quadraten sind, immer wieder als Summe von 
vier Zahlen, welche von den Klementen der Kactoren rational abhänifcn. dar- 
((estellt werden kann, ist zuerst von Kuleh entwickelt. Kr ist die Verallge- 
meinerung des Satzes, welchen die, gemeinen complexen Zahlen an die Hand 
gehen, wonach, wenn 

(litt -P «1 i) (*o 4- />, i) = c„ 4- c, 2 , 

also 

Hfl ff( Hfl ffo ^1 d* (fl ^0 e, 

ist, 

(«„» 4- «,'Q (A,,* 4- A,‘) = e„f 4- Ci’ 

gesetzt werden kann. Mit der Ansdehnung dieses Satzes aut mehr Glieder 
haben sich John Gkaves und Kirkman (S. oben S. lOf) und 1 10) beschäftigt. 

H an ke I , complexe Z&blen. 10 



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J46 ' 



VIII. Heine Tlicorie der Quatcrnioneii. 



« = T « . (cos (jf) +'/ sin f|i), . (11) 

eine Gestalt der ()uateniion, welelie der reducirten l'orin der 
gewöhnlichen coniplexen Grössen entspiicht, und aus der man die 
Gleichung 

a" = (T «)" (cos )i (p + / sin n tp) (l:i) 

für ganze n sofort erschliesseu kann. 



Man ist bereditigt, die Definition der K.xi)onpntialgrösse i 

• X 



(13) 



M = 0 

auf den Fall, dass ß eine Qnaternion ist, auszudehnen, so dass nnm in vor- 
stehender Bezeichnung 

«=.T«.e»‘ (14) 

setzen kann. Ks ist aber wohl zu beaiditen , dass der Exponentialgrösse jetzt 
die Eigenschaft 

(15) 

ini Allgeineine'u nicht, und nur dann zukonunt, wenn ßy = yß ist ; denn es 
ist bl der Quaternioneutheorie; 

(jä + y)* ■= ß'^ + ßr + yß + y^ 

von 

fl-^ + 2fly + y% 

und 



(ß + y)3 =ß= + QS»y + ßyß + y ß‘) + {y^ ß + y ßy + ßy^) + y^ 

von 

ß^ + 'äß^y¥'^ßy‘+'i^ 

im Allgemeinen durchaus verschieden — auf dem binomischen Lehrsätze für 
ganze Exponenten aber beruht jene Eigenschaft (15) in dem Gebiete der ge- 
meinen c'omploxen Zahlen. — 

Betrachten wir nur solche Quaterniouen , welche reelle Coefficienten 
haben, so ist ihre Norm eine jiositive. von Null ‘verschiedene Zahl, ihr Tensor 
eine reelle positive Zahl und der im Versor (11) erscheinende Winkel, ihre 
Amplitude, reell. 



§• 43. 

Producte von Vectoren. 

Von besonderer Bedeutung für die Auweudung auf die Geo- 
metrie sind die Producte reiner Vectoren, die wir, um Verwech- 
selung mit den allgemeinen Quaterniouen zu vermeiden, in diesem 



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§. 43. Produete von Vectoren. 



147 



i?. durchaus mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeiclmen wer- 
den, so dass: 

a = «1 <1 «2 i2 «3 <3 

h = hi h + h h h 

wo «i , 02, (i3, Ä, , . . . gemeine cnmple.xe Zahlen sind. 

In diesem Falle ist V « = « , Sa — 0 und daher der con- 
jugiite Vector 

Ka=— «. (1) 

Nach (8) in i?. 42 hat man K (a />) = K /> . K a = ( — />) (— a) also : 

, . K (o /») — b a. (2) 

Ebenso ist 

✓ 

K (rt 4 . c) = K c . K a /> = K c . K /> . K a = — ch a 

K (a Ä . c (7) = K (c rf) . K (o Ä) = K </ . K c . K i . K <t = -|- <7 c 6 a 

u. s. f., so dass nach (ö) in § 42 

2 . S (fl 7>) = a Ä -J- i a , " 2 {a b) = ah — ha j 

2 .S (a h c) = a h c — ch a, 2 .V (a 7> c) = a i <; -J- ch a /(3) • 

2 .’&{ahcd) — ahcd dcha, 2 {ah c (l) = ahcd — dcha I 
u. s. f. Hieraus, so wie auch aus (3) iii §. 42 folgt weiter : 

S (« A) = -F S {h a), \{a h) = — V(A fl) (4) 
und es wechselt daher die Quaternion a h, welche durch: 
ah = — («1 Aj -f- «2 7>2 -F fi3 A3) 

+ («3 A3 — 03 Aj) <1 -F (li» ^1 — f* + («1 h^ — 02 Al) 13 
dargestellt wird, das Zeichen ihres Vectors, wenn die Factoren ihre 
Plätze vertanscheu. 

Man hat ferner o A . c = {S (<i A) -F V (o A)j c ; da nun S (o A) . c 
selbst ein Vector ist, so hat man: 

S(oAc)== S{V(fiA) .c} (5) 

Da nunV(fiA) = — V(A«), so sieht man, dass S(Aoc)= S{V(Ao) . <■} 
=■ — S jV (fl A) . c} also : S (o A c) == — S (A a c). Ganz ähnlich 

überzeugt man sich, dass S (o A c) = — S (o c A) und da man aus 

(3) die Gleichung S (o A c) = — S (c A <i) erhält, so ist : 

"F S (« A c) = -F S (A c fl) == -F S (c o A) 1 

= — S (o c A) = — S (A o c) = — S (c A o) j 

10* 



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148 



VIII. Upinc Theorip (Ipp Qiiatornionpn. 



Man hat nach (3) 

2 . V [a . V {h r)] — a ,y {h c) — V {!> c) . a ; 
nun ist ' 0 = « . S [h r) — S (/> c) . a 

also durch Adflition : 

2 . V [a . V(Ä c)] = ab c — b c a. (7) 

Schreil)t man identisch 

a b e. — b 6 a = (« b b a) c — b (a a -f- <i c ) , 
so liat man nach (3) 

V [a . V(/> c)] = c . S (« A) /< . S (c a), (8) 

welche Gleichung addiii zu der selbstveiNtitmllichen : 

V [ffl . S {b c)] = « . S (b c ) , 
die wiclitige (ileichung: 

V (e b c) = o S (b c) — bS (c rt) + c S {a b) (9) 
liefeii. Stellt m.an mittels dieser z. 15. 

• \ (n c Ä) = rt S (4 c) + /i S (c a) ■ — c S (rt b) 

dar, so bemerkt man, dass iius.ser der aus (3) folgenden Relation: 
V (a b c) — V (c b a), (1 0) 

zwischen den Vectoren der pennutirteii I’roducte abr, acb, ... 
keine so einfachen lleziehungen, als zwischen ihren Scaluren süitt- 
finden. 

Aus (8) folgt : 

V [6 . V(e a)] = a S (b r) -cS(ab) 

V [c . V (a /-)] = /> S (c a) — rt S (b e) 
und durch Addition dieser Werthe zu (8) : 

V [ffl . V(Ä c)] + V [A . \' (c a)] V (c . V (a b)] = O. 

Nach (5) und (U) hat man : 

S[a.V(Äc)] + S(A.V(ca)] + S[c.V(aA)l =3.S(a7.c) 
also, wenn man vorstehende Gleichungen addirt: 

a . V ( A e) -f- b .\{c a) + c .\ (a b) = 3 . S (a A c). (11), 
Aus (8) findet man 

V [V (a A) . V(c rf)] = <7 S [c- . V (a A)J — c S [V (a A) . d] 
und somit nach (5) . - 



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149 



§. 43. Producte von Vectoyen. 

V[V(a b).\{c d)\ = dS{abc)-^cS(a6d) 

Hieuacb ist: 

V [V (c (/) . V(A a)] = a S (c — 6 S {c d «); ■ 
nun ist aber V(/> a) — — V(a i), also 
V [V (a b) . V (c d)] = — V [V (Ä a) . V (c «£)] = + V [V (c rf) . V (A a)] 
uud'.daber : 

d S (« b c) — a S {b c d) bü (c d a) — c S (« /> c?) = 0 (12) 
womit man, wenn d durcb r ersetzt wird, die widitige Formel : 
r S (<i b c)-“ a S (c r //) + ^> S (<i r c) + c S (b r a) (19) 

erbiilt. 

Es mag hier nocli des Productes von 4 VeCtoreu kurz gedacht werden : 
Zerlegt man ab c d in a . b cd, so trägt das Glied a.S(bcd) zum Sealar- 
theile von ab cd nichts bei, da es ein reiner Vector ist; also hat man: 

S (a 4 c cf)'^ ö ja.V (b c d)j; 

. . nun ist nach (0) V (6 c d) = 4 S (c d) — c S (d 4) 4- d S (4 c), also: 

S (a 4 c d) = S (a 4) . S (c d) — S (o c) . S (d 4) •+• S (o d) . S (4 c) (14) 
Hieraus folgt : 

S (4 c d a) == b (4 c) . S (d o) — b (4 d) . S (o c) + S (4 <i) . S (c d) 
also, da der Scalar b (« d) = S (d a) u. s. f. 

b (a 4 c d) = b (4 c d o), (15) 

so dass eine cyklische Permutation der Eactoren des Productes von 4 Vectoren 
nichts au seinem Werthe ändert. Nach (3) hat mau noch ^ 

S (« 4 c d) — b (d c 4 a) (16) 

womit die einfachen Itelationen erschöplt sind. Denn der aus (14) abgeleitete 
Werth : . ' ’ 

S (a 4 d c) — S (o 4) S (d c) — S (<i d) S (c 4) b (ft c) S (4 d) 
steht mit S (« 4 c d) in keiner einfachen Beziehung. 

bucht man S (o 4 c d; zu bestimmen, indem man abcd in 
ft4.cd== S(o4) .b (Cf/) -f S(a4).V(cd).-pS(cd).V(ft4H-V(ft4).V(cd) 
zerlegt, so sieht mau, dass : 

■ ’S (ft 4 c d) = b (ft 4) . S (c d) + S {V (tt 4) . V(c d)|, 
und durch Vergleichung mit (14) die Identität: 

b {V(ft 4) . V(c d)} = b (ft d) . b (4 c) — S (ft c) . b (4 d) (17> 
erhalten wird. 

Weitere Ilelationeu dieser Art, welche sich noch in grosser Anzahl bei- 
briugen liessen, übergehen wir. Doch können wir nicht unterlassen, hier uoch 



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IßO 



Vni. Reine Theorie der Qiiatemionen. 



auf die Form aufmerksam r.u maclien, welche das Product dreier Vectoren 
explicite zeigt. Man hat : 

('•l 'I + 's + '»3 's) Oh <1 + /'ä <^ + ^3 's) “ 

— (oj d" cts ^'2 "F '^s ^a) d" — '^a 'i d* (Os — "i ^a) '2 d" Oh ^2 ~ '*2 ^1) '.t 
also : 

(Oiii d* '^2'2 d* "a 'a) Ohh d" ^2*2 d“ f's'a) (^th d“ '*f'2 d* c^'s) 

= — [(rti *2 — <12 Al ) Ca d" ("S *a — «3 Ai) Ci d- («a A| — «1 Aj) r,] • 

d- [ — (rt|A| d- 02 As d- «a As) C| d-("sA, — n,i^)c, — («,As — OjÄiiCj]', 
d* ("i Aj d“ '^s A2 d" '^a A3) t‘2 ^ (<1| /'» — — "2 Aj ) i^i — (c^2 A.a — "3 As) CgJ '2 
d" [ — ("1 Al d" «2 A3 d" "3 As) C3 d" ('*2 As — 03 Aa)'^ — ('Sa Ai — - iti Aa)ct] '3 
woraus man 

"1 O3 «3 j 

Äj A3 A3 

I ' *1 C3 C3 



S ('S A c) = - 



(IH) 



und, da 



S (rt A) — — («1 A| + «3 A-3 d- «3 A 3 ) , 



durch identische Umgestaltung für V (a A c) den in (9) gegelienen Ausdruck 

erhalt. So wird z. B. (12) abgeleitet werden können aus: 

% 

j U If C fi i ' 

I II, A, c, rf, ' 

I rta Aä C 2 1/3 

1 Hs A3 Cs (fa I 

einer Gleichung, die identisch erfüllt ist, weil die erste Zeile, lineare Functio- 
nen der Glieder in den folgenden Zeilen enthält. 



= 0 , 



§. 44. 

Division der Quaterniouen. 

Unter- dem Quotienten 



(1) 



zweier Quaternionen hat man (vergl. g. 7) eine solche Quaternion § 
zu verstehen, für welche : 

^« = (7 ■ (2) 

ist. Hieraus erhält- man ziu- Bestimmung der Coefficienten in 

? = a’o + <2 + a*3 ^3 

die 4 linearen Gleichungen : -• 



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§. -H. IMvision der (Jiialeruionen. 



151 



•'”0 '»0 — "l — -'s '*-i ^3 «3 = /'o 

■'"i + «0 ■'«’i “u + •>'i <h — -'‘3 <h ~fh 

.<’o j'l Ih +.•<•» «5 + «, = lu 

•'■« «3 + -'’l "3 ••'■i «I + ^3 "o = f'i 

Anstatt die Eliminatio.n der , .rj, a-y direct vorzunehniea, 

inulti|)liciren wir (2) mit K « und erhalten so J « K o = K « 
oder nacli ((>) in S- d2: 

l = (4) 

woraus sidi denn 

N a . a-Q = Ito «tfl + ^1 «1 + !>i 'h + «3 i 

N « . a-j = /», «0 — '''0 «1 + h "2 — <*3 f 

N « . a-j = />2 r«n — «, — + /'j «3 i 

N u . .rj = !)j «0 + <^''2 «1 — "2 — ^'0 «3 

als die zu (3) iiivei-sen Gleichungen sofort ergeben. 

Man sieht hieraus, dass die Division mit « in (i eindeutig und 
hestimint ist, mit Ausnahme des Falles, dass 

IV (t = flo'- -f- «2^ -f- «3* == 0 

ist, in welchem sie durchaus unbestimmt wirdi Solcher Quater- 
nionea, wehdie iu Bezug auf die Division dieselbe Rolle spielen, wie 
die Null in dem gemeinen Zahlensysteme, gibt es unendlich viele, 
wenn die Flemente «0 . «n "2 1 “3 4er Quaternion gewühnliche com- 
ple.xe Zahlen sind. Werde# letztero aber in ihrer Variabilität auf 
recdle Zahlen beschränkt, wie dies bei der geometrischen Anwen- 
dung der Quaternionen geschieht, so kann N « nur verschwinden, 
wenn « = 0, d. h. «„ = 0, «i = 0, = 0, «3 = 0; und es ist 

die Division in diesem Gebiete der reellen Quaternionen nur dann 
unbestimmt, wenn der Divisor Null ist. — 

Ks ist von Literersse, aus der Gleichung (4) die Sätze des 
7, welche für eine nicht commutative Multiplication galten, 
direct abzuleiten. 

Zunächst ist aus (4) 

• ■ ß 1_ dK« 

« “ N« 




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152 

also 



V-. Ktuiie Theorie iler Quaternioneu. 



und daher 
s. (13) in §. 7. P'enier ist 



_ Kj« 

« ~ N« 

,1 , K« fl 

^ ■ N « ~ n 



/? n fl K y rt fl 

“ y ^y ~ y 
s. (4) in §. 7 ; lind weiter: 

(7) _ GW _ «K ^ . Kjr 

• y Ny N /? . N7 

Da nun nach (3) in §.42 K . K y = K (j< ß), so hat man vor- 
stehenden Quotienten 
. _ " ^ (y ß) _ « 

Ny.N/9 yfl 

s. (5) in §. 7. Endlich ist 

« n N y K K {fl i K y) 

I /? j ß '^y ~^ß 

und da K (K ;/) == so ist K {ß . K y) = K (K y) . K K 

und somit vorstehender Quotient 

n y K jS n y ‘ 

■“ ^ n7 — ~fl' 

s. (6) in §. 7. Dies sind die Grundgleichungen für die Transforma- 
tion der Quotienten von Quatemionen, aus denen Identitäten wie 

« *• fl «» 

ß y y 

leicht folgen ; denn es ist 



(ü) 



Ebenso ist 



a ß ^ 

ß y ^ ß ^ y 

tt' fl y 



a — 

y 






ft y a 

u. s. f. Dagegen sind Gleichungen wie 

« ßcc a fc 

(vergl. 1*, 2*, 6* in §. 7) in der Theorie der Quatemionen nicht wahr.' 



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§. 45 . Aljffbra der yiiatunuoiieii. 



153 



t?. 45 . ’ 



Algebra der Quateriiioiien. 

Der Uiiistiuid, dass für die (iluateniiyiien die Division iiielit in 
allen ballen bestiiniut ist, bewirkt in seiner Vielgestaltigkeit noeh • 
mancherlei parado.xe Verhältnis.se. 8o hat die (ileichung 

i'“* = 0, 

wenn 

f — xi <1 + a-a <2 + .^3 <3 

gesetzt wird, unendlich viele Wurzeln, nämlich alle die, für wehlie: 

+ a-3=* = 0, 

und es tritt die Erscheinung, dass sich ein I’rodnct nicht in 
jedem Falle ändert, wenn sich ein (ilicd des Prudnetes 
ändert, eclatant hervor, wenn man bedenkt, diiss die (ileichung: 

wo ^ eine Wurzel von = 0 hezeichnot, gleichzeitig mit 
I ('/ + s ) = r 

erfüllt ist, wenn .c irgend eine gemeine coniplexe Zahl ist. 

Ebenso wie = 0 hat auch die (ileichung 






= tt. 



wo « wiederum eine gemeine complexe Zahl bezeichnet, unend- 
l i c 1 ^ v i e 1 e W 11 r z e 1 n. Denn jedes 

b = 'l + -Tä '2 + >^3 '3 

erfüllt, wenn 



»i“* + a’2'* + •«■3'^ = — « 

ist, jene (ileichung. Ist z. I?. a = — 1 , so gibt es ausser S = ii, 1-2, 13 
noch unendlich viele Wurzeln | der Gleichung 



und zwar shid solche 




^ = ti cos «j + <3 cos «3 + 13 cos «3 
wenn cos ^ «1 + cos ^ «3 + cos ^«3 = 1, wo also aj , «3 , «3 die 
Winkel einer Ilichtung mit den Axen eines orthogonalen Coor- 
diuatensystems, aber auch allgemein complexe Zahlen seui können. 
Es ist aber, da die Multiplication einer Quaternion und einer ge- 
meinen complexeu Zahl commutativ ist : 



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154 



Vlll. Heini! TliPorip der yuaternioiiiMi. 

/«) 

und wenn die Qiiateruion i' eine der unendlieli vielen Wurzeln von 
= n bedeutet, so verschwindet das Product 

, (f - /ü ) (f + /ä ) = 0 - . 

ohne dass einer der l’iictoren verschwindet. So ist z. H. 

(<i — ^’) Ul + *) = + ii t— fl, — — 0, 

wo t 'die göwöhidiche imaginäre Kinheit hedeutet, ohne dass 
/, = +«■ gesetzt werden darf. 

Ks liegt hier die Frage nach der Auflösung der algehraiscben 
(Jleichungen in Quaternionen so nahe, dass wir sie wenigstens in 
der Haujitsache heantworten wollen. 

Ist eine Glcicliuug »den (irados 

+ + ••■ + «» = <' 

gegeben, w'o ... «„ Quaterniouen, oder im speciellen auch ge^ 
wöhnliche comjde.ve oder reelle Zahlen bezeichnen können, und £ 
als (^uaternion bestimmt werden soll, so erhält mau duri'h Ver- 
gleichung der mit den 4 Kinheiteu multiplicirten Glieder und 
wenn man 

b = a-o + Xj /i + ;jjj + a’s <3 

setzt, 4 Gleichungen, welche in jedei; der Uidjekannten ^3 

vom /den Giade sind, und, deren .Auflösung n‘ simultane Systeme' 
d. h. Weilhe von f ergibt. Es hat also eine Gleichung* 2teu 
Grades im allgemeinen IG, eine Gleichung Gtcn Grades 81 Wur- 
zeln u. s. f 

Jene Gleichungen sind z. B. für eine quadratische Gleichung 

wo die Coefficienteu von u, ß, y durch die entsprechenden latei- 
nischen Buchstaben bezeichnet werden : 

— X,® — Xj* — X 3 *) — 2a,x„c, — 2 a^„x .2 — '2o3X,^3 + b„x„— 6,.e, — AjXj — ArPsd- c„ — O 
«I (•««“— x,»— X,“ — xs’) + 2«„XoX, — 2 a,,x„X 5 + 2 rt. 2 X„X 3 -f- 6 , x„+ iaXg-t- ijXs-t- r, — 0 

— x,’“) -(- 2a3X„x, + 2 o„x„x., — 2 «,x„xa -f ÄeXo+ A«X| + *1X3+ = O 

— +2a,XoX, + 2«oX„x».+ 6,Xo—l>tX,+ f>,Xi,+ 6„x„+ r;,-=0 

In speciellen Fällen reducirt sich die Anzahl der Wurzeln 
bedeutend. 



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§. 4ö. Algebra der Quaterniouen. 



155 



Die obige Korm der Gleiehuiigeii «ten («rades ist aber keines- 
wegs die allgemeinste; denn bctracbton wir z. H. lineare Gleichun- 
gen , so können diese neben Gliedern o | noch andere | ji oder 
allgemein aSß enthalten, welche sich, da die Vertauschung der 
Factoi’en nicht zulässig ist, nicht auf erstere reduciren. Die all- 
gemciue Form der linearon Gleichungen ist daher: 

2 ’ «. ^ß.^y 

R 

wo die Summe aus beliebig vielen Gliedern besteht; denn in der 
Form a S ß sind oft'enbar die spcciellen a S und ^ ß eingeschlosseji. 

Die quadratischen Gleichungen können neben (fliedem a 
^~ß, ct ß noch Glieder a^ß^y enthalten und zwar umfasst 
letztei’e Form jene speciellen, so dass-; 

H a„ f ß„ I J'„ -j- 2' f f = L 

n tn 

die allgemeinste quadratische Gleichung daisdellt. Man kann so 
mit Leichtigkeit die allgemeinsten Fomien der Gleichungen »iten 
Grades angeben und sieht, dass das obige Raisonnement, nach 
welchem jeder solchen Glyiehung rrt Wurzeln zukommen, auch für 
diese ilu’e Gültigkeit behält. 

Es würde der Natur des Quatonüonencalculs in seiner An- 
wendung auf Geometrie wenig entsprechen, wenn man die Auf- 
lösung solcher Gleichungen in der angegebenen Weise auf die 
^ einzelne Bestimmung der 4 Coefficienten reduciren wollte. • Denn 
' es wüi'de dabei die geometnsche Interpretjition des Resultates 
überall erst nachträglich (wie in der analytischen Geometrie) durch 
ein glückliches Aperyu gefunden werden können , wäilmend es eben 
eine der wesentlichen Eigenthümlichkeiten der Anwendung der 
Quaterniouen imd überhaupt der coiujile.xeü Zahlen auf die Geo- 
metrie ausmacht, dass sie überall die geometrische Bedeutung der 
Formeln sofoii ergeben. Hajulton hat daher AuHösungsmethoden 
ftir die linearen (Lectures ou Quat., S. 559) und die quatlratischen 
Gleichungen (Lectures, S. 631) gegeben, bei denen der Scalar und 
'der Vector der gesuchten Quaternion direct bestimmt wird, indem 
man mit den Zeichen S, V in der §. 42 und 43 gelelu-ten Weise 
operirt. Diese Methoden sind jedoch sehr complicirt, wenig über- 



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15Ü 



VIII. Keine Theorie der yuateniioueii. 



sichtlich und docli rein theoretisch von so genngeni Interesse, dass 
icli hei deni Umfange, den ihre Exposition (dmielimen "würde, hier 
mich begnüge, sie nur angedentet zu haben. 

# 

Nachdem im vorstehenden die Theone der Quateniionen 
selbstständig und ohne Uücksieht auf ihre geometrische Darstell- 
barkeit behandelt ist, geben wir im folgenden Abschnitt ein System 
geometrischer Operationen und daraus entstehender Grössen, 
welche schliesslich in fu), als mit den hier auseinandergesotzten 
formalen Operationen zusammenfallend, nachgewie.sen werden. Die 
Entwickelung von -U! bis .04 aber ist, wie ich ausdrücklich bcv_ 
merke, gänzlich unabhäilgig von der vorstehenden. 





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NEUNTER ABSCHNITT. 



Geometrische Darstellung der Quaternionen. 



§• 4 (). 

Addition dor Bogen auf dei* Kugel. 

ln (len g(K)niotnsclu!n Üntersucluingen des V. .\l)sclmittes ist 

die Ebene, in denen des VII. der fi-eie TIauin als Construetionsfeld 

/ . 

benutzt worden. Hei der durchgreifenden Analogie, welciie die 
Geometrie der Kugel mit der der Ebene bat, ist nun der Versueb 
gerechtfertigt, auf der Kugel selbst, und ohne dass dieselbe auf 
andere Raumgebilde bezogen wird, Operationen durebzufübren, 
welche den allgemein b^rmalen Regeln des §. U genügen. 

Sind A, li,. . . be.stinnnte (v-on ihren Gegenpunkten untei’scbie- 
dene) Punkte einer Kuged, so werdem wir unter der Differeitz 
{B — A) den zwisclu'n und B liegenden Rogen A B eines lbiui)t- 
kreiscs — den Versor A B — verstehen, seiper Grös.so nach und 
ins(,(feni er in diesem IIauptkrei.se liegt; d. h.; wir werden .1 H — 
6'/> setzen, wenn dej’ Rogen HD ebenso gross alsvl/y 
ist, und mit ihm gleichgerichtet, in demselben Haupt- 
kreise liegt, während zwei Rogen, welche diesen beiden Redin- 
gungen nicht gleichzeitig genügen, als ungleich angesehen werden. 

Zwischen zwei Punkten A , U eines Hauptkreises gilit es 2 Bogen , deren 
Summe den ganzen Umkreis ausmacht. Einer Festsetzung, welclier von 
diesen gemeint sei. hedarfes so lange nicht, als der Bogen, dessen Anfangs- 
iind Endpunkt immer bestimmt sein muss, nur als geometrisches Oebilde 
erscheint. Soll aber ein solcher Bogen gemessen werden, so wird maji die bei- 
den oder vielmehr die sämmtlichen Bogen, durch welche A, llin ilircin Ilaupt- 
kreise verbunden werden können , von einander unterscheiden miissfm. Pies 

• 



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158 



IX. (leometrische Darstellung der Qiiatcniioiimi. 



kann gesclielien, indem man sieh den positiven Sinn des Ilauptkreises gegeben 
denkt, in weleliem seine Dogen gemes.sen werden. Bezeiehnet mau dann mit 
« den in diesem Sinne von .1 naeli li fülirenden .kleinsten Bogen, so wird der 
Bogen, welcher im umgekehrten Sinne von --t zu li führt, als (« — 2n) anzu- 
setzen sein, wie überhaupt der Bogen durch jene Festsetzung noch um Viel- 
fache von 2n unbestimmt bleibt. 

Wir werden im Folgenden den positiven Sinn eines Ilauptkreises üb(!rall, 
wo es dienlich ist, ohne weiteres als willktthrlich gegeben ansehen und ihn 
in den Figuren durch angesetzte Pfeile bezeichnen. 

Der Ik'giiff einer Differenz ]! — A setzt den der Summe 
voraus, nämlich 

oder in unserer Bezeichnung 

aba-a = b,' 

d. h. man addirt einen Bogen A B zu einem Punkte A, indem man 
letzteren auf seinem Hauj)tkreise nach /f, also um tlen Bogen A B 
verschiebt. Erschien daher der Bogen' A B zunächst nur als der 
mathematische Ausdruck des Lagenverhältnisscs von A und B, so 
ist er in letzterer Gleichung ein Zeichen, welches ehie Operation, 
eine gewisse Verschiebung bezeichnet und kann daher sehr passend 
ein Versor genannt werden. 

Da die Differenz zweier Punkte kein neuer Punkt, sondern ein 
davon ganz verschiedenes geometrisches Gebilde, ein Versor ist, so ■ 
leuchtet ein , da,ss zur vollständigeii Definition des Additions- und 
Subtractionsbegriffes von Punkten und Versoren noch weitere Con- 
ventionen nöthig sind, welche -mis durch das Princip der Perma- 
nenz an die Hand gegeben werden : - - ~ 

So wird man von der Gleichung: 

{C— B) + {B - A) = {C — A), -BC A- AB^AÜ 
ausgehend (s. Eig. 1 ü), folgende Definition erhalten : 

Unter der Summe zweier Seiten eines sphärischen 
Dreieckes versteht man die dritte Seite, oder genauer: 
Wenn man mit B den einen Durchschnitt der. Haupt- 
kreise zweierBogen «, li bezeichnet und a = AB,ß=BO 
macht, so ist 

a = BC+ AB = AG 

dem A und C verbindenden Hauptkreisbogen gleich. 



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§. 4ü. Addition der Bogen auf der Kugel. 159 

Unter a + (i wird man dann einen Bogen zu verstehen haben, 
den man erhält^ wenn man ß = ü' B, a — BÄ setzt; dann ist: 
a+.ß= BÄ + Ü’B= O'Ä 

ein Bogen, der dem A (J zwar an 
alisolnter Grösse gleich ist, aber 
mit ihm im Allgemeinen nicht in 
einem und demselben Hanptkreise- 
liegt und daher von ihm als ver- 
schieden angesehen werden muss. 
Die Commutativität findet 
somit hei dieser Addition 
nicht statt. 

I 

Es kitiui also auch keine mit ihr verlmndene Multiplication geben (s. §. 7) 
und es wäre daher der Name der Addition für vorstehende Thesis im Grunde 
nicht zulässig. In der That werden wir in §. äl u. ft', sehen, dass die hier als 
Addition bezeichuete Operation wesentlich eine Multiplication ist. Indess wol- 
len wir für diese Zusammensetzung der Bogen bei der Analogie , die sie mit 
der Adilition ddf^Streckeu hat, diesen Namen einstweilen beibchalten und sie 
zum Unierschiede als sphärische Addition bezeichnen. 

Die Figur A CA' C heisst nach Gudermakn (I,ehrh. d. nied. Sphärik 1835, 
§.78, 8.3) ein sphärisches Parallelogramm, und die gleichen Seiten 
A C, C A' parallel, ln diesem Sinne wird man sagen müssen, dass, anders 
wie bei Strecken, zwei Versocen als einander nicht gleich anzusehen sind, 
wenn sie auch gleich an Grösse und pan-allel sind. 

Nur jm Falle, da.ss «, ß Versoren desselben Ilauptkreises sind, 
ist die Addition, welche sich dann auf die gewöhnliche arithmetische 
Addition redücirt, commutativ. Sind «, ß Quadranten*), so liegt 
C" vl' mit A ü in demselben Hauptkreise, aber in entgegengetztem 
Sinne, so dass (« -|- /i) = ^ -f- «). 

Die Subtraction zweier Versoren ergibt sich mit Rücksicht auf 
das allgemeine Gesetz, dass ein Versor sein Zeichen wechselt, wenn 
seine beiden Glieder vertauscht werden, denn wenn a~BÄ, 
ß == B C (Fig. 16), so ist 

a-ß==y BÄ — BO^ BÄ -I- ÜB = CÄ. 

_ ^ 4- « = _ G’B Ä Ä B = BO' A- AB = A C. 

*) „Quadrautal“ oder „lUght Versors“ nach Hamilton. 




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IX. (ioomptrischr Darstollung der QiiatiTiiionpn. 



Addition von Hanptkreisen aut der Kn^el. 

In der Sjdiärik gelten überall zwei Keilnm von Sätzen m'ben- 
eiiiiinder her, von denen sich die eine auf Hauptkreise und ilirit 
Durch.scluiittspuukte bezieht, die andere aufl’uiikte der Kugel und 
die sie verbindenden Haujttkreise. Mali erhält bekanutlieh je zwei 
Sülche in dualer llezieliuug stehentle Sätze- ans einander, indem 
man die Hauptkrei.se dimh ihre Pole, die Punkte durch ihre Aequa- 
toreu, denen sie als Pole entspreehen, ei-setzt. 

Soll aber die liezieliuiig ciao eiudciUige sein, bei welcher jedem Kreise 
nur Ein Pol entspricht-, nhenso wie jedem Pole nur Ein Kreis, so muss man 
jedem Hauptkreise einen bestimmten (übrigens willkürlichen) positiven Siim 
beilegen und ihn in der dualen Eignr nur durch einen Pol, den positiven, 
ersetzen, den wir dadurch bestimmen wollen, dass von ihm aus einem auf der 
Kugel stehenden Beobachter jener positive Drehungssinn des Ilauptkreises von 
links nach rechts, wie der Zeiger der Uhr gehend, erscheinen soll. Misst man 

dann in demselben Sinne den Winkel « b der 
positiven Richtungen zweft Hauptkreise 
j\ a, b, so ist derselbe gleich dem Bogeu A Ji, 

. \ welchen die positiven Pole A und Ji dieser 

hj \ß y Hauptkreise mit einander bilden (Fig. 17p 

/ \ Soll jener Winkel a b bis auf Vielfache des 

/ \ Umkreises 27i.numerisch be.stiramt sein, so 

^ — \ muss derjenige Durchschuittspunkt C der 

/ beiden Haujitkreise ah angegebeu werden. 

p-jg_ i 7 _ au welchem der betrefteude Winkel gemessen 

werden soll; dann ist dieser numerisch 
gleich dem Bogen A II, wenn der positive Sinn des Hauptkreises A II so 
bestimmt wird, tlass jener angegebene Durchschnitt sein positiver Pol ist. 

Als Dtflereuz zweier Hauptkreise «, b erscheint ihr\Viukel u/>. 
Coustruirt man mm die zu Pig. U5 duale Figur, so luit mau unter 
I der sphärischen Summe zweier Winkel hc -|- ah 

. den Winkel a c. zu verstehen. Nimmt man 
<j den Sinn der Seiten eines sphärischen Drei- 

„-A—'o ^ eckes in der Fig. 18 angedeuteten Weise au, 

1 so heisst dies: der Aussen winkel eines 

sphärischen Dreieckes ist die sithä- 
rische Summe der beiden gegenüherliegeudeu inneren 
Winkel desselben. -> 



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§. 48. Addition von Punkten auf der Kugel. 



161 



§.48. 

Addition von Punkten auf der Kugel. 

Wir sind in §. 46 von Punkten auf der Kugel ausgegangen und 
haben ilire Differenz als einen Versoi- kennen gelernt, dabei jedoch 
die Addition der Punkte selbst noch nicht definirt. Um nun auch 
diese zu erledigen, bedarf es einer neuen Festsetzung. Wollte man 
bei der Bedeutung der Summe zweier Pmikte, wie sie in §. 33 ge- 
geben ist, stehen bleiben, so würde man zu einer anderen Definition 
der Gleit-hheij; von Versoreu gelangen, als sie S. 157 angegeben 
wurde. Um mit Obigem nicht in Widerspruch zu treten, werden wir 
ein anderes Verfahren einschlagen, imd zwar Punkte und Versoreu 
homogen machen. Wir setzen nämlich fest, dass ein Punkt C 
einem Quadraiital versor J/iV gleich ist, der auf seinem 
Aequator liegt, so dass von C aus der Bogen MN= \ti 
nach Festsetzung einer für alle Punkte der Kugel übereinstimmen- 
den positiven Urehungsrichtung, und also C der positive Pol des 
Bogens M iV ist : • 

C=N—M - (1) 

und dass man P unkte addirt, indem man ihre Quadran- 
talversoren addirt. 

Wir werden, wie schon bemerkt, um die Anschauung zu hxiren, im Fol- 
genden die Drehung um den Pol C immer positiv nennen, wenn sie für einen 
in C auf der äusseren Seite der Kugel stehenden Beobachter von links nach 
rechts' erscheint, oder, wie mau dasselbe ausdrücken kann, wenn sie im Sinne 
des Zeigers einer Uhr geschieht, welclie mit dem Zifferblattc nach aussen auf 
den Punkt C gelegt wird. . ^ 

Soll jene Festsetzung über die Bedeutung eines Punktes als 
Quadrantalversor znliissig sein, so muss gezeigt w^den, dass sie 
mit Hilfe des obigen Additionsbegritfes der Versoren nothwendig 
auf die obige Bedeutung von B ~ A als Versor A B zurückführt. 
Li der That sei (Fig. 19) B — ED, A— EC, y/o El), EC Qua- 
dranten auf den Aequatoren von B, A sind, deren Durchschnitt 
E ist. Dann geben vorstehende Regeln: 

ab = b — a==ed — ec = eda- CE = CD. 

Es ist aber in der That AB = CD-, deim es liegen 0 und D 
auf dem Hauptkreiso A B , und bestimmt man den Sinn des 

H&nkel, compleze Zahlen. 11 



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162 



IX. (iponietriscliK I)arst<>llun(i: der Qiiaternioiicn. 



• f 

Hauptkreises ji H so, dass E sein positiver Pol ist, so hat man 
J) 7/ = + I , OA = + , also CI) = CA + AB+in) = A B. 




Kig. 19. 



Fenier sieht man, dass 
{B — yl) + A = B. 

In der Tliat ist unter den eben 
gemaehten Annahmen A B — 
CI), A = E C, iUso 

(/>' — A) + A = AB + A=- 
• CI) + EC— EI) = B. 



Dem Gegenpuukte A' von A entspricht oft'enhar ein Vei'sor, 
welcher dem von A entgegengesetzt ist, so dass 

A + A =0, A= - Ä (2) 



gesetzt werden muss. Es kann daher jede Summe von Punkten, 
wenn man ilire Gegonpunkte einfiihrt, sofoil in eine Differenz ver- 
wandelt werden; es ist nämlich 

n-\-A = B — A’^ÄB = {'A BA- A’ A) ^ AB -\-n, (3) 



wenn hier unter n , wie leicht vei-ständlich , der halbe Umfang de.s 
Hauptkreises A B verstanden wird. Vertauscht man B mit A, so 
findet man 

A -I- 7y = BA + 7t. 

Da .aber statt -F /c ohne Weiteres vermöge der Vieldeutigkeit der 
Bogen um Vielfache von 27C, — 7C geschrieben werden kann, so ist 



A-\-B = — (7i-[-AB)= -{B + A).. 

Die Summe zweier Punkte ist also im Allgemeinen ein Versor, wel- 
cher nicht einem’Quadranten, also nicht einem Punkte gleich ist, 
und ändert ihr Zeichen, wenn man die Sum- 
manden mit einander vertauscht. 

Sind Ji, Ji, drei Pimkte- einei; Kugel 
(Fig. 2Ü), so dass die Bogen ,1^, J^, Ji 

Quadranten sind, deren jicsitive Pole resp. 
J3, Ji, Ji sind, so hat m<an Jy-\-J2 — J-i Ji + ^ 
J^, d. h. einem in dem Ilauptkreise 




D"„,ilizc^ ''Ogie 



Fig. 20. 




§. 48. Addition von Punkten auf der Kugel. 



163 



Jj ./ä liegenden Quadranten gleich, der durch den Pol desselben 
vertreten werden kann, so dass 



J\ J'i J3 — Ji , t/a "h «A — «^2 

Ji ’h 1 ’Ji = J\ I — J'i 

wo 7,', J 3 ' die Gegenpuncte von ,/i, ,/j,, bezeichnen. Unter 

-/j + ,/, , welches sich nach obiger Gnmdfonnel (3) = it ergibt, hat 
man einen Versor zu verstehen, welcher in einem durch .Z, gehenden 
Hauptkreise um zr dreht, ebenso unter -|- ,/j und + </, : 

+ >h =^zr, J 2 == TT- , Jj, + «Za = zr (5) 

Ks ist sehr leicht, das associative Princip bei der Addition solcher Qua- 
drantalversoren im speciellen zu erweisen. Man hat 

(./, + ./j) + -fa ~ Ja + Ja = Tr , Jt + (>A + Ja) ~ Ji + -/i , 

w'oraus 

./, + Ji + Ja = TI 




hervorgeht, indem unter diesem tt nichts anderes als eine Prehung nm einen 
Halbkreis zu verstehen ist. Ferner hat man 

Ji + (Ji + Ji) = «/] + Ja — Jt 

(./, + Ji) + Ji — 7t + Ji — Ji 

also , • 

Ji + J, + Ji = .fj . 

' ^ Weiter ist r 

Ji + {Ji + Ji) — Jt + ■h'— Ji + Ja Tt ~ JJ + 71 = Ji 

{Ji + Ji) + Ji — Ja Ji =^fi 

also 

Ji ^ Ji Ji = t/a, 

und ebenso findet mau : 

Ji ^ Ji Ji ^ Ji . ’ 

Da man aus diesen Gleichungeu durch Vertauschung der Indices alle ande- 
ren., das associative Princip darstellenden ahleiten kann, so ist es damit für 
drei Punkte der Kugel in der angegebenen Lage vollständig erwiesen. 



Es leuchtet eiu, dass im Vorstehenden eine Differenz zweier 
Pimkte {B — Ä) im Grunde eine do 2 )pclte Bedeutung hat. Einmal 
drückt sie den Bogen A Zf, seiner Lage und Grösse nach, an sich 
als geometrisches Object aus , andererseits aber kann A B als ein 
Operator, ein Versor angesehen werden, welcher auf einen anderen 
Bogen B C angewandt, d. b. zu ihm addirt, ihn in bestimmter 
Weise dreht und verändert, so dass B C + AB = AO, also ein 
neuer Bogen erzeugt wird. Auch in der Gleichung A B + A = B 

tritt' diese Tendenz deutlich zu Tage. Ein Punkt selbst hat eben- 

u» 



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164 



IX. Geometrische DarstellunR der Quaternionen. 



falls eine zwiefache Bedeutung; einmal drückt er den Punkt seiner 
Lage nach aus, das andere mal, als (^uadrantalversor, zeigt er die 
Tendenz einer Drehung in seinem Aequator an, welche nur dann 
zu voller Wirkung kommt, wenn er mit einem auf diesem liegenden 
Punkte J-i verbunden wird, wo dann jene Drehung die.sen Punkt 
Ji in Jfi überführt; denn es ist -f- ,/j == J^. So sind vorstehende 
Fonnein noch einer neuen Auffassung und Erklärung fähig. Vergl. 
auch §. 52. 

§. 49. 



Das associative Princip bei der Addition von Versoren. 

Soll die sphärische Addition im Sinne des §. 4 eine Thesis sein, 
so muss für irgend drei Bögen «, ß,.y das associative Princip 

{n + ß) + y = u + (ß + y) 

gelten. 

Ks sei (Fig. 21) der Durchschnitt der Kreise dann mache man 
y A H , ß — B C und erhält "so ßA‘y = BCA-AB=AC. Ist E der 

Durchschnitt von A ü mit 
dem Kreise «, so mache man 
A C— DE, a = EF, so ist 
a A- iß •¥ yV — E E Ar A C 
— EFA-DE = D F. An- 
dererseits sei H der Dmch- 
schnitt vou « mit ß und man 
mache k = II I, ß = G H,' 
io u A- ß = B I A- G H 
— Gl, uud wenn L der 
Durchschnitt von y mit G I 
ist, so setze man y = K.L, 
G I — - £j M, also b y 

= (;/+ KL==LMA- KL 
= KM. .Das associative Prin- 
cip verlangt dann , dass D F~ 
= KM, also die Bogen D F, 
K M auf demselben Ilauptkreise liegen und von derselben Grösse sein sollen. 
Es leuchtet ein, dass dieser Satz geometrisch so gefasst werden kann: , 

Wenn die erste, dritte, fünfte Seite KL,G Hy, ED eines sphärischen 
Sechsecks K LG H E Dhoi passender Verschiebung in ihren Hauptkreiseu 
ein sphärisches Dreieck ABC bilden , so können auch die zweite , vierte, 
sechste Seite L G, HE, D K durch Verschiebung zu einem Dreieck MI F 
zusammengesetzt werden. 




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§. 49. Das associativc Princip bei der Addition von Versoren. It55 



Diesen Satz hat nun Hamilton einmal mit Hilfe von Sätzen über sphä- 
rische Kegelschnitte, dann aber auch durch complicirte Betrachtungen und 
aus der Kugel seihst heraustretende Constructionen erwiesen, welche, obgleich 
den Klemeuten augehörend, auf weit hergeholten Argumenten beruhen und 
sich sonderbar genug bc'i dem Beweise eines fundamentalen sphärischen Theo- 
rems ausnehmeu (s. Lectures von S. 277 an). Später hat er selb^ die Con- 
structionen unangemessen gefunden (,s. Elements von S. 2S6 an) und einen 
selbstständigen Beweis des associativen Priucipes durch eine andere Aimrd- 
mjjig der Sätze der Quaternionentheorie (s. Anmerkung zu §. 54) überflüssig 
gemacht. Aber anch so wird der vorstehende rein sphärisclie Satz durch Con- 
structionen ausserhalb der Kugel erwiesen, und die Eleganz der Entwickelung 
wesentlich beeinträchtigt. Es hat aber Möbius iBer. d. Sachs. Gesellsch. d. 
Wiss., Leipzig 1859. S. 198) einen Beweis des associativen Principes gegeben, der 
durchaus sachgeniäss und einfach ist, und auf folgenden Betrachtungen beruht: 



Es seien (Fig. 22) um einen und denseFbeii Mittelpunkt 0 zwei 
gleiche Kugeln F AB GH \n\A PQ beschrieben, von denen die eine 
FA B G II fest, die andere inneriialb derselben -drehbiir ist. Auf 
den ersten seien .5, auf einem Hauptkreise .sich in gleichen Intervallen 
folgende Punkte FA BGH gegeben,* auf der .zweiten zwei Punkte 
j , P, Q, welche zunächst mit 

i ß 




V 1 Al' ]ri ( 0 pV Dreht mau jetzt die beweg- 

/ < \ a.y li. 



A B Zusammenfällen (s.Fig.a). 



h 

Fig. 22. 



liehe Kugel um 0 A als 
Durchmesser durch einen 
Halbkreis, so kommt Q mit 
F zur Coincidenz (s. Fig. b.). 
Dreht man die bewegliche Kugel aus dieser neuen Lage um die Axe 
O B durch einen Halbkreis, so kommt (s. Fig. c.) Q mit II, P mit G 
' zur Coincidenz. In dieser Endlage ist aber P Q gegen seine An- 
fangslage um einen Bogen AG = 2 . A B auf seinem Hauptki’eise 
verschoben, und wir können che neue Lage der Punkte P, Q, wie 
sic durch die beiden Drehungen um A und i/, die wir durch [2A], 
[2B] bezeichnen, hervorgebracht ist, auch mittels einer Drehung 
durch den Winkel 2 . AB um die Axe dieses Hauptkreises A H 
erzeugen. Da aber die Lage einer iim ihren Mittelpunkt drehbaren 
Kugel durch zwei ilmer Punkte vollkommen bestimmt ist, so kann 
das Resultat \2Bi\ ’-F [2A] der successiven Drehungen um [2A] und 
\2B], vollkommen durch jene einzige Drehung um die Axe von H.S, 
die wu- mit [2 . A B\ bezcüchnen , ei’setzt werden , so dass 



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166 



IX. Geometrische Darstellung der Quaternionen. 



[2Ä] + [2A] = \2.AJi] 

geschrieben werden kann. Ebenso ei'hält man, aus was liir einer 
Lage mau auch die Drehung begiimen mag : , 

[26'J + [2B] = \2.BC] 

und daher 

[2C] + [22?] + [2B] + [2yi] = [2 . 2? C] + [2 . J 
wo immer die Drehung, welche in einer Summe rechts steht, früher 
als die w'eiter links stehende vorzunehriien ist. Nun beachte man, 
dass die zweimalige Drehung um die Axe () B durch einen Halb- ' 
kreis die Punkte wieder an ihren alten Platz zurückbiingt, imd daher 
[2f '] -I- [2A] = [2 . 2? G’] -h [2 . A B] 

ist, oder da 

[2C]-^[2A] = [2.AC], 

auch: 

• [2 . vl 6'] [2 . 2? 6’] + [2 . yl /?] 
d. h. w'elches auch die anfängliche Lage der um ihren 
Mittelpunkt drehbaren 1v ugel sein mag, im mer wird das 
Resultat der successiven Drehuugeii durch die dop- 
pelten Seiten \2 .A B\ und [2 .BC\ eines sphärischen Drei- 
ecks im Resultate einer Drehung um die doppelte 
dritte Seite [2. .4 6'] äquivalent sein. 

s Immer also, wenn zwischen drei Versdreu k, a, i die Gleichung 
rt + (J — t 

im Sinne des §. 46 besteht, wh’d in Bezug auf die Drehungen: 

[27t] -h [2a] = [2t]. 

Aus der Bemerkung, dass jene Aequivalenz der Di'ehungen 
unabhängig von der Anfangslage ist, geht nun sofort die Associati- 
vität bei der Addition von Drehungen hervor: denn wendet man auf 
irgend eine Anfangslage zunächst die Drehung [2y] , dann die [2/?], 
dann die [2a] an, so ist dies 

• 1) dasselbe, als ob man zuerst die Drehungen [2y], und [2/?] 

in die eine : 

m + [^y] = [iJd] 

zusammengesetzt, imd schliesslich noch die Drehung [2a] vorge- 
nommen hätte. Das Resultat der ganzen Drehung kann dann in 
die eine 



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f 



§. (ieonjetrineli-phnronoinlfiche Sätze. Iö7 

[2«] + [2ciJ = 

vereinigt werden. Jene erste Gleichung aber verlangt, dass^^d- d, 

letztere, (Ittss « + d — «, so dass 

« + (ii + y) — C 

2) Fasst inan anderci-seits die siiccessiven Drelningen [2(^] und 
[2«J in die eine 

[2«j + [2/^] = [2e] 

zusaininen, und wendet diese Drehung an, nachdem man um [2y] 
gedreht hat, so kann das Resultat 

f2«] + [^y] = 

gesetzt werden. Gleichzeitig ist dann a ß = t und { + «<=»■ 
also: 

{n ß- ß) + y ^ r^. 

Nun ist aber das Resultat beider Drehungen dasselbe, also 

[•^a = [2r,]. 

Aus dieser Gleichung kann nun zunächst abgeleitet werden, 
dass C und ^ Versoren eines und desselben Hauptkreiscs sind, welche 
dopjielt genommen einander, gleich sind. Diese Versoren sind 
daher entweder einander gleich (um ganze Umkreise verschieden) 
taler um einen Halbkreis verschieden. Letzteres ist nicht möglich; 
denn läs.st man u, ß, y sich stetig ändern, so ändern sich auch C, 

■■ stetig, uml da diese beiden Versoren unzweil'elbaf't zusaminenfallen, 
wenn einer der Bogen a, ß, y unendlich abnimmt, so sind sie all- 
gemein nicht'um n verschieden, solidem einander gleich, also 

(o + (i?) + 7 = »; = ?=«+.(/:; + y). 

§. 50. 

(ieometi‘is(‘h-|ihuronoiiiische Sätze. 

Nachdem das associative Frincip bei der Addition von Versoren 
nachgewiesen ist, sind jetzt die ohne Vhiraussetzung der Commiita- 
tivität abgeleiteten (ileichungen (1) bis (1(5) des 6 ohne weiteres 
anwendbar. i 

So hat man, wenn Ay, . . . beliebige Punkte der Kugel sind, 
und -Hl Ai, ... deren verbindende Bogen mit Rücksicht auf Länge 
und Lage bedeuten, aas der Gleichung: . 



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168 



IX. Geonietrische Darstellung der Quatemionen. 



-^3 H" •'^2 •'^3 

mit Hilfe des Zeicheus 0 für den Modul der Addition (s. (7) in 6) 
die andere : - ‘ 

-^3 -^1 "f" -^2 -^3 4" -4i Ai — 0, 
oder allgemeiner ' 

A, Al + An-t A, + . . . -i- Aj, Ai + ^1 Ai = 0 
d. h. die sphärischeSumme der Seiten eines sphärischen 
Polygons ist der Null gleich. , 

Versteht man unter , n^, ... Hauptkreise, so erhält man aus 
der dualen Gleichung; 

03 Oj + Oj O3 + Ul Oj = 0 

den Satz: die sphärische Summe der drei Winkel eines 
sphärischen Dreiecks ist Null. Bekanntlich ist bei einem 
ebenen Dreieck die arithmetische Summe der Winkel Null. 

Es ist von grossem Interesse eine häufig vorkommende Com- 
binatiottvon Versoren 

« + /? — « 

in ihrem Resultat zu betrachten. Es sei (Fig. 23) a = C A, ß — B C, 
soist« + ß —CA + B.C— B A. Dann mache man AK= B A, 
AD = a und hat dann: 

a ß — a = BA — a — AE — A D = A E A" D A ^ D E = y 

Der Versor y macht mit « den- 



IB’ 






A' 

selben Winkel-, als der ihm an 
Länge gleiche ß, äst aber ent- 
lang a um den Bogen 2« ver- 
schoben. Um dies Verhältniss 
klar herauszusteUen, construi- 
ren tvir die Pole A', B! , C 
der Kreise a, ß, y\ weil die 
Winkel, welche ß, y mit « bil- 
den, einander gleich sind, so 
müssen nach bekannten Sätzen auch die Bogen B[ A' und C A' als 
die jenen Winkeln polar entsprechenden, einander gleich sein, also 
B' C' auf einem (im Allgemeinen nicht grössten) Kreise der Kugel 
liegen, dessen Pol Ä ist. Um den Bogen ß mit seinem Pole E in 
den Boggn y mit seinem Pole C überzuführeu, muss man das 




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§. 50. Geonietrisch-phoronomische Sätze. 



169 



System von ß und B' um den Winkel entlang n verschieben, 
oder,ujn den Winkel 2« um A' drehen: der Verso r 
'* ' y = n ß — « 

wird daher aus ß bei einer Drehung durch den Winkel 
2« um die Axe von a erhalten. 

Es ist hienach die an ß auszuführende Drehung keine andere, 
als die, welche wir im vorigen §. diu’cb [2a] bezeichnet haben. Um 
den Satz von der ^Zusammensetzung der Drehtingen (S. 166) jetzt 
analytisch darzustellen, erinnere man .sich, dass ohne Commutation, 
nach (16) des §.6 -• 

— iß + tt)=— a — ß,’ 
also nach dem associativen Principe: 

(/^ + a) + d — (/? + «) = /^ + (« + d — tt) — ß 
d. h.: das Resultat der successiven Drehungen irgend eines Versors 
um [2a] und [2/?] ist gleich der um [2y], wepn y = ß a. 

Es lässt der Satz von der Zusammensetzung der Drehungen 
noch einen anderen Ausdi-uck zu. Sei nämlich (Fig. 24) 2n = AB, 
2ß = BC, und A B, BC in I), E balbirt, so ist 
a — DB, ß = BE und ß u — B E + DB = 
D E und daher: [2 . BE] + \2 . D B] = ]^2 . D E], 
oder [B C] + [^ if] = [2 . D E], Also: die suc- 
cessiven Rotationen [AB], [B C] durch 
zwei Seiten eines sphärischen Dreiecks 
sind äquivalent einer Rotation [2 . D E] 
■ durch das doppelte des Bogens, welcher 
die Mitten jener Seiten verbindet, wobei man sich immer 
zu erinnern hat, dass eine Rotation durch einen Bogen eine Rotation 
um seinen positiven Pol und einen dem Bogen gleichen Winkel be- 
zeichnet. 

Es erhebt sich jetzt weiter die Frage, was -das Resultat der 
Rotationen dm’ch die drei Seiten eines sphärischen Dreiecks ABC 
(und nicht wie oben durch die doppelten Seiten) sei. Um sie zu 
beantworten*,, bemerken wir zunächst, dass die Lage einer sphäri- 
schen Figur durch einen Punkt und die Richtung einer, durch den- 
selben gehenden, mit der Figm' unabänderlich verbundenen Geraden 
vollständig bestunmt wird. 




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170 * IX. Geometrische Dai-stelluiig der (juaternioiien. 



Denken wir mis nun mit einer Figur, welche jenen Rotationen 
durch die drei Seiten AB, BC, (JA untenvorfen werden soll, einen 
Punkt fest verbunden, der zunächst mit A zusammenfällt, so wird 
derselbe während der Rotationen die Seiten A B, B C, G A durch- 
laufen, also schliesslich zu A zm'ückgekehrt sein. Das Resultat 
Jenei- drei Rotationen wird daher durch eine einfache Rotation um 
^1 als Pol ersetzt werden können. , Um deren Grösse zu finden, . 

denke mau sich die Tangente 
■u (Fig. 25) an den Kreis A B 
in 4 gelegt; diese wird bei 
der ersten Rotation durch 
4 B nach B verschoben, und 
heisse in dieser Lage u; durch 
die zweite Rotiition gelangt 
sie nach G und macht dabei 
denselben Winkel mit a als 
in B, so dass, wenn man ihre 
neue Lage mit w bezeiclinet, 
w a = V a = c a. Der Win- 
kel mit /> ist daim leö = 
ir « -j- a ^ — r ffl -|- a 6 und 
somit wb = ca + a h. Wird Jetzt die Rotation durch C A vor- 
genommen, so gelangt ui nach x, indem^a; dabei in 4 denselben 
W'inkel rnit b macht, wie w in 0-, so dass x b = w b == c u -f- ab. 
Die Lagendifferenz von u und x wird daher durch ux = ti b-\-b X 
— uh — (c a -|- a li) ausgediiickt; und da ub = cb = bc, 
so liat man . ' 

ux — — {a b b c a). 

Bezeichnet mau die iimeren Winkel des Dreiecks im gewöhn- 
lichen Sinne mit 4 , B, 6', und rechnet die Winkel auf der Kugel 
im Sinne ABC positiv, so hat man ab = 7t — C,b c ^ rt — A, 
ca — 7t — i?, und also ■ 

ux = A-\-B-\-C — 7t 

dem sphärischen Excess, oder der Fläche des sphäniSchen Drei- 
eckes gleich, und damit den schönen Satz: ' 

Die successi ven Rotationen um die Seiten 4 B, BV, 
OA eines sphärischen Dreieckes sind äquivalent einer 




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§. 50. Geometrisch-pJiorouomische Satze. 171 

einfachen Rotation uni den Pof A und eineh Winkel, 
welcher der Fläche des sphärischen Dreieckes .d L' 
gleich ist, oder in Zeichen - 

- [L;A] + [BC] + [AB] = [2i„\, 

wo (0 ein Versor iniKdein AVinkel i (A f /— n) und dem 

Pole A ist. 

Hieraus lässt sich eine weitere Folgerung ziehen-, sind näm- 
lich 2o — AB, 2ii = B V, 2y = (JA jene Versoreu, so drückt (Ue 
Formel: 

y + {jV + (o + fi — o) — + /i? + «) -F « — (j' -F /i H- u) 

die successiven Rotationen des t um [2 k], [2^^], [2j'] aus, deren Re- 
sultat durch [2d] dargestellt werden kann, wo y -F + o = d. 
Nun ist aber nach vorstehendem Satze dieses Resultat [2d] == [2w] 
und daher lo = 6 = y [i + ct, oder: die sphärische Summe 
der halben Seiten eines sphärischen Dreieckes 
\_C A \ B C \ A B , 

gleich einem Versor, dessen Pol die erste Ecke H, und 
dessen Winkel der halben Fläche des sphärischen 
Dreieckes .,1 C' gleich ist. 

Man bemerkt, dass die Multiplieation oder Division mit ganzen Zalilcn in 
■ einer Gleichung zwischen Versurcu im Allgemeinen iiielit gestattet ist. Denn 
während 2y + 2/} + 2k — 0 ist, so wird j- + (3 + k ^ w. Es steht dies da- 
mit im Zusämmenhunge, dass die Addition nicht commutativ ist, also im 
Allgemeinen (y + /) + ,<) + (j- + ,3 + nicht auf (2;- + 2ß -p 2«) reducirt 
werden kaiui. — 

Nach dem Satze S. Itit) gibt die Verbiudimg eines Quadrautal- 
versoi-s (Punktes) I> mit einem Versor «, (/Z «F o — B) eine Drehung 
[2Z>J , d. h. aber eine Drehung um den Punkt D und durch seinen 

doppelten Winkel ,’ nämlich einen Halb- 
kreis. Ist (Fig. 2(j) ct — A O, so wird 
y> -F « — ]) = B II, wo IJ die Mitte 
von A B und die Winkel (JA D und 
H B I) einander gleich sind. Es wird 
daher ( D -+• er — I>) aus a erzeugt 
werden können durch eine \'erschiebung entlang A B und eine 
sohliessliche Umkehrung seiner Richtung; und es imterscheidet 










Fig. 2(j. 



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172 



IX. Geometrische Uarstellunp; der Quaternionen. 



sich der Bogen, welcher durch eine an « vorgenommene Drehung 
[AB] aus a erzeugt wird, von dem durch [2Z>] .erhaltenen, nur 
durch die entgegengesetzte Richtung. 

Sind jetzt (Fig. 27) D E F Mitten der Seiten 'eines sphäri- 
schen Dreiecks A B C, und denkt man sich einen Bogen «, dessen 
einer Endpunkt zunächst in A liegt, den drei 
Rotationen durch die Seiten [^4 7i], [D C],.[C A\ 
luiterworfen, so wird er am finde wieder mit 
demselben Endpunkte in A angelangt sein und 
das Resultat durch (w -f- « — w) = ß aus- 
gedrückt weitleu können, wo w einen Winkel "von 
der Grösse f (^4 -H'.ß + 0 — jt) bezeichnet, 
Fig. 27. dessen Pol A ist. " 

Denkt man sich ferner 




F -f- \E {B Ar u — D) — Ej\ — : F = ß' 
gebildet, so erleidet dabei « dieselben Drehungen, dreht sich aber 
überdem in jeder Ecke noch einmal; im Ganzen also dreimal, 
und es wird daher ß' die entgegengesetzte Lage als vorhin ß ein- 
nehmen. Es ist nun vorstehender Ausdruck identisch 



^{F+ E+ D) + ci-{F+ D + E) = ß\ 
und bezeichnet man den noch unbekannten Versor F E D = i,/, 
so ist 0)' + ct — w' = ß" neben w -|- « — to = ß und [2w'] == 
[2tü] [3yf]; es stellt somit w' einen Versor vor, dessen Pol A ist, 

und dessen doppelter Winkel dem doppelten Winkel von w ver- 
mehrt um S/c, d. h. gleich .4 -J- ß -|- G -|- 2^1 ist, so dass der 
Winkel des Versor w' = | (.4 -H ß -f- G) -|- 7c. Man hat somit 
folgenden höchst werthvollen Satz : 

Die Summe dreier Punkte (F -p E + D), welche nicht 
in einem Hauptkreise liegen, ist ein Versor, dessen Pol die 
Ecke A und dessen Winkel, ^ {A + E 0) + tt, die Hälfte 
der -Winkelsumme eines um BEF beschriebenen Drei- 
ecks ABC ist, dessen Seiten AB, BC, GA i.n jenen Punk- 
ten gehälftet werden. 

^ Die Summe {F + E + B) kann noch auf eine ganz andere 
Weise geometrisch dargestellt werden. Beschreibt man nämlich 
(Fig. 28) um B als Pol einen Hauptkreis und nimmt auf ihm 'den 



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§. 50. Geometri^ch-phoronomiscbe S&tze. 



173 



Quadranten iCi, so i^tD= KL. Macht man nun F — E = 
■ K F^L M, so ist (7<’ —£) + />= /> M K L = K M. Nun 

ist nach (3) auf S. 102, F— E = 
F E -\- 7t , also -f- i? -f- == 

KM + 7t. Diese directe Construction 
von n) kann nun mit vorstehender 
verglichen werden, und lehrt, dass 
der Pol diases Vei-soi-s (A' M + n) der 
Punkt A jenes um D E F beschrie- 
henen Dreiecks ABC ist, und 
{KM + 7t) an Grösse , 

= i (-^ + ^^ + G) + 7t , 

so dass also 

Ä M = J {A -p B “t- C) 
oder, wenn N den Dm-chschnitt von 

K M mit A D bedeutet, wo K A' = ^ , A' M = \ {A-\- B'Ar G— 7t). 

Man erhält hieraus, wenn man beachtet, dass D L — ^ — AN, 
, also L N — D A, folgenden Satz : 

Ilalbirt man die Seiten AB, BC, C A ‘eines sphärisclien Drei- 
ecks in D, E, F, legt durch E F einen Kreis,' welcher die verlän- 
gerte Seite A B \i\ L schneidet, und construirt ein bei K recht- 
winkliges Dreieck L NM mit L M = E F als Hyiwtenuse, so wird 
die eine Kathete LN — DA, die andere NM aber ist das Maass 
für den halben Fläch'eninhalt des Dreieckes ABC. 

Diese interessante Construction des Flächeninhaltes ist von Gudehmank 
(L ehrb. d. niederen Sphärik, 1H35. §. 106) zuerst gegeben und auf elementarem 
Wege erwiesen worden. Von dieser geht Hamilton {Lect. on Quatern. S. 218 u. ff.) 
aus, um die zunächst als Bogen K Af dargestellte Summe (F'+ A' -F D) zu 
deuten. Weniger sachgemäss ist die in den Eiern. S( Quatern. S. 331' u. ff. 
gegebene analytische Ableitung. — 

Es lassen sich an vorstehende Sätze noch zahlreiche und fär die Sphärik 
wichtige Bemerkungen knüpfen ; wir beschränken uns auf die vorstehenden, 
die schon genügend die Fruchtbarkeit und Angemessenheit des Additions- 
begrift'cs von Bogen dargethan haben werden Um kurz zu sein, habe ich darauf 
verzichtet, allen vorstehenden Sätzen die allgemeinste, sich auf Bogen jeder 
Grösse und jeder gegenseitigen Lage beziehende Form zu geben, deren Dar- 
stellung dem Leser überlassen bleiben mag. 




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174 



IX. Geometrische Darstellung der Quatemioncn. 



§■ 51. 

Die Multiplication und Division von Einheitsvectoren. 

Die in den vorstehenden §§. gelehrte Verkirüpfung von Punk- 
ten A, li . . . und Bogen A Ji, ... einer Kugel kann auch, wenn 
wir von der Kugel auf den Raum übergehen, als eine solche der 
Strecken 0 A, OB... und der Versoren A O B, . . . angeselien 
werden, welche durch Verbindung der Punkte der Kugel mit ihrem 
Mittelpunkte 0 entstehen. Als eine Addition tler .Strecken 0 A, 
OB, . und der Versoren A 0 B, .. . kann jene Verknüpfung, wie 
schon bemerkt, ihrer Incommutativität wegen, im Sinne des §. 7 
nicht betrachtet werden. Ueberdem ist eine .\ddition von Strecken 
schon in §. 20 gegeben woi'den. Wir werden die sphärische Addi- 
tion des §. 40 und 48 jetzt als Multiplication bezeichnen, indem wir 
uns den Nachweis, dass gie zu jener .Addition der Strecken in distri- 
hulive» Beziehung steht, auf §. 54 Vorbehalten. 

Bezeichnen wir die nach den Punkten A, B, (J . .. gerichteten 
Radien*) einer Kugel, deren Halbme.sser die Einheit sei, ^ durch 
die Buchstaben «, , />i , c, ... mit dem Index 1 , so werden wir also 
die sphärische Addition und Subtraction der Punkte A, B, C ... 
durch eine Multiplication und Division der Strecken **) c, ... 

und den Modul 0 jener Addition durch den Modul 1 dieser Multi- 
plication «•setzen. Mit dieser veränderten Bezeichnung nehmen 
dann die Sätze der tj. 40 und 48 folgende Gestalt an : 

Unter dein Quotienten zweier Radien a, , ***), 

welchen wir mit bezeichnen, versteht man einen 
Versor, nämlich das Dreieck A 0 B (P’ig. 29) 
seinem Winkel A 0 B und seiner Ebene nach, 
d. h. man wird 

u, c, 

setzen, wenn die gleichen Winkel A OB == ü Ol) \n einer Ebene 
liegen. 




Fig. 29. 



*) „Unit vectors“, Einheitsvectoren. 

**) Strecken nennt man nach Hamilton überhaupt „Vectoreii“. 
***) „Kadial“ oder „Biradial“. 



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§. 51. Die Multiplication und Division von Kinheitsvectoren. 175 

Um zwei Quotienten «j, mit einander zu multipliciren, 
wird man : . - 

. C] 

“1 — ii; 

setzen, indem den Radiu-s bezeichnet, welcher in dem Durch- 
schnitt ihrer Ebene liegt, und hat dann : 



ßi ■ «1 



Ci 

bl a, a, ’ 



also das Product zweier, einem neuen Quotienten derselben Art 
gleich, so dass ßi, ;<i eine dreiseitige Ecke l)ilden.- Es ist dann 
ßi . Ul von «1 . ßi im Allgemeinen verschieden. 

Einen Radius cj wird man (nach (!)>?• dH) einem Quotienten 
zweier Radien »i, /«], welche sich in einer zu Cj senkrechten Ebene 
befinden, imd so auf einander seukreebt stellen, dass M 0 N = | 
von cj aus in der einmal festgesetzten Riebtung (von links nach 
rechts) erscheint, gleich setzen : *) * . 



«I 

7«| 



Der Cj entgegengesetzte Radius c/ muss , da nach (2) in §. 48 
c, . c'i = 1 sein soll : 






gesetzt werden, da cj 



1 ist. Es kann daher jedes Product 



von Punkten sofort in einen Quotienten verwandelt werden; denn 
es ist (vergl. (3) in 48) : 

Sind /'i , 4, «3 drei Radien, so dass 0 von ,/, , ./, von ,/j, 

,/i fl von J-n alsein positiver rechter Winkel erscheint, so ist nach 
(4) in §. 48 : , 

* «j = Ü 3 , ij = , <3 (j = *3 

h *1 *3 , '3 *3 — *1 ) b ~ *2 

wenn /j', 4' die 4, 4 entgegengesetzten Radien sind, und es 
ist die associative Eigenschaft bei der Multiplication derselben in 
§. 48 nachgewiesen. • . ’ 



•) Es heisst r die „Axe“ des Quotienten, und letzterer selbst ein „Higlit- 
Quotient“, 



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176 



IX. Geometrische Darstellung der QusternionCn. 



Da auch in §. 49 die allgemeine associative Eigenschaft bei 
der Multii)lication von Quotienten: 

, ai{ß\V\) = {uißi)yi 

ei-wiesen ist, so gelte^i für -die Radien, und ihre Quotienten alle 
Multiplicationsrogeln (1) bis (16) des §, 7 ohne Comniutation. 



§.52. • 

Die Quateriiionen und ihre Mnltiplication. 

Haben wir hier eine Multiplication und Division von Stieckeu, 
welche alle von der Ijängeneinheit sind, kennen gelernt, so kann 
daraus mit Leichtigkeit eine solche Operation für alle Strecken im 
Raume, die man sich nach S. 75 auch von einem einzigen Punkte 
0 ausgehend denken kann, hergeleitet werden, wenn man eine 
Strecke a allgeihein durch 

a — a Oj 

darstellt, wo der ihre Richtung angehende Einheits-Radius ist, 
und a eine reelle, positive oder negative Zahl, die Grösse, den Ten- 
sor der Strecke bezeichnet. Setzen wir dann fest, dass in jeder 
multiplicativen Verbindung diese Tensoren beliebig 
ihren Platz wechseln können, so wird ein Quotient zweier 
Strecken a—aai,ö = bdi 
' ■ a a a, 

“ ~ T “ T)' ■ ^ 

aus zwei Factoren bestehen, deren ersten man den Tensor von «, 
letzteren aber den Versor nennt und 



£ 

b 



= T«, 






U, 



setzt. Ein solcher (Quotient a tängt von dem Verhältniss der ab- ^ 
soluten Längen beider Strecken, dem Tensor ÖA-.OB, wenn 
mau a=OA, l>=OB setzt, sowie von dem Winkel AO B 
(dem Versor) und dessen Ebene ab. Da die Lage der letzteren 
durch zwffl Winkel bestimmt werden kann, so enthält « im Gan- 
zen vier von einander unabhängige Elemente, die in a, /? dieselben 
sem müssen, wenn a = (i sein 'soll, und heisst daher eine 



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§. r>2.' Dip Quatemionnn und ihre Mnltiplication. 177 

Qnaternion. Sie firückt flie Art*) eiiios Dreiecks AOD aus, 

insofern , , 

^ h rt 

wenn die Dreiecke A 0 B und ü 0 B (Fig. 30) gleichsinnig ähnlich, 
in Einer Ehene liegen. Eine Quaternion ist eine besondere geome- 
trische Grösse **) ; nur der Quotient zweier 
aufeinander senkrechten Strecken n-. m stellt 
eine auf ihrer Ebene senkrechte Strecke ***) 
r. vor.j deren Ijänge sich zu der von » ver- 
hält, wie die Längeneinheit zu der von m. 

Es gelten nun ohne weiteres alle vor- 
stehends für die Einheits-Radien und deren Quotienten (Versoren) 
geniachten Bemerkungen, aueh für beliebige Strecken und die Qua- 
ternionen. Beachtet man. dass in der jetzigen Auffassung Strecken 
entgegengesetzter Riclitung mit Tens^n-en von entgegengesetztem 
Zeichen vei'selien'sind, so ist für Sti’ecken von der Längeneinheit 
die zu ci eiitgegengesetzte Strecke c'i = — c, also : 

. • ’l 

V • C • 1 

Diese Gleichung aber gibt, da cj ^ — 1 ist: Cj ( — c,) = 1 oder 

c,c,=-l ^ (1) 

• Das Quadrat jeder Strecke von der Längeneinheit ist — 1 . Mittels 
dieser Bemerkung t) erliält man das Gleichungssystem: 

>i *1 = — ^ 1 , h H — — i 1 '3 '3 ~ ■ 1 ] 

H + *3 » ^3 ~ “h *1 ’ *3 h "f" *2 y (2) 

<1 ~ — I3 , I3 , »1 *3 = *2 ' 

worin i \ , -/* , 4 die Axen eines- rechtwinkligen Goordinatensystemes 
(vei’gl. Fig. 20) sind. - 

*) Die Species (ini Sinne der älteren Mathematiker) des Dreieckes oder 
Biradiales O li. 

•*) Man unterscheidet an ilir ihre Ebene, deren Lage "auch durch eine 
auf ihr senkrechte Gerade, ihre „Axe“ bezeichnet sein kann, und ihren Win- 
kel, ihre „Amplitude“. 

**•) Den „Index“ der „Kight Quaternion“. 
t) Vergl. (4) und in) de.s §. 48. Ueherhaupt sieht man, dass wie der Modul 
der Multiplication +'l den Modul der Addition 0 oder vertritt, jetzt au 
Stelle von n des §. 48 das Zeicheu — 1 tritt. 

Itaukel, coiiiplti^c Zahlen. 1)^ 




o 

Fig. 30. 



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178 



IX. (reometrische Darstellung der Qiiaternionen. 



Wir haben schon in §. 48 auf die doppelte Bedeutung aufmerksam gemacht, 
welche den Quaternionen und Strecken — denn diese treten jetzt an Stelle der 
dortigen Versoren und Punkte — zukonimt, jls geometrische Gebilde einer- 
seits, und andererseits als Dperatoren. welche die Tendenz einer Drehung aus- 
drücken. Strecken erscheinen sowohl als geometrische Objecte, wie auch als 
Quadrantalversoren. In einem Producte t'i fo kann man den ersten Factor j, 
als Multiplicator aiisehen, der eine Drehung des Multiplicandus , der Strecke 
ij, um jenes i, als Axe und durch einen Quadranten, bewirkt, und also 13 als 
Resultat liefert, u. s. w. So zeigt sich auch hier dieselbe Erscheinung, wie hei 
der gewöhnlichen Multiplication (S. S. 2), dass in einem Producte die Factoreu 
bald als Operatoren, bald als Operanden anzusehen sind. Fasst man die Mul- 
tiplication allgemein auf alseine Operation, ‘welche als eine an dem Multipli- . 
candus vorzunehmende der Multii)licator anzeigt, so verliert der Umstand 
einer incommutativen Multiplication überhaupt seiqg Paradoxie. 




Wird in einem Versor eine Strecke mifder 



entgegengesetzten vertauscht' wodurch der Verlor 
sein Zeichen ändert, so nimmt (Fig. 31) der Winkel 
um 7t zu, und imigekehrt: Nimmf der Winkel einer 

^'8- 31. Quaternion um ?r zu, sa ändert sie ihr Zeichen. 

) . 

Mit Hilfe dieser Bemerkungen lU.sst sich der S. 172 gegebene 
Satz über die Summe dreier Punkte so darstellen: Das Product 
dreier Einheitsvectoren f\ <4 ist ein Versor, dessen Pol die Elcke 
A jenes Dreiecks uhd dessen Winkel \ {A + B C) + 71 ist. 
Nennt mau jj eine Quaternion mit diesem Pole und dem Winkel’ 
\(A + B C), so ist fl Cj rfj = — j; oder: 

•N. 

und es ist somit das Product — rj, oder die vierte geometrische 
Proportionale dreier Einheitsrectoren eine -Quater- 
nion von dem angegebenen geometrischen Charakter. • 

Zwei Quatemiohen nennt man „ c 0 n j u g i r t “, 
wenn die sie darstellenden Dreiecke in einer Ebene 
entgegengesetzt ähnlich sind, und bezeichnet sie 
mit a und K «. Ist dann (Fig. 32) ' 




OA jr Oil’ 

ct y ^ , K a ^ 

so ist B O A = aIC 0 D un,<L: 

O A xbB=^ Ö~C : ÖD. 



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§. r>2, Dip Qimtprnionpn und ihrp'Mnltipliration. 



179 



Pfl TT 



Die Tensoren zweier conjugirten Qilatenrionen sind also 
einandei' gleicli, ihre Winkel entgegengesetzt. 

Stellen 0 A , 0 B auf einander senkrecht, so ist « eine Strecke, 

K u die entgegengesetzt gericldete, also für Strecken p 

K a = — a. (3) 

Sind « 1 , Ä, Strecken von der Längeneinheit, so ist 

-(4) 

da man allgemein die Richtungen 0 D mit O A, O C mit 0 B zur 
Coinciden'z bringen kann , ohne den Werth des Ver-sor K c, zu 
ändern und man erhält durch Multiplicatioii: 

/ ‘ «I K «, = 1 . 

Ist eine Quateniion « = a , wo «, einen solchen Vei-sor bezeichnet^ 
a ihren Tensor, so ist K « = a K also: 

« K o = = (T «)* (5) 

Sind zwei Quaterhioneu o = « «, , — b fii gegeben, wo , (ii 

Versoren sind, so ist ' 

K« = aKaj, K ß = b K , 
a ß — a b . Ol ßi , K p? . K ß = a b . K' . K «1 
Setzt man nun 

ß, = , so ist ß, ßi — ^ 

wo Ol , /), , Ci Strecken von der Länge 1 sind. Es ist aber nach (4) 



Ka.=^, al»KftK„,=;; ^ = 



Cl 

Ol 



und somit: 
oder allgemein : 



K{«, .Kß, 

K{a ß) = K ß .K a (6) 

/ 

Für Sti'ecken hat man, da K k = — a, K = — 6 , hieraus 
K {a b) = l) a. (7) 

Unter der zu a reciproken Quäternion, die uliah mit oder 
ß~‘ bezeichnet, und durch 

ot . ^ = 1 oder u . = 1 • 



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180 



IX. (iponiPtrisrhe narsU'Iiiinar «lor Qu'itprnionen. 



(lefinirt wird, hat man; wenn 

a — gesetzt wird , = * 



zu verstehen, 


da dann jene Gleichung erfüllt ist._ 


Bei einem aus Fjinheitsstrecken gebildeten Versor 


nach (4) 




• 


■ 1 I' 

— ■= K c(i 

«t 


und somit ■ 


• 




1 1 ir 

— = - ♦ d K ai . 
* rt «1 rt* ‘ 



Ist ß = a ß, also eine l)eHehige Qnaternion, so ist: 






$. 58. 



Addition der Quaternioiieii.’ 



• Nehmen wir die in S?. 20 gelelirte Addition dei’ Strecken wieder- 
auf, so wird das Pnncip der Peraianenz uns vei-ardassen, das distri- 
butive Princip, dem man (vergl. (24) in i;. 7) die Form: 

a + b 



+ 4 " 



( 1 ) 



geben kann , in llezug auf den jetzigen Begriff der (Quotienten von 
Strecken vorauszusetzen. Dann wii-(] durcli (ileichung (1) die 
Definition der Summe zweier (Qnaternionen, ß, ji, die man jerlei- 
zeit auf gemeinschafUiohen Nenner bringen kann, indem man mit 
c eine Strecke ihrer Liurchschnittsliuie bezeiclinet und : 

setzt, unzweideutig gegeben sein. 



Von Wiclitigkeit ist der Fall, dass ß eine reqjle Zahl, also der 
(.Quotient . zw-eier in einer beliebigen Richtung zusammenfallender 
Vectoren, ß aber eine Strecke ist, welche als (Quotient «weier zu 
einander senkrechter Vectoren betrachtet werden kann. Nimmt 
man dann c senkrecht auf sonÄt alrer willkührlich, so lassen 
sich </, /i den beiden Bedingungen entsprechend bestimmen, und 



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1 



53. Addition der Quatemionen. 



181 



es ist die Summe einer reellen Zalil und eines Vectors 
daher eine Quaternion 



Ist fernei' einö (juaterniou (Fig. 33) 
d 






•D 

OD 

I» y ~ c oc 

ö i G gegeljen, so projicire man 0 D auf c, und 
Fig. 33. iienni* O A = AD — h \ ■ dann ist 

d = n b und daher: 

•_ d a • 

enit reelle z,aiii, 
c ' r 



• /> a , b 

c c ' c 



Hierin aber ist — eiilfe reelle Zahl, — der Quotient zweier aufeinah- 
e c 

der senkrechter Strecken, also selbst ein Vector, und somit kann 
jede Quaternion auf eine einzige Weise in die Summe 
einer reellen Zahl und eines Vectors zerlegt werden. 
Nennt man jenen ersten Theil den Sealartheil *) der Quaternion, 
den letzteren den Vectortheil **) mul beze'ichnet sie durch 
S Vy, so ist danach: 

y = Sy+Vy. (2) 

Sind S, f die reellen Grössen jener Strecken c, und ist 
ein auf der positiven Seite der Kbene c d errichteter Einheits- 
vectoE so ist: 

® (4) = 7 (7 ) = T 



also 



wo 



~ cd sin cd), 



(4) 



-j = T •/, cos cd lUi sin cd = V y 

und somit fiir den Vei-sor eine wichtige Deutung gewonueu ist. 

Bezeichnet mau eine auf den Durchschnittsliuien irgend zweier 
Quatemionen y, y liegende Strecke mit c, so kann man jederzeit 



•) Von „Scala“, weil er die Längen auf einer solchen misst. 
*•) Auch „Right Part“. 



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182 



IX. Geometrische Itarsfellimp der Quaternioneii. 



l t * 

y = ' , •/' setzen und jiennt man a, />, a, l! die durch Pro- 

jection von </, d auf c entstehenden Stücke, .so ist nacli der Defini- 
tionsgleichung (1) : 

(a + h) + (a + A ) (« + «’) + (4 + A ) _ u + a , h + l> 

y + Y = = — 

» 

Da (o -p a) mit c in der Richtung zusammenfiillt, {h -f- />') aber 
ebenso als seine beiden Summanden aüf c senkrecht steht, so ist 

Ferner .aber ist 

a + «’ « , A + A' 4 , A' 

r c * C ' r 0 ' r ’ 

also 

s (y + /) = s y 4- S V (j' -P y) = V y -p V •/. 

Daraus folgt nun 

(/ + /) + j:' == S [{y + y ) -P -p V [{y + ■/) -P 

= S (y + /) + S + V(j' -p /) -p \ /' 

— S y -P S j/' -p S y" -p V;' -P V/ -P V/', 

da für Scalaren und Vei-toren das a.ssociative Gesetz nach allen 

früheren Festsetzungen gilt; und man findet somit: 

(y + y') + y" = y + (/ + y") = ■/ + ■/ + •/"■ . 

Die Addition der Quatemionen ist also eine associative Ope- 
ration, deren Commutativität ebenfalls leicht erkannt wird. • 

Da die zu y conjugirte Quaternion K y durch eiu in derselben 
Ebene als y liegendes, entgegengesetzt älmliches Dieieck reprä- 
sentirt wird, so ist ihr Scalar derselbe als der von y, ihr Yector 
aber entgegengesetzt, und daher 

Ky = Sy-Vy.. (5) ' 

Dass 

K (n -p = K « -p K (ö) 

also K den distributiven Charakter hat, geht aus den entsprechen- 
den Eigenscliaften der Symbole S und V unmittelbar hervoi-, da 
K « = S « — V «, K ,4 = S ^ — y 

und 

K(a + ß) — S (a + ß) — V (u + ff) — S a -p S /f — V « — V ff. 



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§. ö4. Die distributive Multiplicatiüii der Quateruioneu. 



183 



/ 



*§.o4. - 

Die distributive Multiplicatioii der Quaternionen. 



In (1) des vorigen §. ist das distributive Princip bei der Mul- 
tiplication von Strecken 

• (a -J- Ä) c = a c ri“ Ä c 

angenommen worden. Die andere Gleichung 
c(a -\-i) = c a c b 

kann aus ' ' . 

K [(« H“ h) fj = K [tt 6 ft c] = K (a c) K (a Ä) 

‘sofort gescblossen werden, wenn fnan beachtet, dass nach (7) in 
§. 52 bei Streckenproducten Jv (n e) = c a, K (a 6).= A o, 
K [(a -f- b) c] = c (a + b) ist. Damit ist denn das allgemeine 
distributive Princip ftir Strecken ' 

(a -i- b) (c -j- d) = a c -i- b c -i- a d -j- b d 
hergestellt. Aus’ ihm ist der Begriff der Addition von Quaternionen 
hergeleitet. Da ferner die Multiplication der Quaternionen in §. 52 
schon vollkommen bestiminb ist, so kann eine weitere Annahme 
nicht gemacht werden und es muss das distributive Princip bei der 
_ Operation mit Quaternionen enviesen werden-: 

>1^11 hat nach den Gnindgesetzen der Multiplication in §. 7 : 

rr + 6 c a + 6 

c d d 

also 

/ a , " J\c <i A a c , h c 

, \c ' c j d d ' d cd'cd 

woraus man den geometrischen Satz erhält: 

Sind 3 Quaternionen a, ß, y gegeben, deren Ebenen sich in 
einer Geraden schneiden, auf der man c willkühilich annimmt, 
und setzt man 

a b c 

« = T’ c> 

so hat' man 

. + ß)y = ay + ßy. ^ (1) 

Da ferner nach (6) in §. 52 und (6) in §. 53 : 

K K« + (?) y] = K j' . K (« -P |9) = K : (K a -P K /?) 



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184 



IX. Geometrisclie Darstelluup der Quateruionen. 



und nach der el)en erwiesenen GlHclHing (1) K [(« + fi) y\ = • 

K (« / + ;') = K • « /' + K . (V — K . K « + K . K (■; 

ist, so hat man auch . . • 

K y . ( K « + K = K y . K « + K y . K , 
in welchei' Fonuel wieder K rt, K [i, K y als ganz willkülirliche 
Quat(“rni()iien.«', ß', ■/, deren Ebenen eine (ierade gemein haben, 
angesehen weialen können, so dass man die Gleiehnng 

(»' + /^') ^ /' ff' + y ß' (^> 

erhält, welche mit (1) zusammen das vollständige distributive Prin- 
cip bei der Verknüpfung von solchen (^uateruiunen , deren Ebenen 
sich in einer Geraden schneidern ausmacht. 

Niclits ist leichter, als hicKius das allgemeine distribulive 
Princip abzideiten. Setzt man « = S t, ß = \ t, y = C, so kön- 
nen diese drei speciellen (^uateruionen a, ß, y .als sich in einer 
Geraden schneidend angesehen werden, da die Gage von « gänz- 
lich uidjestiinmt ist. .Man hat also nach (1): 

(8 4 -f- \ t) i" = S 4 . ^ V £ . w 

und ebenso nach (:ij : _ • 

s £ (s ;■ + V 0 = s £ . s r -h s 4 . V ;- 
V£ (s ;• -f vp = V4 . s -h Vf .vr 

• also ' *• 

£ . r= (s £ -}- Vf) (s c + V C) = s £ . s L- + s £ . V r + s ;■*. \'£ + V£ .V ( 0 ) . • 

Ist nun i — a ß- ß, t = y -|- d, so ist hieu;u;h: 

(« + ß) (7 + d) = ( S « -f- S ß) (S 4- S d) 

4- (Sa 4 - 8/4) (Vy4-VdJ 4-(8y4-Sd)(Va4-V/4) + (Va4-V,4) (\74- Vd) 

Für alle diese einzelnen Glieder ist aber das distributive Princip 
schon in (1) uild (2) nachgewiesen, uud mau hat daher : 

(a 4" ß) (y*+ d) = 8 «. S ;< 4- S ß Üy -f- S « 8 d -p 8 /4 8 d 

4" 8 {< \ y -f- S ß\ y 4- Sa V d -p 8 \ d 

-p 8 j' \ a -p 8 y \ (4 -p 8 d ^ a -p 8 d \ (4 

-p \ a V y -p V /4 V y -p V a V d -p V /4 V d . 

Addirt mau hier die Verticalcolonneii, so findet mau nach (3) die 
Summe 



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§. 5ö. l>it! yuaternioiicii als Zahluii. 



185 



= (Srr + V«) (Sj- + V;') + V^) (S^ + V;') + (S« + V«) (S<5 + \d) 

+ (S;y + V/^)(S(J+\d), 

und erhält somit : 

(« 4- ,^) 4- (J) = « y + o d + /? d, 

also das distributive l’niici]) für 4 Quaternioiieu in beliebigen 
Ebenen. 

Eiue l)urohsidit der letzten zwei §§. lehrt, dass in ihnen von der früher 
unahhängiK vom dtstrihutiven Principe uachgbwiescnen Associativität iu einem 
Producte von Strecken oder Quaternioiieu kein Gebrauch gemacht ist. Es 
leuchtet ein. dass aus dem distributiven Principe .in Gemeinschaft mit der 
seHistständig abgeleiteten Associativität des Productes von drei aufeinander 
senkrechten Vectoren t, , (s. S. 103) das allgemeine assbeiative Priiicip 

ohne Weiteres gefolgert werden könnte, wenn man die Quaterniouen in der im 
folgenden §. gegebenen Weise linear durch i, , tj, darstellt. 

§. 55. 

Die Uiiateniionen als Zahlen. 

Haben wir ntin so erkannt, das.s es ein Sj'stem geometnscher 
Ojierationen in Bezug auf Strecken und gewisse Verknüpfungen 
derselben, die Quaterniouen gibt, welches vollkontmen deli in §. 
aufgestellten Bedingungen, die sich auf die Oiierationen' au com- 
plexen Zahlen beziehen, genügt, so sind wir bereebtigt, die Strecken 
und Quaternioiieu als complexe Zahlen anzusclien, und zwar sind 
die Strecken, wie schon in §. 32 bemerkt, von der Fonn 
, a = II] tj 4“ Ua 4* *3 *31 

wenn t], 4, 4 Strecken von der Längeneinheit auf den Axen 
eines orthogonalen Systemes darstellen, und die QuaternioneH 
rt = S et 4- V « von der Form : 

« — ao 4- “i ö 4" »3 *2 4- «3 4; ' (1) 

die Producte der Strecken f], 4, 4 haben die mehrfach augegebe- • 
nen Werthe. ■ ■ 

Wünscht man einen directen Beweis dafür, dass jeder com- 
ple.xen Zahl von der angegebenen Form (1) nur eine geometrische 
Quaternion (oder untereinan^dn unserem Sinne gleiche) und um- 
gekehrt entspricht, so hat man zu zeigen, dass wenn lür die Vectoren 
a, />, c, <l im Sinne des VIll. 'Abschnittes die Gleichung : 

• 



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186 



IX. CiEometrisdie DHrstelluni; der yuaternioiien. 



a r 

b ~ d • 

gilt, auch die den beiden Quotienten eiitsin-eclienden geometrischen 
Gebilde (Quateniioneu) im Siunc des §. 52 gleich sind, und um- 
gekehrt. Nun ist nach den Multiplic^itionsregeln: 

^ • ili bl *4" Oa ba fla t>3 • 

b,^ -I- bi« + b,» 

(Oi bn " fls b-i) ij "p (rts bl — iii bs) io + (q, b-, — no bi) is 

~ b,* 4- ■ 

?oll dies dem Quotienten gleich sein, so muss,. wenn a = Gyl, 

b = G/>', cc= OC', t — O D gesetzt wird, in leicht vei-ständ- 
licher Bezeichnung: 

y (cos dl cos />i -H cos «2 cos Äj -|- cos «3 cos bj) = 

. y (cos cj cos dl -f- cos Cg cos dg -|- cös cj cos dg) , 
y (cos «2 cos bg — cos 03 cos bg) = y (cos f'2 cos dg — cos tu, cos dg) 
u. s. f. oder nach bekannten Sätzen dei' analytischen Geometrie 

^ cos (a 6) — ~ cos (cd) ' . 

sin (a b) cos (a ig 4) = ' sin (c d) cos (c d, i\ ig) 
u. s. f. also, wie man aus diesen vier Gleichungen leicht lindet : ^ 

=y, (ab) = (cd), (ab,iiig) = (cd,iiig) 

sein, und in der That sind unter diesen Bedingungen zwei Quater- 
nionen gleich gesetzt worden. 

" Die Quaternionen werden liienach in vollkommen adäquater 
Weise durch die in §. 42 definirten formalen complexen Zahlen 
dargestellt, und zwar werden reelle geometrische Gebilde nur 
solchen Zahlen entsprechen, deren Coefficienten reelle Zahlen sind. 
Diejenigen Quaternionen, deren Coefficienten gewöhnliche complexe 
Zahlen sind, wie dies im VIII. Abschnitt allgemein angenommen 
wurde, haben kein anschauliches Substrat, und spielen in der mit 
Hilfe der Quaternionen durchgeführten Theorie der Curven dieselbe 
Rolle, als in der analytischen Geometriö die gewöhnlichen complexen 



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§ 5f). Die FuiuiiitnentÄlfcjrnielii der spliarischca Trigoiioinetrie. 1H7 

Zahlen , welche von dein Piincip der Permanenz gefordert, aber in 
keinerlei Weise eigentlich geometrisch dai'gestellt werden können. 

Mit Rücksicht hierauf dürieu wir dgnn die sämnitlichön im 
\'1II. Abschniti abgeleiteten Sätze sofort für die geometrischen 
Quateniionen in Anspruch nehmen. 

Es mag noch bemerkt werden, dass neben Form ( 1 ) der Qua- 
ternionen noch die andere, veigl. (4) in §.53: 

a == a (cos (p 4 - I sin cp) , ( 2 ) 

besteht, wo a den. Tensor, (p den Winkel der Quateniion und i einen 

auf ihrer Ebene senkrechten Einheitsvector, die A.xe derselben vor- 
stellt. Ist 0 der Winkel dieses Vectors mit der t\ Axe, ip der Win- 
■ kel der dui'ch t und i{ gelegten Ebene mit der Ebene i\ 4 , so ist 

t = t\ cos 0 t'i sin 0 cos if) -|- 13 sin 0 sin ip 

also, mit (1) verglichen: ‘ ' ‘ 

ao = a cos (jp dl = a sin cos 0 

#2 = 0 sin rp sin 0 cos ip 82 = a sin y sin 0 sin i/i. 

Hiemit ist die vollständige Gnindlage für die Operation mit Qua- 
teniionen, mag inAn diese nun als complexe Zahlen oder als geo- 
metrische Gebilde, auffasseji, gewonnen. Es- bleibt uns nur noch 
übrig, an einigen Beispielen darzuthiin, wie fruchtbar der Qüater- 
nionencalcul für die. Geometrie ist, imd auf welche naturgemässe 
Weisö geometi’ische Sätze durch ihn dargestellt werden. , 

§. 56. 

Die Fundamentalformeln der sphärischen Trigonometrie. 

In analoger "Weise, wie in der Gleichung 

O 0 — 0 Ä = {0 Ü — 0 li) + {OJi — 0 A) 
die ganze ebene Trigonometrie enthalten war, wenn man diese 
Strecken durch gemeine complexe Zahlen darstellte (vergl. §. 23), 
enthält jetzt die Identität 

OA ob' OA . 

die ganze sphärische Trigonometrie, wenn die Streckenquotienten 
als Quateniionen angesehen werden. Nehhien wir yl, B, C auf 



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1 jlg IX. (JBoiiietrisi'lic Darstollmis.iler Qiiatcniioiicii. 

einer Kugel mit dem Radius i an, so dass der 'rensor der Strecken 
OjI, ü H, O 0, die Einheit ist, so hndet man nach (4) in § ö3: 

==*cos A ’C + O ]V . sin A C ^ 

wo H' der positive Pol des Kreises A C ist, und also 0 H' auf der 
Ebene der Quaternion A O C senkrecht steht. Somit wird jene 
Gleichung : 

cosylC'+Gy/.siiiyl6'=(cosytC'd-tGr.sin/R.')(cosyl /.'d-Gt'.siii/l/y) 

= cos H (J. cos A Ji + ( sin ß V. cos A B + 0 (J. sin Ä ß cos B C 

, + ^Gl'. G6'’sinyiy?sin/yC’ 

Nun ist 

O A'. O <y = — — (cos CA’ +‘ O B . sin C. I') ; 

denn B ist der Pol des Kreises C' yl', da er der Durchschnitt der 
beiden Kreise A B, B C ist, deren Pole C, A' sind (s. Eig. 35). 
Bezeiclmen wir den positiven Sinn der Hau])tkreise A B, B C, (JA 
mit f, rt, />, so hat man (J A'= v a, u. s. f., also: 

ü A ' . () C = — ^ cos oa — OB. sin c a ■ 

Der Scalaitheil obiger Gleicliung i.st daher: 

cos-yl C == cos B C cos A li — sin 7? C. sin B . cos c a (2) 
und das ist die erste Fundamentalgleichiuig der sphärischen Tri- 
gonometrie. • 

Der Vectortheil aber:' ^ 

0 ]}' . sin A C = OÄ. sm B C . cos A B 

+ 0 (!' . sin A B .cos B C — O B . sin B V . sin A B .sin ca (3) 
enthält uoch drei Gleichungen in sich, welche man auf sehr vei- 
schiedenartige Weise entwickeln kann. Dividirt inan etwa beider- 
seits mit 0 A', so wird, weil Ä B' — a b, Ä C = a c: 

= cos a -h 0 0 . sin . . 

= cos a c -j- OB . sm a c 

während O B-.O A' ein Vector ist, da 0 7^, 0 A' zwei auf einander 
senkrechte Strecken sind. Nach dieser Division giebt der Sealar- 
theil von (3) : ■ , 



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')(!. Dio P’iindamontalfomioln ilpr sfihänspliei^rieoiioniptrie. ]H9 

si n A C cos a h — sin B ü . cos A iS -|- sin A B . cos B C . cos « c (4) 
die 7,weite Fundamentalgleichung, während der Vectortheil : 

O C . sin A C . sin a b — O B . sin A B . cos B C . sin « c 

— sin B V . sin AB . sin r, a. 

. <JA . 

Nun ist, d.'i 0 A\ 0 B aufeinander senkrecht stehen : 

— *^=()B.OÄ=—OÄ.OB 

^ f fA • 

und mail liat somit aus voriger Gleichung, wenn sie durch 0 B divi- 
diit wird 

• sin A C . sin a h — sin A B . cos B C . sin a c 

— O A' . sin B C . am A B . sin c a 

Beachtet man nun, dass 

= c6s BG + O Ä . sin B G 

so findet man durck Identificirung der Sealartheile ebensowohl als 
der Vectoitlieile : 

sin A G . sin ab — %m AB . sin äc (5) 

welche Gleichung mit (iJ) und (4) zusammen das fundamentale 
Sj'stem der Trigonometrie bildet. 

Die (ileichungeu sind hier in der allgemeinen Form erhalten, deren mau 
sieh seit Möniys bedient. Will man aus ihnen dio gewöhnlichen Formeln 
erhalten, so lege man den 3 Seiten einen bestimmten Sinn 
bei, etwa so, dass man .1 B, B C, CA ini positiven 
Sinne durehliiuft, wenn man die Fläche des Dreiecks 
so umläuft, dass sie immer zur Rechten bleibt. Ist dann 
der positive Sinn, in dem die Winkel gezählt werden, der 
von links nagh rechts (s. Fig. 34), und sind A, B, C die 
absoluten, rechts im Innern der Fläche liegenden Winkel, 
so ist; C' 

rt 4 = 7T — 6', hc — n ~ A, c n = 71 — B. 

Setzt man nun noch zur Abkfirzuug die absoluten Werthe: 

BC=a, CA = />, A B = c 
so'erhält man aus (■_'), (4), (.')) diö gewöhnlichen Formeln: 

cos A — cos a cos c + sin a . sin c . cos B 
cos f '. sin A - sin a . cos c — cos a . sin c . cos B~ 
sin f sin A = sin /i sin <• • 




■ < 1^1 



4 ' 



1 



Fig. 34. 



I 



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190 



IX. G^nietrisclie llarstellung der Quaterm'ouen. 



'D 



Jene allgemeinen Formeln haben, von allem anderen abge.sehen. den 
grossen Vortheil, dass sich die Dualität, in ihnen auf das Deutlichste. aus- 
spricht, Nennen wir, wie bisher yi', C” die Pole von 
o, 6, c, und ferner (s. J’ig. Sfi) a', h'. c die Polaren 
von .1, /<, 6', so kann in den Formeln (2), (4), (.5) 
Ali — ri h', und a h = AB', also statt A, B, C, a. b, c 
ohne Weiteres a, //, c, A, B', V gesetzt werden. 
Lässt nian dann die Accente weg, so erhält inan.die 
zu jenen dualen Formeln : * 

cos rt c = cosT) c cos ah — sin&c.sinaA.cos VA 
cös A B «in a c = sin 4 c cos a b + sin a h . cos 4 c . cos ,4 V 
während (5) unverändert bleibt Bringt man letztere For- 
meln wieder auf die gewöhnliche Gestalt, so hat man: 




cos B = — cos A ■ cos C -1- sin .-I . sin C. cos b ( 

. cos c . sin B = — sin A . cos C — sin C. cos A . cos 4 1 

Die Scalai theile der Gleichungen, auf w elche man stösst, geben 
direct eine Formel der Trigonometrie, die Vectorentheile aber eben- 
falls einen geometrischeu Satz. Um z. B. (3) zu deuten, wollen wir 
zunächst, wie es eben angegeben wurde, die Winkel und Bogen 
durch die dual entsprechenden Gebilde ersetze^, und schliesslich 
die Accente weglassen. Dann kann diese Formel : 

0 . sin a c = 0 A.smbc . cos ab 0 C .smab . cos b c 

— OB. sin . sin 4 c . sin C',i4 .(6) 
geschrieben werden und bezieht sich so auf ein Dreieck A, B, C, 
dessen Seiten a, b,.r und wo B‘ der Pol von- b ist. Diese Gleichung 
aber enthält den Satz : 

Verbindet mau die Ecken irgend eines sphärischen Dreieckes 
A, B, C mit dem Kugelmittelpmikte O, und trägt auf diesen resp. 
die Strecken sin b c . cos ab, — sin a <?, sin a 4 . cos 4c, ab , so hat 
das aus diesen drei Strecken zu bildende Parallelepipedum eine 
Diagonale von der Länge sin a 4 . sin,4 c . sin ’C A , welche senkrecht _ 
auf der Ebene 00 A steht. 

Dividirt man (6) durch die beliebige Strecke 0 B, so gibt der 
Sealartheil : 



cos BP. sin ac:^ cos .(4P. sin 4c. cos ab + cos CP. sin a4 . cos 4 c 
— cos B'P. sin o4 . sin 4 c . sin CA (7) 
wo B'P — B" Q -|- Q P = \ n -F QP gesetzt werden kann, weuu 
Q den Fusspunkt eines von P auf 4 gefällten Perpendikels be- 



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§. .‘>7. Das sphärisrlie Viereck. 



191 



zeichnet. Specielle Folgerungen aus diesem Satze fiir besondere 
Lagen .von P übergehen wir hier. — 

Der Sealartheil eines Productes dreier Strecken hat eine ein- 
, fache geometrische Bedeutung. Sind .1, //, C drei Ecken eines 
sphärischen Dreiecks, .so Ist 

— 0 B-.OC — cos CB + sin CB 
wenn wir ohige. Bezeichnung festhalten, also: S(Oyl . OB . OC) 
~ — S(f>>l. 0.4') . sin nun ist — ?>{0 A .i) A') — cas A A\ 
also: S {O A.O B .0 C) = cos A Ä . sin CB 

. Bezeichnet man den Dmchschnitt des Kreises .4 A' mit li C, also 
den Fusspunkt eines von A auf B C gefüllten Perpendikels mit 1), 
so ist ri ri' = . I + D A', und bestimmt man den Sinn von A D 
so, dass D A'= \n, so ist cos A A'=^ — sin A />, also; 

S{OA.OBJ) 0 = sin .4 IJ . sin BC— sin (A B C) 
nämlich dem sogenannten Sinus der Ecke gleich, mit dem man 
das Producl d£r drei Kanten eines Parallelepipednm multipliciiien 
muss, um sein Volun\,en zu finden. 

/ 

§■57. ■ 

Das sphärische Viereck. 

Um die sphärische Tetragonometrie zu begründen, geht man 
von der Identität aus : 

oA oj£ OA qjy ... 

oir ' OC OD' ' OC 

oder: 

' (cos B'Ä-\- OA. sin ffÄ) (cos CB' 0 B . sin CB') = 

(cos D'Ä 0 D . sin D'Ä) (cos C ff OC . sin C D') 

wenn .4, B, C, D (Fig. 36) i'esp. die posi- 
tiven Pole der Seiten A' B', E C, C D', D'Ä' 
bezeichnen. Werden die Werthe: 

— 0 A .0 B — cos BA •+• OÄ'. sin BA 
— OD.OC = cos CD -f- O D'. sin CD 

in der Entwickelung von (1) substituirt, so 
gibt der Sealartheil ein triviales Resultat, 
der Vector abei" 




I 



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192 IX- <iPooiPtrisclift DarStfllimf; (lpr Qiiatprninnpii. . 

0 A . sin IfA'.. cos Cif -{-OB. sin C If . cos ll'Ä 

— 0 If . sin If Ä . sin C If . sin B’A — 

0 D . sin D’Ä' . cos CD ' ■+• OV . sin CD' . cos D'A' 

— 0 D' . sin D'A' . sin (f D'. sin G D. 

Nennt man a, h, c, d die Polaren von Ä, If, (', D’, so kann man 
alle Bogen Jf Ä, C If . . . durcli Winkel /» a, c/> . . . ersetzen, und 
erhält so : 

t>.l.sin/jrtCos cd + OB . sin c h cos A a — Olf .sind a sin <■ b sin B A — 
OD. sin d a cos cd-\- OG. sin c d cos da — < )D'. sin d a sin c d sin GD 
für ein beliebiges Viereck AB CD, dessen aufeinander folgende* 
Seiten A B, BG, GD, DA jetzt b, c, d, a heissen und wo If, D' 
die Pole von h, d sind. Dividirt man diese Gleichung mit der be- 
liebigen Kinheitsstrecke GP, so gibt der Sealartheil: 

0 — cos A P . sin a h . cos h c -f- cos B sin 6 c . cos a h 

— cos If P. sin a b . sin hc .%\n AB 

0 - ^ . 

-|- cos 6'P. sin c(f . cos a -p cos Ö/*. sin . cosv«? 

— cos D'P. sin a d . sin d a . sin CD 
oder, wenn die Winkel ab, bc, cd, da nach ihren Ecken mit 
A, B, G, D bezeichnet werden: 

0 = cos A P. sin A . cos B -f- cos B P . sin B . cos A 
■ + cos If P. sin jd . sin . sin A B 

-p cos G P. sin G . cos D -p cos D P. sin D . cos G 

-p cos D' P. sin G . sin I) . sin GD 
wo man auch cos If P= -p sin PQ, cos D' P — sin PR schrei- 
Imn mag,, indem man mit PQ, PR die von P a.ni A B und GD 
gefällten Perpendikel bezeichnet. — 

Ebenso wie die hier zu Grande gelegte Formel (1) gibt jede 
Identität der Quateruionentheorie sogleich einen geometnschen 
Lehrsatz,, wie man auch lungekelud, bekannte geometrische Sätze 
benutzen wird, um identische Gleichungen zwischen Qmiternionan 
zu entwickeln. Um nur ein Beispiel liievon zu gehen, behandeln 
wir die Identität (17) des §. 43: 

S {V (a b) . V (c = S (a rf) S (i c) — S (« r) S {b d) 
indem wir unter a, b, r, d die Radien einer Einheitskugel verstehen, 
welche letztere in A, B, G, D sclmeideii. Dann ist: S (o ^/) — 



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§.58. Transformation rechtwinkliger Coordinatensysteme. 193 

— ^ ( rf ) ~ — ”■ ®' ('* ^) = — ^ = 

— O Ti' .nmJiA, also V (« h) . V {<• d) =0 FT. 0 D' sin BA^mDC, 
und — S (0 B' . 0 1)') — cos B' I)', wo Ji', I)' die Pole von AB, CD 
sind, so dass cos(// D') = cos(..l B, CD) gesetzt werden mag. 
Jene Identität giebt dann 

sin AB^iwCD cos{AB, C Ji) — cos A (’ cos B D — cos ^Z> cos BC 
den bekannten GAUSs’schen Satz. ' - . 

, • ' ■ §. 58 . ■ ■ ' ■ 

Transtormatioii rechtwinkliger ('oordiiiatensy.steme. 

Es mag liier nur an einem Beisjiiele die Leichtigkeit dargethan 
werden, mit welcher der Quaternionencalcul analytiscli-geonietrische 
Sätze dai'zustellen erlaubt: 

Erleidet eine um ihren Mitteljnnikt dridibare Kugel iigend- 
welche Drehungen nach einander, so ist bekannt und übrigens aucli 
aus den Sätzen des §. 50 leicht ahzuleiten, dass das Resultat der- 
selben in jedem Falle ersetzt tv-erden kann durch eine I Irehung um 
eine feste ,\xe. 

Es sei .9 diese Axe, (f der Winkel, um den man drehen muss, 
wenn jenes Resultat erzielt werden soll , « eine Quateriiion mit der 
Axe s und dem Winkel ] tp also, wenn *i, «j, »3 drei feste, aufeinander 
senkrechte Axen bedeuten: 

s == cos X K + cos y s + 4 cos ZS 

u = cos i(p + s sin 4 f/) = cos 4 y (1 -|- A t\ + uii + v I3), 
wo 

X — cos X s tan [ q>, fi = cos y .<? tan 4 y , v = cos z s tiu 4 (f 
gesetzt wird. Wenn man noch 

- — A = l Ar X* + fC + r*, X i\ + 4 -f r 4 = a 

setzt, so hat man 

a — (l + fl). - 

Irgend ein Vector: 

u — X /\ -p y »3 -p 2 4 

llankifl, cuwploxe Zahlen. 13 



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194 



XF. (ipoiiietrische DarstplIiiiiK der Quatfirnionen. 



wird nun nacli seiner Drehung uni die Axe .v und den Winkel (p, 

nach S. 1()9 die sehliessliche Lage 

, 1 
u — ce u — 
a 



annehnieu; nach (8) hi §. 52 hat man, da T« = 1 ist, = K «, also : 
/l' = « M K ft — -y ( 1 + «) U (1 ft). 

Die Entwickelung dieses Productes kann man ganz direct ausfülireu; sie 
wird aller wesentlich abgekürzt, wenn man auf 



(1 + a) u (1 — a) ==■ a + n n — n n — aun 
die Sätze des §. 4;S anwendet. Es ist nämlich, da «. « Vectoren sind, nach (3) 
au — Ka — ‘i.V (a «), ferner nach (ti) S (auit) = — S (a«n)— — a* S« — 0. 
da eben « ein Vector ist, endlich nach (b): V («««) = aS(M«) — tiS(aa) 
+ nH{a») = '2u S (au) — «a'^j-ulso: 

(l + a)«(l — rt) = «(l + ( 1 *) + 2.V (a u) — 2« S(« u). 

Xun ist 

a u =•— (t a: + // ,v + V z) + (A a-) j's + (ü 2 — r .v) A + (r a; — i 2) A . 
1 + «s =» 1 — e-i 



also: 



./.«'=^ w(l — i* — y’) + 2(i.i/ — — i *t) »1 + 2(i-a: — ä2) A 

+ 2rt (Xj' + jut/+ t'z). 

Setzt man nun den neuen Vector: 

u = u' i\ + »/'„A 4- i'i , 

so findet man aus letzterer Entwickelung: 

.J . r' = a' ( 1 + Ä* — /t“ — >'-) + 2y (). II — r) + 2z (A >■ + /( ) 

J . y = 2a- (y l 4-.r) + // (1 — A-’ + /<=' — v*) -f 2 . 2 : (/in — /.) 

J . z = 2x (v). — //) + 2// (»' /( + A) + z ( 1 — A"* — + r-) 

die heriihmten Eoniieln Euleks *) fiir die Transformation recht- 
winkliger Coordinatensysteme gegeneinander. 

Historische Anmerkung zu Abschnitt VIII und IX. . Bereits seit 
dem Jahre 1833 beschäftigte sich Sir William Rowan Hamilton (Prof, der 
Astronomie an der Universität Dublin und Royal Astronomcr of Ireland, gest. 
den 2. Sept. 1865 zu Dunsink) angelegentlich mit der Theorie der höheren 
complexen Zahlen, in der Absicht, ein zur Behandlung der Geometrie des 
Raumes ebenso passendes Instrument zu ertiiiden, wie^ es die imaginären 



*) Novi Comm. Pptro}Hilit Bd. 20. S. 217, vergl. Baltzer’s Determinanten 
2. AuH. S. 1.59, und Cayley, Phil. Mag. Feb'r. 1845. S. 141. 



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Amm’ilviing zu Alisclmitt VIII uiul IX. 



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Zalileu für die Elicue sind, und in der Ueliorzeugung, dass ein solches für 
den Raum noch nothwendiger und wichtiger sei, als, für die Ebene. Eine 
interessante Geschichte seiner liemühungen enthält die Vorrede zu den 
Lectures; sie lehrt, dass die liauittsächlichstc bchwierigkeit darin lag, die- 
jenigen Eigenschaften der Operationen zu finden, welche, wenn sie aufgehoben 
werden, das von mir so genannte Princip der Permanenz der formalen Gesetze 
der Arithmetik am wenigsten verletzen. 11.\mii,ton hielt anfangs die Commu- 
tativität der Multiplication für durchaus nothwendig, bis ihn vielfältige Ver- 
suche überzeugten, dass neben dieser die distribtitivc Beziehung zu der von 
vornherein gegebenen Addition von Strecken nicht erhalten werden könne. 
So entschloss er sich endlich, zu Gunsten letzterer, ilie commutative Eigen- 
schaft der Multiplication fallen zu lassen und wurde, nachdem er darauf ver- 
zichtet hatte, das Product und den Quotienten zweier Strecken wieder als 
Strecke ansehen zu küimcn, im Jahre IHIJ zu den Grundbegritien des Qua- 
ternioneucalculs geführt, die er zuerst in dem Meeting of Council der Irischen 
Akademie d. Wiss. vom 16. Oct P^43. und dann in dem Phil. Magaz Juli 1844 
der gelehrten Welt vorlegte \'on diesem Zeitpunkte an ist er unausgesetzt 
thätig gewesen, die fimdamcntale Theorie bis in ihre kleinsten Details zu ent- 
wickeln und zu vefvollkoininnen, sowie <lurch Anwendungeu iu’s Besondere 
auf die Si)härik, Phoronomie, die Theorie iler Polygone und Polyeder, welche 
Obertlächen zweiten Grades eingeschrieben sind, die Krümmungsverhältnisse 
von Flächen im Allgemeinen, die Theorie der geodätischen Linien, die Prin- 
cipien der Alechaiük, das Problem der drei Körper, die Theorie der Welleu- 
obertläche u, s, f. die Fruchtbarkeit und Angejiiesseuheit seiner Methode nach- 
zuweisen. Die Theorie selbst hat er daun mit einigen Auwendungeu derselben 
in den sehr umfangreichen „Lectures ou Quaternions, contaiuing a systematic 
Statement of a new mathematical method , of which the principles were com- 
muuicated in 1848 to the K. Irish Acad., and which has since formed the 
subject of successive courses of lectures, delivercd in 1848 and subsequent 
years in the halls of Trinity College, Dublin; with ntiincrous illustrative dia- 
grams, and with some geomctrical and physical applications“. (Dublin, Hodges 
and 8niith, 1858), in einer den contiueiitaleu Mathematikern sehr unbeque- 
men, den Englämlcrn aber, wie es scheint, durchaus natürlichen Weise dar- 
gestellt: Die Theorie ist aufgelöst in zerstreute Stücke, die Probleme werdmi 
nicht in ihrer Allgemeinheit, sondern zunächst in speciellen Fällen behandelt, 
dann unterbrochen durch Auwendungen und amlere Untersuchungen, um erst 
später, zuweilen nur gelegentlich in ihrem ganzen Umfange erledigt zu wer- 
den. Dazu kommt eine durchgehends ausserordentlich breite, sich immer 
selbst repetirende Darstellung , die man wohl theilweise der Rücksicht zu- 
schreiben muss, welche ihr Verfasser auf dieStudirenden genommen hat; denn 
der Quatemioneucalcul ist „sanctioued , as a subject of public aud repeated 
examination in the (Dublin) university,“ 

Wollte ich diese Theorie auf deutschen Boden verpflanzen, so war es 
nothwendig, die Darstellung tf)tal zu verändern Durch eine ganz andere 

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19<! IX. (iüomotrische Darsti^lluiij' (ler Quatorniuiicu. 

.\nortlmiiig, sofortige Lösung der l’rublcme im Zu.sammciilmngc, durch niaiiclie 
wesentliche Veränderung in den Beweisen, ist es mir gelungen, in den vor- 
stehenden zwei Abschnitten alles AiVesentliche der Theorie, abgesehen von 
einigen Anwendungen, darzustellen, welches sich bei Hamii.tok von S. 1 bis 
etwa S. 54Ö findet. Namentlich hat die obige, nach meinem in diesem ganzen 
Werke durchget'ührten Gesichtspunkte methodisch nothwendige Trennung der 
formalen Theorie der Quaterniouen von dem Nachweise ihrer geometrischen 
Bedeutung, nicht allein, wie ich hoft'e, zur Aufklärung über das Wesen und 
den eigentlichen Grund dieser neuen imaginären Einheiten, beigetragen, son- 
tlern auch eifie viel grossere Kürze, als sie II.vmilton bei der Vermengung 
dieser beiden Gedankenkreise erreichen konnte, möglich gemacht. 

Die nach Art der neueren englischen Mathematiker sehr ausgedehnte 
Terminologie habe ich allerdings so weit als möglich beschi-änkt und in die 
Anmerkungen verwiesen; ihre gänzliche, sehr wohl mögliche, Unterdrückung 
im Texte habe ich deshalb nicht für zweckmässig erachtet, weil sie nun ein- 
mal von IIamiltox und seinen Schülern angewandt wird, und ich viel Gewicht 
darauf lege, durch meine Behandlung das Studium der Abhandlungen jener 
Gelehrten zu erleichtern. 

, Erst nachdem meine Ausarbeitung vollendet war, kamen mir die den 
„Lectures“ an Umfang gleichen „Elements of Quaternions“ (London, Long- 
mans, Green et Co. IHOb), ein posthumes Werk desselben Verfassers, von 
seinem Sohne W. E. IlAMir/roN herausgegeben, zu Händen. Zu diesem neuen 
Werke, welches sich iu der Theorie nicht wesentlich von dem früheren unter- 
scheidet, scheint seinVertässer durch das sich auch bei ilim geltend machende 
Bedürfniss eines einheitlichen Zusammenfassens der verschiedenen Aufgaben, 
welche zu einer Feststellung des Quaternioneucalculs führen, sowie die Ab- 
sicht veranlasst worden zu sein , einen grossen, Theil der neuen Anwendungen 
dieses Calculs in Einem Werke darzustellen. Im vorstehenden ist der wesent- 
liche Inhalt der 3i)0 ersten Seiten dieser Elements, allerdings mit Weglassung 
mancher schönen Anwendungen (besonders der Theorie der geometrischen 
Netze) gegeben. Es ist kein Zweifel, dass dies neue Werk das ältere voll- 
kommen überflüssig gemacht bat — und es bleibt mir mir noch übrig, den.^ 
Wunsch auszus]irechen, dass meine Bearbeitung im Stande sein möge, die 
Quatemiohen^heorie, das Product eines durch glänzende Entdeckungen be- 
rühmten, genialen Mathematikers, die auf dem Continente bisher, so viel ich 
weiss, nur in ALLfioRBT’s „Essai sur le calcul des quaternions“ (Paris 18t>2) 
eine allerdings unzureichende Darstellung gefunden hat, auch in Deutschland 
hciniisch zu machen. „Das beste Denkmal, welches man einem grossen Manne 
setzen kann, ist das fortgesetzte Studium seiner AVerke.“ 



I/RIPKIO, narCK VON OIRKNCRK A nitVRIKNT. 



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